Model intertemporal pentru evaluarea valorilor mobiliare

Economia financiară
Economia financiară Pretul bunului Factor de reducere stochastic Portofolii de frontieră , CAPM și APT Modelul Black-Scholes-Merton Finanțe corporative / finanțe corporative Structura Capitala
Economie și finanțe
Glosar economic Categorie: Economie

Modelul intertemporal de evaluare a valorilor mobiliare ( CAPM intertemporal sau ICAPM ^[1] ) determină rentabilitatea teoretică a unui titlu atunci când investitorii nu sunt interesați doar de capital la sfârșitul perioadei luate în considerare, la fel ca în modelul CAPM , dar iau în considerare posibilitățile de consum și investițiile pe toată perioada. Prin urmare, riscul de consum se modifică în timp. Modificările posibilităților de investiții sunt reprezentate de o variabilă de stare. Utilitarul instant depinde de consum (C) și de variabila de stare. Il scrii: $U[C(t),t]$ ${\ displaystyle U [C (t), t]}$ ${\ displaystyle U [C (t), t]}$ .

Versiune continuă în timp

Merton ^[2] consideră cazul tranzacțiilor continue pe o piață care este întotdeauna în echilibru. Variabila de stare (X) urmează o mișcare browniană :

dX=\mu dt+sdZ

{\ displaystyle dX = \ mu dt + sdZ}

{\ displaystyle dX = \ mu dt + sdZ}

Investitorul maximizează utilitatea așteptată :

E_{o}\left\{\int _{o}^{T}U[C(t),t]dt+B[W(T),T]\right\}

{\ displaystyle E_ {o} \ left \ {\ int _ {o} ^ {T} U [C (t), t] dt + B [W (T), T] \ right \}}

{\ displaystyle E_ {o} \ left \ {\ int _ {o} ^ {T} U [C (t), t] dt + B [W (T), T] \ right \}}

unde T este orizontul de timp considerat și B [W (T, T)] utilitatea activelor (W) în scopuri de rezervă sau moștenire.

Constrângerea bugetară este dată de activele investitorului (W). Este $w_{i}$ ${\ displaystyle w_ {i}}$ ${\ displaystyle w_ {i}}$ partea activelor investite în garanție i. Poti sa scrii:

W(t+dt)=[W(t)-C(t)dt]\sum _{i=0}^{n}w_{i}[1+r_{i}(t+dt)]

{\ displaystyle W (t + dt) = [W (t) -C (t) dt] \ sum _ {i = 0} ^ {n} w_ {i} [1 + r_ {i} (t + dt) ]}

{\ displaystyle W (t + dt) = [W (t) -C (t) dt] \ sum _ {i = 0} ^ {n} w_ {i} [1 + r_ {i} (t + dt) ]}

unde este $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ este randamentul securității i. Modificarea capitalului propriu este:

dW=-C(t)dt+[W(t)-C(t)dt]\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)

{\ displaystyle dW = -C (t) dt + [W (t) -C (t) dt] \ sum w_ {i} (t) r_ {i} (t + dt)}

{\ displaystyle dW = -C (t) dt + [W (t) -C (t) dt] \ sum w_ {i} (t) r_ {i} (t + dt)}

Această problemă poate fi rezolvată folosind programarea dinamică și luând o serie de probleme discrete:

\max E_{o}\left\{\sum _{t=o}^{T-dt}\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+B[W(T),T]\right\}

{\ displaystyle \ max E_ {o} \ left \ {\ sum _ {t = o} ^ {T-dt} \ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds + B [W (T), T] \ dreapta \}}

{\ displaystyle \ max E_ {o} \ left \ {\ sum _ {t = o} ^ {T-dt} \ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds + B [W (T), T] \ dreapta \}}

Mai mult, o dezvoltare a seriei Taylor oferă:

\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds=U[C(t),t]dt+{\frac {1}{2}}U_{t}[C(t^{*}),t^{*}]dt^{2}\approx U[C(t),t]dt

{\ displaystyle \ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds = U [C (t), t] dt + {\ frac {1} {2}} U_ {t } [C (t ^ {*}), t ^ {*}] dt ^ {2} \ approx U [C (t), t] dt}

{\ displaystyle \ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds = U [C (t), t] dt + {\ frac {1} {2}} U_ {t } [C (t ^ {*}), t ^ {*}] dt ^ {2} \ approx U [C (t), t] dt}

unde este $t^{*}$ ${\ displaystyle t ^ {*}}$ ${\ displaystyle t ^ {*}}$ este o valoare între tine dt.

