Unda triunghiulară

O undă triunghiulară limitată de bandă reprezentată în domeniul timpului (sus) și al frecvenței (jos). Frecvența fundamentală este de 220 Hz (A3).

O „undă” este o formă de undă triunghiulară care nu este sinusoidală așa-numita pentru apariția vârfurilor sale, în formă de triunghi .

Analiza armonică

La fel ca undele pătrate , unda triunghiulară conține doar armoniile impare cu diferența că armonicele superioare se descompun mult mai repede decât în undele pătrate, proporțional cu inversul pătratului numărului armonic, în timp ce în unda pătrată se descompun cu respect invers numărul armonic.

Este posibil să se aproximeze o undă triunghiulară cu sinteză aditivă prin adăugarea armonicelor pare ale frecvenței fundamentale, înmulțirea armonicilor plasate în poziție (4n-1) cu -1 (sau schimbarea fazei lor cu π) și apoi descompunerea armonicelor prin inversul pătratului frecvenței lor față de frecvența fundamentală.

Următoarea serie Fourier converge către o undă triunghiulară:

{\begin{aligned}x_{\mathrm {triangolo} }(t)&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {\sin \left((2k+1)\omega t\right)}{(2k+1)^{2}}}\\&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\left(\sin(\omega t)-{1 \over 9}\sin(3\omega t)+{1 \over 25}\sin(5\omega t)-\cdots \right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x _ {\ mathrm {triangle}} (t) & {} = {\ frac {8} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {k = 0} ^ { \ infty} (- 1) ^ {k} \, {\ frac {\ sin \ left ((2k + 1) \ omega t \ right)} {(2k + 1) ^ {2}}} \\ & { } = {\ frac {8} {\ pi ^ {2}}} \ left (\ sin (\ omega t) - {1 \ over 9} \ sin (3 \ omega t) + {1 \ over 25} \ sin (5 \ omega t) - \ cdots \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x _ {\ mathrm {triangle}} (t) & {} = {\ frac {8} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {k = 0} ^ { \ infty} (- 1) ^ {k} \, {\ frac {\ sin \ left ((2k + 1) \ omega t \ right)} {(2k + 1) ^ {2}}} \\ & { } = {\ frac {8} {\ pi ^ {2}}} \ left (\ sin (\ omega t) - {1 \ over 9} \ sin (3 \ omega t) + {1 \ over 25} \ sin (5 \ omega t) - \ cdots \ right) \ end {align}}}

unde este

\scriptstyle \omega

{\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}

{\ displaystyle \ scriptstyle \ omega}

este frecvența unghiulară .

Animația sintezei aditive a unei unde triunghiulare cu un număr tot mai mare de armonici. A se vedea „ Transformarea Fourier ” pentru o analiză matematică.

Ajutor

Eșantion sonor al unei unde triunghiulare ( fișier info )

5 secunde ale unei unde triunghiulare la 220 Hz

O altă definiție a undei triunghiulare, cu amplitudinea -1-1 și perioada 2a este după cum urmează:

$x(t)={\frac {2}{a}}\left(t-a\left\lfloor {\frac {t}{a}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{a}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$ ${\ displaystyle x (t) = {\ frac {2} {a}} \ left (ta \ left \ lfloor {\ frac {t} {a}} + {\ frac {1} {2}} \ right \ rfloor \ right) (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {t} {a}} + {\ frac {1} {2}} \ right \ rfloor}}$ ${\ displaystyle x (t) = {\ frac {2} {a}} \ left (ta \ left \ lfloor {\ frac {t} {a}} + {\ frac {1} {2}} \ right \ rfloor \ right) (- 1) ^ {\ left \ lfloor {\ frac {t} {a}} + {\ frac {1} {2}} \ right \ rfloor}}$

unde este

\scriptstyle \lfloor n\rfloor

{\ displaystyle \ scriptstyle \ lfloor n \ rfloor}

{\ displaystyle \ scriptstyle \ lfloor n \ rfloor}

reprezintă funcția Floor a lui n .

