Triunghi

Triunghiul este un poligon cu trei laturi și trei unghiuri.

Caracteristicile triunghiului

Suma unghiurilor interne ale unui triunghi este egală cu 180 °.

Triunghiul se caracterizează prin următoarele proprietăți:

este o „figură nedeformabilă”, dat fiind că, odată atribuite lungimile laturilor, unghiurile sunt, de asemenea, determinate univoc; acest lucru nu este valabil în general pentru poligoane cu un număr mai mare de laturi;
este singurul poligon care nu poate fi concav ;
este singurul poligon pentru care nu este necesar ca acesta să fie regulat, astfel încât să fie întotdeauna posibil să se circumscrie și să se înscrie o circumferință , deoarece o singură circumferință trece întotdeauna prin trei puncte;
suma unghiurilor interne este egală cu un unghi plat , adică 180 °; cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că această egalitate este valabilă doar în geometria euclidiană și nu în alte tipuri de geometrie, cum ar fi geometria sferică și hiperbolică , unde în schimb această sumă este, respectiv, mai mare și mai mică de 180 °;
suma a două laturi trebuie să fie întotdeauna mai mare decât a treia latură sau diferența dintre două laturi trebuie să fie întotdeauna mai mică decât a treia latură.

Două triunghiuri sunt congruente dacă îndeplinesc cel puțin unul dintre criteriile de congruență .

Se spune că două triunghiuri sunt similare dacă îndeplinesc cel puțin unul dintre criteriile de similaritate .

Clasificarea triunghiurilor

Triunghiurile pot fi clasificate în funcție de lungimea relativă a laturilor:

Într-un triunghi echilateral toate laturile au lungime egală. Un triunghi echilateral poate fi definit echivalent ca un triunghi echiangular, adică un triunghi având unghiurile sale interne de lățime egală, egală cu 60 °.
Într-un triunghi isoscel, două laturi au lungime egală. Un triunghi isoscel poate fi definit echivalent ca un triunghi având două unghiuri interne de lățime egală.
Într-un triunghi scalen, toate laturile au lungimi diferite. Un triunghi scalen poate fi definit echivalent ca un triunghi având cele trei unghiuri interne de amplitudini diferite.


Echilateral	Isoscel	Scalen

Triunghiurile pot fi, de asemenea, clasificate în funcție de mărimea celui mai mare unghi intern; sunt descrise mai jos folosind grade de arc.

Un triunghi dreptunghiular (sau triunghi dreptunghiular ) are un unghi intern de 90 °, adică un unghi drept . Partea opusă unghiului drept se numește hipotenuză ; este cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghiular . Celelalte două laturi ale triunghiului se numesc catheti . Pentru acest triunghi se susține teorema lui Pitagora .
Un triunghi obtuz (sau triunghi obtuz ) are un unghi intern mai mare de 90 °, adică un unghi obtuz .
Un triunghi acut (sau triunghi acut ) are toate unghiurile interne mai mici de 90 °, adică are trei unghiuri acute .
Un triunghi echiangular , adică dacă are toate unghiurile interne egale, adică 60 °, adică dacă și numai dacă este un triunghi echilateral .

Pentru triunghiurile care nu sunt dreptunghiuri, o generalizare a teoremei pitagoreice cunoscută în trigonometrie ca teorema lui Carnot este valabilă.


Dreptunghi	Obtuz	Acutangolo

Triunghiuri degenerate și triunghiuri ideale

Un triunghi degenerat este un triunghi cu un unghi de 180 °. Celelalte două unghiuri au neapărat lățime zero, iar o parte măsoară suma celorlalte două: acest triunghi, ca set de puncte (grafic), constituie un segment .

Termenul triunghi degenerat este folosit și pentru o figură obținută ca limită a unui triunghi în care unele dintre vârfurile sale merg la infinit; această figură este numită și triunghiul ideal . Această construcție este utilizată pe scară largă în geometria hiperbolică .

Un triunghi ideal cu un vârf la infinit se dovedește a fi o bandă delimitată de un segment și două jumătăți de linie care se extind la nesfârșit în aceeași direcție, fiecare dintre acestea având una dintre cele ale segmentului ca extremitate; în special liniile drepte pot fi ortogonale cu segmentul.