Să presupunem că procesul stocastic de returnări este o mișcare browniană :

r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}

{\ displaystyle r_ {i} (t + dt) = \ alpha _ {i} dt + \ sigma _ {i} dz_ {i}}

{\ displaystyle r_ {i} (t + dt) = \ alpha _ {i} dt + \ sigma _ {i} dz_ {i}}

cu:

E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad ;\quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt

{\ displaystyle E (r_ {i}) = \ alpha _ {i} dt \ quad; \ quad E (r_ {i} ^ {2}) = var (r_ {i}) = \ sigma _ {i} ^ {2} dt \ quad; \ quad cov (r_ {i}, r_ {j}) = \ sigma _ {ij} dt}

{\ displaystyle E (r_ {i}) = \ alpha _ {i} dt \ quad; \ quad E (r_ {i} ^ {2}) = var (r_ {i}) = \ sigma _ {i} ^ {2} dt \ quad; \ quad cov (r_ {i}, r_ {j}) = \ sigma _ {ij} dt}

Dezvoltând variația capitalului propriu și eliminând variațiile de ordinul doi, obținem:

dW\approx [W(t)\sum w_{i}\alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)\sum w_{i}\sigma _{i}dz_{i}

{\ displaystyle dW \ approx [W (t) \ sum w_ {i} \ alpha _ {i} -C (t)] dt + W (t) \ sum w_ {i} \ sigma _ {i} dz_ {i }}

{\ displaystyle dW \ approx [W (t) \ sum w_ {i} \ alpha _ {i} -C (t)] dt + W (t) \ sum w_ {i} \ sigma _ {i} dz_ {i }}

Folosind ecuația Bellman , putem scrie maximizarea utilității așteptate după cum urmează:

J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}

{\ displaystyle J (W, X, t) = max \; E_ {t} \ left \ {\ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds + J [W ( t + dt), X (t + dt), t + dt] \ right \}}

{\ displaystyle J (W, X, t) = max \; E_ {t} \ left \ {\ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds + J [W ( t + dt), X (t + dt), t + dt] \ right \}}

sub constrângerea indicată mai sus.

Folosind lema lui Itō putem scrie:

dJ=J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW

{\ displaystyle dJ = J [W (t + dt), X (t + dt), t + dt] -J [W (t), X (t), t + dt] = J_ {t} dt + J_ {W} dW + J_ {X} dX + {\ frac {1} {2}} J_ {XX} dX ^ {2} + {\ frac {1} {2}} J_ {WW} dW ^ {2} + J_ {WX} dXdW}

{\ displaystyle dJ = J [W (t + dt), X (t + dt), t + dt] -J [W (t), X (t), t + dt] = J_ {t} dt + J_ {W} dW + J_ {X} dX + {\ frac {1} {2}} J_ {XX} dX ^ {2} + {\ frac {1} {2}} J_ {WW} dW ^ {2} + J_ {WX} dXdW}

în timp ce valoarea așteptată este:

E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW}var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)

{\ displaystyle E_ {t} J [W (t + dt), X (t + dt), t + dt] = J [W (t), X (t), t] + J_ {t} dt + J_ {W} E [dW] + J_ {X} E (dX) + {\ frac {1} {2}} J_ {XX} var (dX) + {\ frac {1} {2}} J_ {WW} var [dW] + J_ {WX} cov (dX, dW)}

{\ displaystyle E_ {t} J [W (t + dt), X (t + dt), t + dt] = J [W (t), X (t), t] + J_ {t} dt + J_ {W} E [dW] + J_ {X} E (dX) + {\ frac {1} {2}} J_ {XX} var (dX) + {\ frac {1} {2}} J_ {WW} var [dW] + J_ {WX} cov (dX, dW)}

După câteva simplificări ^[3] , se obține următoarea funcție obiectivă:

max\left\{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\alpha _{i}-r_{f})+r_{f}]-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}

{\ displaystyle max \ left \ {U (C, t) + J_ {t} + J_ {W} W [\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} (\ alpha _ {i} - r_ {f}) + r_ {f}] - J_ {W} C + {\ frac {W ^ {2}} {2}} J_ {WW} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {ij} + J_ {X} \ mu + {\ frac {1} {2}} J_ {XX} s ^ {2 } + J_ {WX} W \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ sigma _ {iX} \ right \}}

