Număr de neatins
În teoria numerelor , un număr de neatins este un număr care nu este suma divizorilor proprii a oricărui alt număr, adică un număr întreg n astfel încât ecuația
- σ (x) -x = n ,
unde σ reprezintă funcția sigma , nu admiteți nicio soluție. De exemplu, 4 nu este de neatins deoarece este suma divizorilor lui 9 excluzând 9 în sine (4 = 1 + 3), în timp ce 5 este pentru că nu este suma divizorilor proprii oricărui număr. Primele numere de neatins sunt: 2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262 , 268 , 276 , 288 , 290 , 292 , 304 [1] .
Proprietăți matematice
Există infinite numere de neatins, după cum demonstrează Paul Erdős [2] . Niciun număr de neatins nu poate fi următorul unui număr prim , deoarece suma divizorilor proprii a lui p 2 valorează p +1. Mai mult, cu excepția lui 5 nici măcar nu poate fi exprimat sub forma p +3, cu p prim, deoarece pentru toate numerele prime p , în afară de 2, suma divizorilor lui 2p , (după cum se poate verifica cu ușurință) este doar egal cu p +3. Nici un număr de neatins nu este, de asemenea, un număr perfect , deoarece suma divizorilor proprii a unui număr perfect este, prin definiție, egală cu numărul în sine.
Probleme nerezolvate
Se presupune că, în afară de 5, nu există un număr ciudat de neatins. Aceasta ar urma dintr-o versiune mai puternică a conjecturii lui Goldbach , care afirmă că orice număr par mai mare de 6 poate fi exprimat ca suma a două prime distincte . De fapt, dacă 2n = p + q , unde p și q sunt numere prime, atunci suma divizorilor proprii a pq este 1 + p + q = 2n + 1 : dacă conjectura este valabilă pentru orice n mai mare de 6, toate numerele impare în afară de 5 nu sunt de neatins (deoarece 1, 3 și 7 nu sunt de neatins prin verificare empirică). Ar urma, de asemenea, că niciun număr de neatins, cu excepțiile 2 și 5, este, de asemenea, un număr prim, o altă întrebare încă deschisă.
Notă
- ^ (EN) secvența A005114 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
- ^ P. Erdős, Über die Zahlen der Form σ (n) -n und n-π (n) . Elemente der Math. 28 (1973), 83-86, [1]
linkuri externe
- ( EN ) Sequenza A070015 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS. : pentru orice număr întreg, cel mai mic număr a cărui sumă de divizori este egală cu întregul în sine sau 0 dacă acest număr nu există.