În plus, unda triunghiulară poate fi dată de valoarea absolută a unei unde din dinte de ferăstrău :

$x(t)=\left|2\left({t \over a}-\left\lfloor {t \over a}+{1 \over 2}\right\rfloor \right)\right|$ ${\ displaystyle x (t) = \ left | 2 \ left ({t \ over a} - \ left \ lfloor {t \ over a} + {1 \ over 2} \ right \ rfloor \ right) \ right |}$ ${\ displaystyle x (t) = \ left | 2 \ left ({t \ over a} - \ left \ lfloor {t \ over a} + {1 \ over 2} \ right \ rfloor \ right) \ right |}$

Unda triunghiulară poate fi exprimată și ca integral al undei pătrate:

$\int \operatorname {sgn}(\sin(x))\,dx$ ${\ displaystyle \ int \ operatorname {sgn} (\ sin (x)) \, dx}$ ${\ displaystyle \ int \ operatorname {sgn} (\ sin (x)) \, dx}$

Valoarea RMS a unei unde triunghiulare alternative

În teoria semnalului, se aplică valoarea rms (pătrat mediu rădăcină sau rms) a unei unde triunghiulare alternante $V_{rms}={\frac {V_{0}}{\sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle V_ {rms} = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {3}}}}$ ${\ displaystyle V_ {rms} = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {3}}}}$ .

De fapt, întrebați $V(t)=0$ ${\ displaystyle V (t) = 0}$ ${\ displaystyle V (t) = 0}$ pentru $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ (forma de undă care trece prin origine). Deoarece graficul $V^{2}(t)$ ${\ displaystyle V ^ {2} (t)}$ ${\ displaystyle V ^ {2} (t)}$ este încă periodic și întotdeauna pozitiv și în virtutea pantei constante a curbei între 0 și $T/4$ ${\ displaystyle T / 4}$ ${\ displaystyle T / 4}$ , putem afirma

$V_{rms}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\cdot \int _{-T/2}^{+T/2}V^{2}(t)dt}}={\sqrt {4\cdot {\frac {1}{T}}\cdot \int _{0}^{+T/4}\left({\frac {V_{0}\cdot t}{T/4}}\right)^{2}dt}}={\sqrt {{\frac {64V_{0}^{2}}{T^{3}}}\cdot \left[{\frac {t^{3}}{3}}\right]_{0}^{T/4}}}={\sqrt {{\frac {64V_{0}^{2}}{T^{3}}}\cdot {\frac {T^{3}}{3\cdot 64}}}}={\frac {V_{0}}{\sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle V_ {rms} = {\ sqrt {{\ frac {1} {T}} \ cdot \ int _ {- T / 2} ^ {+ T / 2} V ^ {2} (t) dt} } = {\ sqrt {4 \ cdot {\ frac {1} {T}} \ cdot \ int _ {0} ^ {+ T / 4} \ left ({\ frac {V_ {0} \ cdot t} { T / 4}} \ right) ^ {2} dt}} = {\ sqrt {{\ frac {64V_ {0} ^ {2}} {T ^ {3}}} \ cdot \ left [{\ frac { t ^ {3}} {3}} \ right] _ {0} ^ {T / 4}}} = {\ sqrt {{\ frac {64V_ {0} ^ {2}} {T ^ {3}} } \ cdot {\ frac {T ^ {3}} {3 \ cdot 64}}}} = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {3}}}}$ ${\ displaystyle V_ {rms} = {\ sqrt {{\ frac {1} {T}} \ cdot \ int _ {- T / 2} ^ {+ T / 2} V ^ {2} (t) dt} } = {\ sqrt {4 \ cdot {\ frac {1} {T}} \ cdot \ int _ {0} ^ {+ T / 4} \ left ({\ frac {V_ {0} \ cdot t} { T / 4}} \ right) ^ {2} dt}} = {\ sqrt {{\ frac {64V_ {0} ^ {2}} {T ^ {3}}} \ cdot \ left [{\ frac { t ^ {3}} {3}} \ right] _ {0} ^ {T / 4}}} = {\ sqrt {{\ frac {64V_ {0} ^ {2}} {T ^ {3}} } \ cdot {\ frac {T ^ {3}} {3 \ cdot 64}}}} = {\ frac {V_ {0}} {\ sqrt {3}}}}$ .

Generator de unde triunghiulare

Un exemplu clasic de generator de unde triunghiulare este un multivibrator astabil pus în serie cu un integrator analog , tocmai datorită caracteristicii menționate mai sus a undei triunghiulare, integrală a undei pătrate. ^[1]

Notă

^ Adel Sedra , KC Smith, Circuits for microelectronics , editat de Aldo Ferrari, ediția a IV-a, Roma, Edizioni Ingegneria 2000, pp. 1005, 1006, ISBN 88-86658-15-X .