{\ displaystyle max \ left \ {U (C, t) + J_ {t} + J_ {W} W [\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} (\ alpha _ {i} - r_ {f}) + r_ {f}] - J_ {W} C + {\ frac {W ^ {2}} {2}} J_ {WW} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {ij} + J_ {X} \ mu + {\ frac {1} {2}} J_ {XX} s ^ {2 } + J_ {WX} W \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} \ sigma _ {iX} \ right \}}

unde este $r_{f}$ ${\ displaystyle r_ {f}}$ $r_f$ este rentabilitatea activului fără risc. Condițiile pentru prima comandă sunt:

J_{W}(\alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n

{\ displaystyle J_ {W} (\ alpha _ {i} -r_ {f}) + J_ {WW} W \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} ^ {*} \ sigma _ { ij} + J_ {WX} \ sigma _ {iX} = 0 \ quad i = 1,2, \ ldots, n}

{\ displaystyle J_ {W} (\ alpha _ {i} -r_ {f}) + J_ {WW} W \ sum _ {j = 1} ^ {n} w_ {j} ^ {*} \ sigma _ { ij} + J_ {WX} \ sigma _ {iX} = 0 \ quad i = 1,2, \ ldots, n}

În formă matricială , se poate scrie:

(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })={\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}

{\ displaystyle (\ alpha -r_ {f} {\ mathbf {1}}) = {\ frac {-J_ {WW}} {J_ {W}}} \ Omega w ^ {*} W + {\ frac { - J_ {WX}} {J_ {W}}} cov_ {rX}}

{\ displaystyle (\ alpha -r_ {f} {\ mathbf {1}}) = {\ frac {-J_ {WW}} {J_ {W}}} \ Omega w ^ {*} W + {\ frac { - J_ {WX}} {J_ {W}}} cov_ {rX}}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este vectorul randamentelor așteptate, $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ matricea covarianței randamentelor, ${\mathbf {1} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {1}}}$ un vector unitate e $cov_{rX}$ ${\ displaystyle cov_ {rX}}$ ${\ displaystyle cov_ {rX}}$ covarianța randamentelor cu variabila de stare. Părțile optime sunt apoi:

{\mathbf {w} ^{*}}={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}

{\ displaystyle {\ mathbf {w} ^ {*}} = {\ frac {-J_ {W}} {J_ {WW} W}} \ Omega ^ {- 1} (\ alpha -r_ {f} {\ mathbf {1}}) - {\ frac {J_ {WX}} {J_ {WW} W}} \ Omega ^ {- 1} cov_ {rX}}

{\ displaystyle {\ mathbf {w} ^ {*}} = {\ frac {-J_ {W}} {J_ {WW} W}} \ Omega ^ {- 1} (\ alpha -r_ {f} {\ mathbf {1}}) - {\ frac {J_ {WX}} {J_ {WW} W}} \ Omega ^ {- 1} cov_ {rX}}

Deoarece aceste proporții sunt cele ale investitorului reprezentativ, acestea trebuie să fie cele ale portofoliului pieței, astfel cum este definit de CAPM . Randamentele așteptate pot fi, prin urmare, exprimate după cum urmează:

\alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\alpha _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})

{\ displaystyle \ alpha _ {i} = r_ {f} + \ beta _ {im} (\ alpha _ {m} -r_ {f}) + \ beta _ {ih} (\ alpha _ {h} -r_ {f})}

{\ displaystyle \ alpha _ {i} = r_ {f} + \ beta _ {im} (\ alpha _ {m} -r_ {f}) + \ beta _ {ih} (\ alpha _ {h} -r_ {f})}

unde m indică portofoliul pieței și h este un portofoliu utilizat pentru acoperirea riscului de modificare a variabilei de stat.

Modelul ICAPM poate explica rentabilitatea puternică a stocurilor valorice (cu un raport contabil ridicat / valoarea de piață) comparativ cu stocurile de creștere. Dacă stocurile de creștere protejează investitorul de modificările variabilei de stat, acoperirea acestui risc compensează rentabilitatea mai mică.

Versiune cu timp echitabil

Campbell ^[4] propune o versiune discretă în timp a modelului intertemporal al lui Merton folosind o aproximare liniară în logaritmii constrângerii bugetare și funcției de utilitate sugerate de Epstein și Zin ^[5] . Alte versiuni cu timp discret au fost propuse, în special de Fama ^[6] .

