Număr foarte compus

Un număr foarte compus este un număr întreg pozitiv care are mai mulți divizori decât orice număr întreg pozitiv minor. Primele douăzeci și unu de numere foarte compozite sunt:

1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , 180 , 240 , 360 , 720 , 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080 ^[1] ,

cu 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 60, 64 și respectiv 72 divizori pozitivi ^[2] . Secvența numerelor foarte compuse este un subset al secvenței celor mai mici numere k cu exact n divizoare ^[3] .

Numerele foarte compuse sunt infinite. Pentru a demonstra acest lucru, să presupunem că n este orice număr foarte compus. Atunci 2 n va avea mai mulți divizori decât n (de fapt va avea toți divizorii lui n plus cel puțin 2 n ) și, prin urmare, un număr mai mare decât n , dar nu mai mare de 2 n , trebuie la rândul său să fie foarte compus.

În general vorbind, un număr foarte compus este probabil să aibă cei mai mici factori primi posibili, dar nu prea mulți egali. Dat fiind un număr n a cărui factorizare primă este:

n=p_{1}^{c_{1}}p_{2}^{c_{2}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{c_{k}}

{\ displaystyle n = p_ {1} ^ {c_ {1}} p_ {2} ^ {c_ {2}} \ cdot \ dots \ cdot p_ {k} ^ {c_ {k}}}

n = p_ {1} ^ {c_ {1}} p_ {2} ^ {c_ {2}} \ cdot \ dots \ cdot p_ {k} ^ {c_ {k}}

Unde este $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$ ${\ displaystyle p_ {1} <p_ {2} <\ dots <p_ {k}}$ $p_ {1} <p_ {2} <\ dots <p_ {k}$ sunt prime și exponenți $c_{i}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ $Acolo}$ sunt numere întregi pozitive, atunci numărul divizorilor lui n este:

(c_{1}+1)(c_{2}+1)\cdot \dots \cdot (c_{k}+1)

{\ displaystyle (c_ {1} +1) (c_ {2} +1) \ cdot \ dots \ cdot (c_ {k} +1)}

(c_ {1} +1) (c_ {2} +1) \ cdot \ dots \ cdot (c_ {k} +1)

.

Prin urmare, pentru ca n să fie un număr foarte compus:

k numere prime $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ trebuie să fie tocmai primele k numere prime (2, 3, 5, ...); în caz contrar, putem înlocui una dintre primele date cu una mai mică și astfel putem obține un număr mai mic de n cu același număr de factori (de exemplu, 10 = 2 × 5. 5 ar putea fi înlocuit cu 3: 6 = 2 × 3 și ambii ar avea 4 divizori);

succesiunea exponenților nu trebuie să fie în creștere, adică $c_{1}\geq c_{2}\geq \dots \geq c_{k}$ ${\ displaystyle c_ {1} \ geq c_ {2} \ geq \ dots \ geq c_ {k}}$ $c_ {1} \ geq c_ {2} \ geq \ dots \ geq c_ {k}$ ; altfel, schimbând doi exponenți din ordine, putem obține un număr mai mic de n cu același număr de divizori (de exemplu 18 = 2 ¹ × 3 ² poate fi transformat în 12 = 2 ² × 3 ¹ , ambii cu 6 divizori ).

Mai mult, cu excepția cazurilor n = 4 și n = 36, ultimul exponent c _k trebuie să fie egal cu 1.

A spune că secvența exponenților nu este în creștere echivalează cu a spune că un număr foarte compus este un produs al primorialelor .

Numerele foarte compozite mai mari de 6 sunt, de asemenea, numere abundente . Pentru a fi sigur, trebuie doar să ne uităm la cei trei sau patru cei mai mari divizori ai unui anumit număr foarte compus. Toate numerele foarte compozite sunt și numere Harshad .

Dacă Q ( x ) este numărul de numere foarte compuse mai mic sau egal cu x , atunci există două constante a și b , ambele mai mari decât 1, astfel încât:

(\ln x)^{a}\leq Q(x)\leq (\ln x)^{b}

{\ displaystyle (\ ln x) ^ {a} \ leq Q (x) \ leq (\ ln x) ^ {b}}

(\ ln x) ^ {a} \ leq Q (x) \ leq (\ ln x) ^ {b}

Prima parte a inegalității a fost dovedită de Paul Erdős în 1944 și a doua de J.-L. Nicholas în 1988 .

Notă

^ (EN) secvența A002182 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A002183 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
^ (EN) secvența A005179 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, număr foarte compus , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) secvența A002182 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[2] (EN) secvența A002183 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[3] (EN) secvența A005179 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

[1]

[2]

[3]