Puncte notabile

Fiecare triunghi este asociat cu diferite puncte, fiecare dintre ele jucând un rol care, într-o oarecare privință, îl califică drept central pentru triunghiul însuși. Aceste puncte le definim concis referindu-ne la un triunghi $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ale cărei vârfuri le denotăm $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ și ale căror laturi opuse le denotăm respectiv cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

ortocentru de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția înălțimilor sale;
centroid sau centroid de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția medianelor sale;
incentro de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei bisectoare sau centrul cercului lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
circumcentrul de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei axe ale sale sau centrul circumferinței sale circumscrise (vezi circumcercul );
excentro de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ opus unuia dintre vârfurile sale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este intersecția bisectoarei sale în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și a celor două bisectoare externe față de cele două vârfuri rămase $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ;
Punctul Bevan de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este circumcentrul triunghiului excentral al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
Punctul Apollonius al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente care respectiv unesc un vârf $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu punctul în care excerchio de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ opus $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este tangentă la cercul tangent la cele trei excerchi di $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
Punctul Gergonne al $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente care respectiv unesc un vârf $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu punctul în care partea de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ opus $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este tangentă la cercul lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
Punctul lui Nagel de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente dintre care fiecare unește un vârf de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu punctul în care latura sa opusă este tangentă la cercul corespunzător;
Punctul lui Fermat $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente dintre care fiecare unește un vârf $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu vârful care nu aparține $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ a triunghiului echilateral unul dintre ale cărui laturi este latura $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ opus $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și extern la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ;
Ideea lui Napoleon $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția celor trei segmente care leagă fiecare vârful său $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu centrul triunghiului echilateral construit, extern a $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , pe partea de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ opus $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ;
centrul celor nouă puncte ale $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este centrul așa-numitului cerc cu nouă puncte (sau cercul lui Feuerbach ) al lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ; aceste nouă puncte cuprind cele trei puncte medii ale laturilor $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , cele trei picioare ale înălțimilor din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , punctele medii ale celor trei segmente, fiecare dintre ele unind un vârf de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ cu ortocentrul de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .
punctul pedalei de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția fiecăreia dintre cele trei linii perpendiculare pe laturile lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .
punct cevian de $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este intersecția a trei linii ceviene .

Formă

Formule trigonometrice

Trigonometria este aplicată pentru a găsi înălțimea

h

{\ displaystyle h}

h

Aria unui triunghi poate fi găsită trigonometic . Folosind literele din figura din dreapta, înălțimea $h=a\sin \gamma$ ${\ displaystyle h = a \ sin \ gamma}$ $h = a \ sin \ gamma$ . Înlocuind acest lucru în formula găsită mai devreme (geometric), $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$ ${\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ gamma}$ $S = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ gamma$ . Prin urmare, aria unui triunghi este, de asemenea, egală cu jumătatea produsului a două laturi de sinusul unghiului inclus.

În consecință, pentru identitatea cunoscută $\sin x=\sin(\pi -x)$ ${\ displaystyle \ sin x = \ sin (\ pi -x)}$ $\ sin x = \ sin (\ pi -x)$ , aria oricărui triunghi cu două fețe $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ și unghiul inclus $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ , este egal cu aria triunghiului cu aceleași laturi $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ dar cu colț suplimentar inclus $(\pi -\gamma )$ ${\ displaystyle (\ pi - \ gamma)}$ $(\ pi - \ gamma)$

Aria unui paralelogram cu două laturi adiacente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ și unghiul inclus $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este dublu față de triunghiul care are aceleași date, adică $ab\sin \gamma$ ${\ displaystyle ab \ sin \ gamma}$ $ab \ sin \ gamma$ .

Pentru a rezolva acest triunghi, și anume pentru a determina măsura tuturor laturilor și colțurilor, datele celor două laturi și unghiul inclus între acestea, sau o parte și cele două colțuri adiacente, folosind legea sinusurilor și legea cosinusului , căutați -le mai bine cunoscut sub numele de Carnot.

Zona ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ triunghiului poate fi măsurat cu formula matematică:

{\mathcal {A}}={\frac {bh}{2}},

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {bh} {2}},}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {bh} {2}},}

unde este $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este baza și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ înălțimea relativă, deoarece triunghiul trebuie văzut ca jumătate dintr-un paralelogram de bază $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ și înălțime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ .

Alternativ, aria triunghiului poate fi calculată cu

{\mathcal {A}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}},}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ sqrt {p (p-a) (p-b) (p-c)}},}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ sunt laturile și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ jumătatea perimetrului ( formula Heron ).