Funcția de utilitate a investitorului reprezentativ să fie:

\sum _{j=o}^{\infty }\delta ^{j}u(c_{t+j},z_{t+j})

{\ displaystyle \ sum _ {j = o} ^ {\ infty} \ delta ^ {j} u (c_ {t + j}, z_ {t + j})}

{\ displaystyle \ sum _ {j = o} ^ {\ infty} \ delta ^ {j} u (c_ {t + j}, z_ {t + j})}

unde u este utilitarul instant, $c_{t+j}$ ${\ displaystyle c_ {t + j}}$ ${\ displaystyle c_ {t + j}}$ consum pe perioadă $t+j$ ${\ displaystyle t + j}$ ${\ displaystyle t + j}$ , $z_{t+j}$ ${\ displaystyle z_ {t + j}}$ ${\ displaystyle z_ {t + j}}$ o variabilă de stare e $\delta =1/(1+\rho )$ ${\ displaystyle \ delta = 1 / (1+ \ rho)}$ ${\ displaystyle \ delta = 1 / (1+ \ rho)}$ este rata subiectivă de preferință pentru timp ^[7] ( $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este rata de actualizare subiectivă).

Investitorul maximizează utilitatea așteptată:

\max \quad u(c_{t},z_{t})+\sum _{j=1}^{\infty }\delta ^{j}E_{t}[u(c_{t+j},z_{t+j})]

{\ displaystyle \ max \ quad u (c_ {t}, z_ {t}) + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ delta ^ {j} E_ {t} [u (c_ {t + j}, z_ {t + j})]}

{\ displaystyle \ max \ quad u (c_ {t}, z_ {t}) + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \ delta ^ {j} E_ {t} [u (c_ {t + j}, z_ {t + j})]}

sub constrângere:

\sum _{j=1}^{n}x_{j,t+1}+F_{t+1}=\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}+(1+r_{ft})F_{t}-c_{t}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j, t + 1} + F_ {t + 1} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt} ) x_ {jt} + (1 + r_ {ft}) F_ {t} -c_ {t}}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j, t + 1} + F_ {t + 1} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt} ) x_ {jt} + (1 + r_ {ft}) F_ {t} -c_ {t}}

unde este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este securitatea fără riscuri e $r_{ft}$ ${\ displaystyle r_ {ft}}$ ${\ displaystyle r_ {ft}}$ rata dobânzii a garanției fără risc.

Folosind ecuația Bellman a programării dinamice ^[8] putem scrie:

V(W_{t},z_{t})=\max _{x_{i,t+1},F_{t+1}}\left\{u(W_{t}-\sum _{j=1}^{n}x_{j,t+1}-F_{t+1})+\delta E_{t}\left[V(W_{t+1},z_{t+1})\right]\right\}

{\ displaystyle V (W_ {t}, z_ {t}) = \ max _ {x_ {i, t + 1}, F_ {t + 1}} \ left \ {u (W_ {t} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j, t + 1} -F_ {t + 1}) + \ delta E_ {t} \ left [V (W_ {t + 1}, z_ {t + 1} ) \ corect corect \}}

{\ displaystyle V (W_ {t}, z_ {t}) = \ max _ {x_ {i, t + 1}, F_ {t + 1}} \ left \ {u (W_ {t} - \ sum _ {j = 1} ^ {n} x_ {j, t + 1} -F_ {t + 1}) + \ delta E_ {t} \ left [V (W_ {t + 1}, z_ {t + 1} ) \ corect corect \}}

unde W este capitalul investitorului:

W_{t}=\sum _{j=1}^{n}(1+r_{jt})x_{jt}+(1+r_{ft})F_{t}

{\ displaystyle W_ {t} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt}) x_ {jt} + (1 + r_ {ft}) F_ {t}}

{\ displaystyle W_ {t} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} (1 + r_ {jt}) x_ {jt} + (1 + r_ {ft}) F_ {t}}

Condițiile pentru prima comandă sunt:

{\frac {\partial V}{\partial x_{i,t+1}}}=-u^{\prime }(c_{t},z_{t})+\delta E_{t}\left[V_{W}(W_{t+1},z_{t+1}){\frac {\partial W_{t+1}}{\partial x_{i,t+1}}}\right]=0\quad i=1,\ldots ,n

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i, t + 1}}} = - u ^ {\ prime} (c_ {t}, z_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) {\ frac {\ partial W_ {t + 1}} {\ partial x_ {i, t + 1}}} \ right ] = 0 \ quad i = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial x_ {i, t + 1}}} = - u ^ {\ prime} (c_ {t}, z_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) {\ frac {\ partial W_ {t + 1}} {\ partial x_ {i, t + 1}}} \ right ] = 0 \ quad i = 1, \ ldots, n}

{\frac {\partial V}{\partial F_{t+1}}}=-u^{\prime }(c_{t},z_{t})+\delta E_{t}\left[V_{W}(W_{t+1},z_{t+1}){\frac {\partial W_{t+1}}{\partial F_{t+1}}}\right]=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial F_ {t + 1}}} = - u ^ {\ prime} (c_ {t}, z_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) {\ frac {\ partial W_ {t + 1}} {\ partial F_ {t + 1}}} \ right] = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial F_ {t + 1}}} = - u ^ {\ prime} (c_ {t}, z_ {t}) + \ delta E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) {\ frac {\ partial W_ {t + 1}} {\ partial F_ {t + 1}}} \ right] = 0}

unde este $V_{W}$ ${\ displaystyle V_ {W}}$ ${\ displaystyle V_ {W}}$ este derivatul cu privire la $W_{t+1}$ ${\ displaystyle W_ {t + 1}}$ ${\ displaystyle W_ {t + 1}}$ (utilitate marginală a activelor).

Din aceste condiții obținem:

E_{t}\left[V_{W}(W_{t+1},z_{t+1})(1+r_{jt})\right]=E_{t}\left[V_{W}(W_{t+1},z_{t+1})(1+r_{ft})\right]

{\ displaystyle E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) (1 + r_ {jt}) \ right] = E_ {t} \ left [V_ { W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) (1 + r_ {ft}) \ dreapta]}

{\ displaystyle E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) (1 + r_ {jt}) \ right] = E_ {t} \ left [V_ { W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) (1 + r_ {ft}) \ dreapta]}

Covarianța a două variabile aleatorii este:

cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)

{\ displaystyle cov (x, y) = E (xy) -E (x) E (y)}

{\ displaystyle cov (x, y) = E (xy) -E (x) E (y)}

Prin urmare, pentru activele riscante putem scrie:

E_{t}\left[V_{W}(W_{t+1},z_{t+1})(1+r_{jt})\right]=cov_{t}[(V_{W}(W_{t+1},z_{t+1}),(1+r_{jt})]+E_{t}[V_{W}(W_{t+1},z_{t+1})]E_{t}[(1+r_{jt})]

{\ displaystyle E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) (1 + r_ {jt}) \ right] = cov_ {t} [(V_ {W } (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}), (1 + r_ {jt})] + E_ {t} [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1} )] E_ {t} [(1 + r_ {jt})]}

{\ displaystyle E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) (1 + r_ {jt}) \ right] = cov_ {t} [(V_ {W } (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}), (1 + r_ {jt})] + E_ {t} [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1} )] E_ {t} [(1 + r_ {jt})]}

în timp ce pentru activul fără risc avem:

E_{t}\left[V_{W}(W_{t+1},z_{t+1})(1+r_{ft})\right]=(1+r_{ft})E_{t}[V_{W}(W_{t+1},z_{t+1})]

{\ displaystyle E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) (1 + r_ {ft}) \ right] = (1 + r_ {ft}) E_ {t} [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1})]}

{\ displaystyle E_ {t} \ left [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) (1 + r_ {ft}) \ right] = (1 + r_ {ft}) E_ {t} [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1})]}

Condiția de mai sus devine, prin urmare:

E(r_{jt})-r_{ft}=-{\frac {cov_{t}[(V_{W}(W_{t+1},z_{t+1}),(1+r_{jt})]}{E_{t}[V_{W}(W_{t+1},z_{t+1})]}}

{\ displaystyle E (r_ {jt}) - r_ {ft} = - {\ frac {cov_ {t} [(V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}), (1+ r_ {jt})]} {E_ {t} [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1})]}}}

{\ displaystyle E (r_ {jt}) - r_ {ft} = - {\ frac {cov_ {t} [(V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}), (1+ r_ {jt})]} {E_ {t} [V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1})]}}}

