Ecuația diferențială stochastică

O ecuație diferențială stocastică (prescurtată în EDS ) (sau ecuație diferențială stocastică , prescurtată în SDE ) este o ecuație diferențială în care unul sau mai mulți termeni sunt procese stocastice , ducând astfel la o soluție care este și un proces stocastic. EDS sunt utilizate pentru a modela diverse fenomene, cum ar fi fluctuațiile prețului acțiunilor sau sistemele fizice supuse fluctuațiilor termice. De obicei, EDS-urile încorporează zgomot alb care poate fi considerat ca fiind derivatul unei mișcări browniene (sau mai bine zis, a unui proces Wiener ); cu toate acestea, merită menționat faptul că sunt posibile alte tipuri de fluctuații aleatorii, cum ar fi procesele de salt .

Istorie

Prima lucrare despre EDS a fost realizată pentru a descrie mișcarea browniană în celebrul articol al lui Einstein și, în același timp, de Smoluchowski . Cu toate acestea, una dintre primele lucrări referitoare la mișcarea browniană este atribuită lui Louis Bachelier (1900) în teza sa „Teoria speculației”. Această lucrare a fost continuată de Langevin . Mai târziu, Itō și Stratonovich au pus EDS pe o bază matematică mai fermă.

Terminologie

În științele aplicate, EDS sunt de obicei scrise ca ecuații Langevin . Acestea sunt uneori denumite o ecuație unică, „ecuația langevin”, deși există multe alte forme. Aceste forme constau dintr-o ecuație diferențială obișnuită care conține o parte deterministă și un termen aleatoriu suplimentar modelat ca zgomot alb . O a doua formă este ecuația Smoluchowski și, mai general, ecuația Fokker-Planck . Acestea din urmă sunt ecuații diferențiale parțiale care descriu evoluția în timp a funcțiilor de distribuție a probabilităților . A treia formă este ecuația diferențială stocastică cea mai utilizată în matematică și finanțare cantitativă. Este similar cu forma Langevin, dar este în general scrisă într-o formă diferențială. EDS vine în două varietăți, corespunzătoare a două versiuni ale calculului stochastic (dictate de Itō și Stratonovich).

Calculul stochastic

Mișcarea browniană (sau mai bine zis procesul Wiener ) sa dovedit a fi excepțional de complexă din punct de vedere matematic. Într-adevăr, procesul Wiener nu poate fi diferențiat; în consecință, are nevoie de propriile reguli de calcul. Există două versiuni dominante ale calculului stochastic, calculul stochastic al lui Itō și calculul stochastic al lui Stratonovich . Ambele versiuni au avantajele și dezavantajele lor, iar studenții începători sunt adesea confuzi care dintre cele două versiuni este mai potrivit să se utilizeze, având în vedere o situație. Există linii directoare (de exemplu, Øksendal, 2003), dar și, pentru comoditate, metode de conversie a unui EDS sub forma Itō într-un EDS echivalent sub forma Stratonovich și invers. Cu toate acestea, trebuie să fiți la fel de atenți la început în a decide ce tip de calcul să efectuați.

Soluții numerice

Soluțiile numerice ale ecuațiilor diferențiale stochastice și, în special, ale ecuațiilor diferențiale parțiale stochastice , este un câmp relativ tânăr. Aproape toți algoritmii utilizați pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite vor avea rezultate nesatisfăcătoare pentru EDS, deoarece au o convergență numerică slabă. Un text care oferă mulți algoritmi diferiți pentru rezolvare este Kloeden & Platen (1995).

Aceste metode includ metoda Euler-Maruyama , metoda Milstein și metoda Runge-Kutta (aplicată EDS) .

Utilizare în fizică

În fizică, EDS-urile sunt de obicei scrise în forma Langevin și sunt denumite „ecuația Langevin” . De exemplu, un set generic de perechi EDS de ordinul întâi sunt adesea scrise sub forma:

{\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^{n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),

{\ displaystyle {\ dot {x}} _ {i} = {\ frac {dx_ {i}} {dt}} = f_ {i} (\ mathbf {x}) + \ sum _ {m = 1} ^ {n} g_ {i} ^ {m} (\ mathbf {x}) \ eta _ {m} (t),}

{\ dot {x}} _ {i} = {\ frac {dx_ {i}} {dt}} = f_ {i} ({\ mathbf {x}}) + \ sum _ {{m = 1}} ^ {n} g_ {i} ^ {m} ({\ mathbf {x}}) \ eta _ {m} (t),