Formule analitice

Să luăm în considerare un triunghi $LA B. C.$ ${\ displaystyle ABC}$ $ABC$ în plan cartezian identificat prin perechile de coordonate ale vârfurilor $(x_{A},y_{A}),(x_{B},y_{B}),(x_{C},y_{C})$ ${\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A}), (x_ {B}, y_ {B}), (x_ {C}, y_ {C})}$ $(x_ {A}, y_ {A}), (x_ {B}, y_ {B}), (x_ {C}, y_ {C})$ .

Zona sa ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ este dat de expresie

{\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}(y_{B}-y_{C})-x_{B}(y_{A}-y_{C})+x_{C}(y_{A}-y_{B}){\big |},

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {1} {2}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ { A} & y_ {B} & y_ {C} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} {\ big |} x_ {A} (y_ {B} -y_ {C}) -x_ {B} (y_ {A} -y_ {C}) + x_ {C} (y_ {A} -y_ {B}) {\ big |},}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {1} {2}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ { A} & y_ {B} & y_ {C} \\ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} {\ big |} x_ {A} (y_ {B} -y_ {C}) -x_ {B} (y_ {A} -y_ {C}) + x_ {C} (y_ {A} -y_ {B}) {\ big |},}

sau cu o expresie care nu folosește conceptul de matrice

{\mathcal {A}}={\frac {{\big |}(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{B})+(y_{B}-y_{C})(x_{B}-x_{A}){\big |}}{2}},

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {{\ big |} (y_ {B} -y_ {A}) (x_ {C} -x_ {B}) + (y_ {B} -y_ {C}) (x_ {B} -x_ {A}) {\ big |}} {2}},}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ frac {{\ big |} (y_ {B} -y_ {A}) (x_ {C} -x_ {B}) + (y_ {B} -y_ {C}) (x_ {B} -x_ {A}) {\ big |}} {2}},}

și perimetrul său ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ este dat de

{\mathcal {P}}={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}+{\sqrt {(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}}+{\sqrt {(x_{B}-x_{C})^{2}+(y_{B}-y_{C})^{2}}}.

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ sqrt {(x_ {A} -x_ {B}) ^ {2} + (y_ {A} -y_ {B}) ^ {2}}} + { \ sqrt {(x_ {A} -x_ {C}) ^ {2} + (y_ {A} -y_ {C}) ^ {2}}} + {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {C }) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {C}) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ sqrt {(x_ {A} -x_ {B}) ^ {2} + (y_ {A} -y_ {B}) ^ {2}}} + { \ sqrt {(x_ {A} -x_ {C}) ^ {2} + (y_ {A} -y_ {C}) ^ {2}}} + {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {C }) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {C}) ^ {2}}}.}

Geometrii neeuclidiene

Conceptul de triunghi se extinde și este utilizat pe scară largă în toate geometriile neeuclidiene . Un triunghi într-o geometrie neeuclidiană diferă în general prin faptul că suma unghiurilor sale interne nu este de 180 °: această sumă este mai mică de 180 ° pentru fiecare triunghi în cazul unei geometrii hiperbolice , în timp ce este mai mare pentru fiecare triunghi din cazul unei geometrii eliptice .

Teoremele triunghiului

I criteriu de congruență a triunghiurilor

Dacă două triunghiuri au respectiv două laturi congruente și unghiul dintre ele, ele sunt congruente.

II criteriu de congruență a triunghiurilor

Dacă două triunghiuri au respectiv două unghiuri congruente și latura adiacentă acestora, ele sunt congruente.

III criteriu de congruență a triunghiurilor

Dacă două triunghiuri au respectiv trei laturi congruente, ele sunt congruente. Criteriul general al congruenței triunghiurilor Dacă două triunghiuri au respectiv o latură și oricare două unghiuri congruente, acestea sunt congruente.

Teorema unghiului extern

Într-un triunghi, fiecare unghi extern este mai mare decât fiecare dintre unghiurile interne care nu sunt adiacente acestuia.

Teorema unghiului extern

Într-un triunghi, unghiul extern al unuia dintre ele este egal cu suma celorlalte două unghiuri interne.

Corolarul 1: un triunghi nu poate avea nici două unghiuri drepte, nici două unghiuri obtuse, nici un drept și un unghi obtuz, adică un triunghi are cel puțin două unghiuri acute.; Corolarul 2: Unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt acute.
Inegalitate triunghiulară

Într-un triunghi fiecare latură este mai mică decât suma celorlalte două și mai mare decât diferența lor.

I criteriul similarității triunghiurilor

Dacă două triunghiuri au două unghiuri, respectiv, congruente, atunci ele sunt similare.

Criteriul de similaritate al triunghiurilor

Dacă două triunghiuri au respectiv două laturi proporționale și unghiul dintre ele congruente, atunci acestea sunt similare.

III criteriul de similaritate al triunghiurilor

Dacă două triunghiuri au cele trei laturi, respectiv proporționale, atunci ele sunt similare.

Teorema lui Euclid

Într-un triunghi dreptunghiular, fiecare catet este media proporțională între hipotenuză și proiecția sa asupra hipotenuzei.

Teorema lui Euclid

Într-un triunghi dreptunghic înălțimea relativă la hipotenuză este media proporțională dintre proiecțiile catetelor de pe hipotenuză.

teorema lui Pitagora

În fiecare triunghi dreptunghiular, pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe picioare.

Curiozitate

Tradiția de a defini scalenul ca un triunghi pentru care nu este specificată relația dintre părți este datată de cartea Topologia de Marco Manetti (2014). ^[1] Această definiție este considerată preferabilă celei tradiționale de mulți autori contemporani. ^{[ fără sursă ]}

Notă

^ Acest lucru este diferit de a cere ca părțile să fie diferite. De fapt, în noua terminologie un triunghi isoscel va fi considerat scalen.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikicitată conține citate pe triunghi
Wikționarul conține dicționarul lema « triunghi »
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre triunghi

linkuri externe

(EN) Triangle , on Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Studiu de caz pentru rezolvarea unui triunghi , pe cnuto.it .
( EN ) Triunghi în MacTutor
( EN ) Calculator triunghi - completează triunghiurile când li se oferă trei elemente (laturi, unghiuri, suprafață, înălțime etc.), susține grade, radiani și grade.
(EN) Teorema lui Napoleon Un triunghi cu trei triunghiuri echilaterale. O dovadă pur geometrică. Folosește punctul Fermat pentru a demonstra teorema lui Napoleon fără transformări de Antonio Gutierrez din „Geometry Step by Step from the Land of the Incas”
(EN) William Kahan : eroare de calcul și unghiuri ale unui triunghi asemănător acului .
( EN ) Clark Kimberling: Enciclopedia centrelor de triunghi . Listează aproximativ 1600 de puncte interesante asociate cu orice triunghi.
( EN ) Christian Obrecht: Eukleides . Pachet software pentru crearea ilustrațiilor faptelor despre triunghiuri și alte teoreme în geometria euclidiană.
( EN ) Construcții triunghiulare, puncte și linii remarcabile și relații metrice într-un triunghi la tăierea nodului
( EN ) Foaie de lucru imprimabilă pe tipuri de triunghiuri , la kwiznet.com . Adus la 23 noiembrie 2019 (Arhivat din original la 15 decembrie 2018) .
( EN )Geometrie compendială Geometrie analitică a triunghiurilor
P. Baroncini - R. Manfredi, MultiMath.blu - Geometry , DeAScuola, 2014, ISBN 978-88-538-0567-6

Controlul autorității	Tezaur BNCF 38738 · LCCN (EN) sh85137407 · BNF (FR) cb11946969k (dată)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Acest lucru este diferit de a cere ca părțile să fie diferite. De fapt, în noua terminologie un triunghi isoscel va fi considerat scalen.

[1]

V · D · M Poligoane
Poligoane după numărul de laturi	Triunghi (3) · Cadrilater (4) · Pentagon (5) · Hexagon (6) · Heptagonon (7) · Octagon (8) · nonagon (9) · Decagon (10) · hendecagon (11) · Dodecagon (12) · tridecagon (13) · tetradecagon (14) · pentadecagon (15) · hexadecagon (16) · heptadecagon (17) · octadecagon (18) · enneadecagon (19) · icosagon (20) · Endeicosagono (21) · Doicosagono (22) · triacontagon (30) · Pentacontagono (50) · 257-gon (257) · chiliagon (1 000) · Miriagono (10 000) · 65537-gon (65 537)
Triunghiuri	Bazat pe laturi: Triunghi echilateral · Triunghi isoscel · Triunghi scalen · Conform unghiurilor: Triunghi dreptunghiular · Triunghi ascuțit · Triunghi obuz
Cadrilaterale	Pătrat · dreptunghi · Paralelogram · Rhombus · Trapez · Kite
Poligoane stelare	Pentagramă · Hexagramă · Eptagramma · Ottagramma · Eneagramă · Decagramma · Endecagramma · Dodecagramma
Alții	Poligon regulat · Poligon echilateral · Poligon echivalen