Luând aproximarea la prima comandă:

V_{W}(W_{t+1},z_{t+1})\approx V_{W}(W_{t},t_{t})+V_{WW}(W_{t},z_{t})\Delta W_{t+1}+V_{Wz}(W_{t},z_{t})\Delta z_{t+1}

{\ displaystyle V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) \ approx V_ {W} (W_ {t}, t_ {t}) + V_ {WW} (W_ {t}, z_ {t}) \ Delta W_ {t + 1} + V_ {Wz} (W_ {t}, z_ {t}) \ Delta z_ {t + 1}}

{\ displaystyle V_ {W} (W_ {t + 1}, z_ {t + 1}) \ approx V_ {W} (W_ {t}, t_ {t}) + V_ {WW} (W_ {t}, z_ {t}) \ Delta W_ {t + 1} + V_ {Wz} (W_ {t}, z_ {t}) \ Delta z_ {t + 1}}

primesti:

E(r_{jt})-r_{ft}=-\gamma cov_{t}[\Delta W_{t+1},(1+r_{jt})]+{\frac {V_{Wz}}{E_{t}(V_{W})}}cov[\Delta z_{t+1},(1+r_{jt})]

{\ displaystyle E (r_ {jt}) - r_ {ft} = - \ gamma cov_ {t} [\ Delta W_ {t + 1}, (1 + r_ {jt})] + {\ frac {V_ {Wz }} {E_ {t} (V_ {W})}} cov [\ Delta z_ {t + 1}, (1 + r_ {jt})]}

{\ displaystyle E (r_ {jt}) - r_ {ft} = - \ gamma cov_ {t} [\ Delta W_ {t + 1}, (1 + r_ {jt})] + {\ frac {V_ {Wz }} {E_ {t} (V_ {W})}} cov [\ Delta z_ {t + 1}, (1 + r_ {jt})]}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este indicele relativ de aversiune la risc al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Modificarea capitalului propriu este legată de versiunea beta a modelului CAPM . Variația variabilei de stat este legată de posibilitățile de investiții. Randamentul așteptat al unui titlu depinde, prin urmare, de covarianța cu portofoliul pieței și de covarianța cu variabila de stat, care este o aproximare a posibilităților de investiții. Investitorii cresc valoarea activelor riscante care sunt corelate negativ cu variabila de stat.

Estimări empirice

Modelul intertemporal de evaluare a activelor (ICAPM) poate fi considerat ca o bază teoretică a modelului cu trei factori al Fama și francez ^[9] . În consecință, rezultatele favorabile modelului Fama și francez sunt, de asemenea, rezultate care confirmă modelul ICAPM.

Campbell și colab. ^{[10] a} constatat că restricțiile impuse de modelul ICAPM îmbunătățesc capacitatea de a prezice rentabilitatea preconizată a activelor financiare.

Notă

^ Modelul de preț al activelor de capital intertemporale
^ Robert Merton, "Un model de prețuri pentru activele de capital intertemporale", Econometrica, 1973, p. 867-887
^ : $E(dW)=-C(t)dt+W(t)\sum w_{i}(t)\alpha _{i}dt$ ${\ displaystyle E (dW) = - C (t) dt + W (t) \ sum w_ {i} (t) \ alpha _ {i} dt}$ ${\ displaystyle E (dW) = - C (t) dt + W (t) \ sum w_ {i} (t) \ alpha _ {i} dt}$
$var(dW)=[W(t)-C(t)dt]^{2}var[\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)]=W(t)^{2}\sum _{i=1}\sum _{i=1}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}dt$ ${\ displaystyle var (dW) = [W (t) -C (t) dt] ^ {2} var [\ sum w_ {i} (t) r_ {i} (t + dt)] = W (t) ^ {2} \ sum _ {i = 1} \ sum _ {i = 1} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {ij} dt}$ ${\ displaystyle var (dW) = [W (t) -C (t) dt] ^ {2} var [\ sum w_ {i} (t) r_ {i} (t + dt)] = W (t) ^ {2} \ sum _ {i = 1} \ sum _ {i = 1} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {ij} dt}$
$\sum _{i=o}^{n}w_{i}(t)\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}(t)[\alpha _{i}-r_{f}]+r_{f}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = o} ^ {n} w_ {i} (t) \ alpha _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} (t) [\ alfa _ {i} -r_ {f}] + r_ {f}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = o} ^ {n} w_ {i} (t) \ alpha _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} (t) [\ alfa _ {i} -r_ {f}] + r_ {f}}$
^ JY Campbell, "Intertemporal Asset Pricing without Consumption", American Economic Review, 1993, p. 487-512
^ L. Epstein și S. Zin, "Substitution, Risk Aversion, and Temporal Behavior of Consumption and Asset Returns: A Theoretical Framework", Econometrica, 1989, p. 937-969
^ E. Fama, "Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing", Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1996, p. 441-465
^ Factorul de reducere psihologică a utilităților viitoare
^ KJ Arrow și M. Kurz, Investiții publice, rata rentabilității și politica fiscală optimă, Londra, 1970, p. 28
^ EF Fama și KR French, "Modelul de stabilire a prețurilor activelor de capital: teorie și dovezi", Journal of Economic Perspectives, 2004, 3, p. 39
^ JY Campbell, S. Giglio și C. Polk, „Hard Times”, Review of Asset Pricing Studies, 2013, p. 95-132

Bibliografie

JY Campbell, „Intertemporal Asset Pricing without Consumption”, American Economic Review, 1993, p. 487-512
JY Campbell, S. Giglio, C. Polk, „Hard Times”, Review of Asset Pricing Studies, 2013, p. 95-132
JY Campbell și T. Vuolteenaho, „Bad Beta, Good Beta”, American Economic Review, 2004, p. 1249-1275
JH Cochrane, Prețul activelor, Princeton University Press, 2001
EF Fama, „Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1996, p. 441-465
RC Merton, Finanțe continue, Blackwell, 1992

Elemente conexe

Portalul Economiei : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de economie

[1] Modelul de preț al activelor de capital intertemporale

[2] Robert Merton, "Un model de prețuri pentru activele de capital intertemporale", Econometrica, 1973, p. 867-887

[3] : $E(dW)=-C(t)dt+W(t)\sum w_{i}(t)\alpha _{i}dt$ ${\ displaystyle E (dW) = - C (t) dt + W (t) \ sum w_ {i} (t) \ alpha _ {i} dt}$ ${\ displaystyle E (dW) = - C (t) dt + W (t) \ sum w_ {i} (t) \ alpha _ {i} dt}$
$var(dW)=[W(t)-C(t)dt]^{2}var[\sum w_{i}(t)r_{i}(t+dt)]=W(t)^{2}\sum _{i=1}\sum _{i=1}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}dt$ ${\ displaystyle var (dW) = [W (t) -C (t) dt] ^ {2} var [\ sum w_ {i} (t) r_ {i} (t + dt)] = W (t) ^ {2} \ sum _ {i = 1} \ sum _ {i = 1} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {ij} dt}$ ${\ displaystyle var (dW) = [W (t) -C (t) dt] ^ {2} var [\ sum w_ {i} (t) r_ {i} (t + dt)] = W (t) ^ {2} \ sum _ {i = 1} \ sum _ {i = 1} w_ {i} w_ {j} \ sigma _ {ij} dt}$
$\sum _{i=o}^{n}w_{i}(t)\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}(t)[\alpha _{i}-r_{f}]+r_{f}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = o} ^ {n} w_ {i} (t) \ alpha _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} (t) [\ alfa _ {i} -r_ {f}] + r_ {f}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = o} ^ {n} w_ {i} (t) \ alpha _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} (t) [\ alfa _ {i} -r_ {f}] + r_ {f}}$

[4] JY Campbell, "Intertemporal Asset Pricing without Consumption", American Economic Review, 1993, p. 487-512

[5] L. Epstein și S. Zin, "Substitution, Risk Aversion, and Temporal Behavior of Consumption and Asset Returns: A Theoretical Framework", Econometrica, 1989, p. 937-969

[6] E. Fama, "Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing", Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1996, p. 441-465

[7] Factorul de reducere psihologică a utilităților viitoare

[8] KJ Arrow și M. Kurz, Investiții publice, rata rentabilității și politica fiscală optimă, Londra, 1970, p. 28

[9] EF Fama și KR French, "Modelul de stabilire a prețurilor activelor de capital: teorie și dovezi", Journal of Economic Perspectives, 2004, 3, p. 39

[10] JY Campbell, S. Giglio și C. Polk, „Hard Times”, Review of Asset Pricing Studies, 2013, p. 95-132

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10] a