Unde $\mathbf {x} =\{x_{i}|1\leq i\leq k\}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ {x_ {i} | 1 \ leq i \ leq k \}}$ ${\ mathbf {x}} = \ {x_ {i} | 1 \ leq i \ leq k \}$ este setul de necunoscute, $f_{i}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ $f_ {i}$ Și $g_{i}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ sunt funcții arbitrare și $\eta _{m}$ ${\ displaystyle \ eta _ {m}}$ $\ bijuterie}$ sunt funcții aleatorii ale timpului, adesea denumite „termenul de zgomot”. Această formă este de obicei utilizabilă deoarece există tehnici standard pentru transformarea ecuațiilor de ordin mai mare în diferite perechi de ecuații de ordinul întâi, pur și simplu prin adăugarea mai multor necunoscute. Şase $g_{i}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ sunt constante, se spune că sistemul este supus zgomotului aditiv, altfel se spune că este supus zgomotului multiplicativ. Acest termen (într-un sens matematic) este oarecum înșelător, deoarece de-a lungul timpului a ajuns să însemne cazul general, deși, făcând acest lucru, pare să implice cazul limitat în care $g(x)\propto x$ ${\ displaystyle g (x) \ propto x}$ $g (x) \ propto x$ . Zgomotul aditiv este cel mai simplu dintre cele două cazuri; în această situație, soluția corectă poate fi găsită adesea folosind calculul obișnuit, și în special regula obișnuită a lanțului . Cu toate acestea, în cazul zgomotului multiplicativ, ecuația Langevin nu este o entitate bine definită și trebuie specificat dacă ecuația ar trebui interpretată ca Itō sau Stratonovich EDS.

În fizică, soluția principală este de a găsi funcția de distribuție a probabilității în funcție de timp folosind ecuația echivalentă Fokker-Planck . Ecuația Fokker - Planck este o ecuație diferențială parțială deterministă și descrie modul în care funcția de distribuție a probabilității evoluează în timp, în același mod în care ecuația Schrödinger asigură evoluția în timp a funcției unde cuantice, sau pe măsură ce ecuația de difuzie dă evoluția în timp a concentrațiilor chimice. Alternativ, soluțiile numerice pot fi obținute din simulările Monte Carlo . Alte tehnici includ integrarea căilor bazate pe analogiile dintre fizica statistică și mecanica cuantică (de exemplu, ecuația Fokker-Planck poate fi transformată în ecuația Schrödinger prin redimensionarea unor variabile).

Notă despre „ecuația lui Langevin”

Referirea la singular la „ecuația” (de Langevin) este în ansamblu un abuz de notație, deoarece fiecare model fizic are propria ecuație Langevin . Din acest motiv, nomenclatura „ecuația Langevin asociată” ar fi, prin urmare, mai corectă.

Bibliografie

George Adomian, Sisteme stochastice , matematică în științe și inginerie (169), Orlando, FL, Academic Press Inc., 1983.
George Adomian, ecuații de operator stocastic neliniar , Orlando, FL, Academic Press Inc., 1986.
George Adomian, Teoria sistemelor stochastice neliniare și aplicații la fizică , matematică și aplicațiile sale (46), Dordrecht, Kluwer Academic Publishers Group, 1989.
Bernt K. Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications , Berlin, Springer, 2003, ISBN 3-540-04758-1 .
Teugels, J. și Sund B. (eds.), Encyclopedia of Actuarial Science , Chichester, Wiley, 2004, pp. 523-527.
CW Gardiner, Manual de metode stochastice: pentru fizică, chimie și științele naturii , Springer, 2004, p. 415.
Thomas Mikosch, Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View , Singapore, World Scientific Publishing, 1998, p. 212, ISBN 981-02-3543-7 .
Seifedine Kadry ,, A Solution of Linear Stochastic Differential Equation , SUA, WSEAS TRANSACTIONS on MATEMATICS, aprilie 2007., 2007, p. 618, ISSN 1109-2769 ( WC ACNP ) .
( FR ) Bachelier, Louis, Théorie de la speculation , în Annales scientifiques de l'É.NS 3e série , vol. 17, NUMDAM, 1900, pp. 21-86.
PE Kloeden și E. Platen ,, Soluție numerică a ecuațiilor diferențiale stochastice ,, Springer ,, 1995.

Elemente conexe

Difuzie moleculară

Controlul autorității	Tezaur BNCF 32437 · LCCN (EN) sh85128177 · BNF (FR) cb120480366 (data) · NDL (EN, JA) 00.575.718

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică