punct de Fermat

punctul lui Fermat

Codul ETC	13
coordonate Barycentric
λ ₁	o • cosec (A ± π / 3)
λ ₂	b • cosec (B ± π / 3)
λ ₃	c • cosec (C ± π / 3)
coordonate Trilinear
X	cosec (A ± π / 3)
y	cosec (B ± π / 3)
z	cosec (C ± π / 3)
Manual

În geometrie , punctul Fermat, de asemenea , numit punct Torricelli sau Fermat-Torricelli e punctul , este punctul care minimizează distanța totală de la toate cele trei vârfuri ale unui triunghi . Datele descoperire înapoi ca o soluție la o problemă pusă de Fermat pentru Torricelli .

Când un triunghi are un unghi mai mare de 120 ° punctul Fermat este plasat pe vârful al unghiului obtuz . Într - un triunghi în care cele mai mari unghiul măsurat mai mic de 120 °, punctul Fermat este identificat prin intersecția celor trei linii obținute prin unirea fiecare vârf al triunghiului cu vârful, care nu aparțin triunghiului, al triunghiului echilateral construit pe partea opusă a acestui unghi în afara triunghiului.

Proprietate

Fermat punct are mai multe proprietăți. Având în vedere un triunghi ABC trebuie să fie construit pe fiecare latură a unui triunghi echilateral , astfel încât să formeze trei triunghiuri numite ABC“, AB'C, A'BC. Prin aderarea la AA „BB“, CC «aceste trei linii drepte se întâlnesc într-un punct F. Se arată că AA» = BB «= CC». De fapt, triunghiuri ACA 'si B'CB sunt egale , deoarece CA = CB', CA '= Cb, iar unghiul ACA' = unghiul BCB“. Rezultă că AA „= BB“ și în mod similar, se dovedește că AA „= CC“. Vom crea trei cercuri y, α, p astfel încât γ este circumscrisă ACB“, α este circumscrisă A'CB, β este circumscrisă AC'B. Cele trei cercuri vor avea tot punctul F în comun. Deoarece patrulatere AC'BF, AB'CF sunt înscrise într - un cerc , unghiul AFB = 120 ° și unghiul AFC = 120 °

Rezultă că: unghiul BFC = 120 °: prin urmare, punctul F aparține p. Punctul F aparține BB 'deoarece: Unghi AFB = 120 ° AFB unghi' = unghiul ACB „= 60 °. În mod similar, se arată că F aparține AA „și, de asemenea, CC“.

Punctul F se numește „punctul Fermat“ al triunghiului ABC.

Demonstrație

Lema 1: Pentru toți transportatorii ${\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}\neq {\overrightarrow {0}},$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {a}}, {\ overrightarrow {b}}, {\ overrightarrow {c}} \ neq {\ overrightarrow {0}}}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {a}}, {\ overrightarrow {b}}, {\ overrightarrow {c}} \ neq {\ overrightarrow {0}}}$; ${\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}}+{\frac {\overrightarrow {b}}{|{\overrightarrow {b}}|}}+{\frac {\overrightarrow {c}}{|{\overrightarrow {c}}|}}={\overrightarrow {0}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}} + {\ frac {\ overrightarrow {b}} {| {\ overrightarrow {b}} |}} + { \ frac {\ overrightarrow {c}} {| {\ overrightarrow {c}} |}} = {\ overrightarrow {0}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}} + {\ frac {\ overrightarrow {b}} {| {\ overrightarrow {b}} |}} + { \ frac {\ overrightarrow {c}} {| {\ overrightarrow {c}} |}} = {\ overrightarrow {0}}}$; este echivalentă cu afirmația că; ${\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},{\frac {\overrightarrow {b}}{|{\overrightarrow {b}}|}},{\frac {\overrightarrow {c}}{|{\overrightarrow {c}}|}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}}, {\ frac {\ overrightarrow {b}} {| {\ overrightarrow {b}} |}}, { \ frac {\ overrightarrow {c}} {| {\ overrightarrow {c}} |}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}}, {\ frac {\ overrightarrow {b}} {| {\ overrightarrow {b}} |}}, { \ frac {\ overrightarrow {c}} {| {\ overrightarrow {c}} |}}}$ toate au un unghi de 120 ° unul de altul.
Dovada Lema 1: Set Să sus de versors ${\overrightarrow {e_{i}}}\ (i=0,1,2)$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ (i = 0,1,2)}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ (i = 0,1,2)}$ după cum urmează:; ${\overrightarrow {e_{0}}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},{\overrightarrow {e_{1}}}={\frac {\overrightarrow {b}}{|{\overrightarrow {b}}|}},{\overrightarrow {e_{2}}}={\frac {\overrightarrow {c}}{|{\overrightarrow {c}}|}}.$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {0}}} = {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}}, {\ overrightarrow {e_ {1}}} = {\ frac {\ overrightarrow {b}} {| {\ overrightarrow {b}} |}}, {\ overrightarrow {e_ {2}}} = {\ frac {\ overrightarrow {c}} {| {\ overrightarrow {c} } |}}}.$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {0}}} = {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}}, {\ overrightarrow {e_ {1}}} = {\ frac {\ overrightarrow {b}} {| {\ overrightarrow {b}} |}}, {\ overrightarrow {e_ {2}}} = {\ frac {\ overrightarrow {c}} {| {\ overrightarrow {c} } |}}}.$; Este $\theta _{ij}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {ij}}$ unghiul dintre doi vectori de unitate ${\overrightarrow {e_{i}}},{\overrightarrow {e_{j}}}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}}, {\ overrightarrow {e_ {j}}}}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}}, {\ overrightarrow {e_ {j}}}}$ ,; Vom primi $\theta _{ij}=\theta _{ji}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {ij} = \ theta _ {ji}}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {ij} = \ theta _ {ji}}$ și produsul intern valori, cum ar fi:; ${\overrightarrow {e_{i}}}\cdot {\overrightarrow {e_{j}}}=\cos \theta _{ij}={\begin{cases}1&(i=j)\\-{\frac {1}{2}}&(i\neq j).\end{cases}}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ cdot {\ overrightarrow {e_ {j}}} = \ cos \ theta _ {ij} = {\ begin {cazuri} 1 & (i = j) \\ -. {\ frac {1} {2}} & (i \ neq j) \ end {cazuri}}}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ cdot {\ overrightarrow {e_ {j}}} = \ cos \ theta _ {ij} = {\ begin {cazuri} 1 & (i = j) \\ -. {\ frac {1} {2}} & (i \ neq j) \ end {cazuri}}}$; Așa că am obține $\theta _{ij}=120^{\circ }\ (i\neq j).$ ${\ Displaystyle \ theta _ {ij} = 120 ^ {\} Circ \ (i \ neq j).}$ ${\ Displaystyle \ theta _ {ij} = 120 ^ {\} Circ \ (i \ neq j).}$; Dimpotrivă, în cazul în care versors din cele ${\overrightarrow {e_{i}}}\ (i=0,1,2)$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ (i = 0,1,2)}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ (i = 0,1,2)}$ au un unghi de 120 ° unul de altul, veți obține; ${\overrightarrow {e_{i}}}\cdot {\overrightarrow {e_{j}}}={\begin{cases}\cos 0^{\circ }=1&(i=j)\\\cos 120^{\circ }=-{\frac {1}{2}}&(i\neq j).\end{cases}}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ cdot {\ overrightarrow {e_ {j}}} = {\ begin {cazuri} \ cos 0 ^ {\} = 1 Circ & (i = j) \\ \ cos 120 ^ {\} = Circ. - {\ frac {1} {2}} & (i \ neq j) \ end {cazuri}}}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ cdot {\ overrightarrow {e_ {j}}} = {\ begin {cazuri} \ cos 0 ^ {\} = 1 Circ & (i = j) \\ \ cos 120 ^ {\} = Circ. - {\ frac {1} {2}} & (i \ neq j) \ end {cazuri}}}$; Deci, puteți calcula modul în care; $|{\overrightarrow {e_{0}}}+{\overrightarrow {e_{1}}}+{\overrightarrow {e_{2}}}|^{2}=\sum _{i=j}^{}{\overrightarrow {e_{i}}}\cdot {\overrightarrow {e_{j}}}+\sum _{i\neq j}^{}{\overrightarrow {e_{i}}}\cdot {\overrightarrow {e_{j}}}=3\times 1+6\times \left(-{\frac {1}{2}}\right)=0.$ ${\ Displaystyle | {\ overrightarrow {e_ {0}}} + {\ overrightarrow {e_ {1}}} + {\ overrightarrow {e_ {2}}} | ^ {2} = \ sum _ {i = j} ^ {} {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ cdot {\ overrightarrow {e_ {j}}} + \ sum _ {i \ neq j} ^ {} {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ cdot {\ overrightarrow {e_ {j}}} = 3 \ ori 1 + 6 \ ori \ left (- {\ frac {1} {2}} \ dreapta) = 0.}$ ${\ Displaystyle | {\ overrightarrow {e_ {0}}} + {\ overrightarrow {e_ {1}}} + {\ overrightarrow {e_ {2}}} | ^ {2} = \ sum _ {i = j} ^ {} {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ cdot {\ overrightarrow {e_ {j}}} + \ sum _ {i \ neq j} ^ {} {\ overrightarrow {e_ {i}}} \ cdot {\ overrightarrow {e_ {j}}} = 3 \ ori 1 + 6 \ ori \ left (- {\ frac {1} {2}} \ dreapta) = 0.}$; Prin urmare se obține; ${\overrightarrow {e_{0}}}+{\overrightarrow {e_{1}}}+{\overrightarrow {e_{2}}}={\overrightarrow {0}}.$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {0}}} + {\ overrightarrow {e_ {1}}} + {\ overrightarrow {e_ {2}}} = {\ overrightarrow {0}}.}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {e_ {0}}} + {\ overrightarrow {e_ {1}}} + {\ overrightarrow {e_ {2}}} = {\ overrightarrow {0}}.}$ QED

Lema 2: Pentru toți transportatorii ${\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {x}},$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {a}} \ neq {\ overrightarrow {0}}, {\ overrightarrow {x}}}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {a}} \ neq {\ overrightarrow {0}}, {\ overrightarrow {x}}}$; $|{\overrightarrow {a}}-{\overrightarrow {x}}|\geq |{\overrightarrow {a}}|-{\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}}\cdot {\overrightarrow {x}}.$ ${\ Displaystyle | {\ overrightarrow {a}} - {\ overrightarrow {x}} | \ geq | {\ overrightarrow {a}} | - {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a} } |}} \ cdot {\ overrightarrow {x}}}.$ ${\ Displaystyle | {\ overrightarrow {a}} - {\ overrightarrow {x}} | \ geq | {\ overrightarrow {a}} | - {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a} } |}} \ cdot {\ overrightarrow {x}}}.$
Dovada Lema 2: Pentru orice purtători ai ${\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}},$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {u}}, {\ overrightarrow {v}}}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {u}}, {\ overrightarrow {v}}}$ se dovedește că $|{\overrightarrow {u}}||{\overrightarrow {v}}|\geq {\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}.$ ${\ Displaystyle | {\ overrightarrow {u}} || {\ overrightarrow {v}} |. \ Geq {\ overrightarrow {u}} \ cdot {\ overrightarrow {v}}}$ ${\ Displaystyle | {\ overrightarrow {u}} || {\ overrightarrow {v}} |. \ Geq {\ overrightarrow {u}} \ cdot {\ overrightarrow {v}}}$; Putem stabili că până ${\overrightarrow {u}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {a}}-{\overrightarrow {x}}.$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {u}} = {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}}, {\ overrightarrow {v}} = {\ overrightarrow {a}} - {\ overrightarrow {x}}.}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {u}} = {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}}, {\ overrightarrow {v}} = {\ overrightarrow {a}} - {\ overrightarrow {x}}.}$; Atunci vom avea inegalitatea de Lema 2. QED

Dacă triunghiul ABC este un triunghi unde toate unghiurile sunt mai mici de 120 °, putem construi punctul F în interiorul triunghiului ABC. În acest moment, setarea punctului F ca originea vectorilor, vom avea pentru orice punct X al spațiului E euclidian, putem seta ${\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {FA}},{\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {FB}},{\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {FC}},{\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {FX}}.$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {a}} = {\ overrightarrow {FA}}, {\ overrightarrow {b}} = {\ overrightarrow {FB}}, {\ overrightarrow {c}} = {\ overrightarrow {FC}} , {\ overrightarrow {x}} = {\ overrightarrow {FX}}.}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {a}} = {\ overrightarrow {FA}}, {\ overrightarrow {b}} = {\ overrightarrow {FB}}, {\ overrightarrow {c}} = {\ overrightarrow {FC}} , {\ overrightarrow {x}} = {\ overrightarrow {FX}}.}$

Dacă F este punctul lui Fermat, atunci $\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA=120^{\circ }.$ ${\ Displaystyle \ unghiul AFB = \ unghiul BFC = \ unghiul CFA = 120 ^ {\} Circ.}$ ${\ Displaystyle \ unghiul AFB = \ unghiul BFC = \ unghiul CFA = 120 ^ {\} Circ.}$ Astfel, obținem egalitatea Lema 1.

Din Lema 2, putem obține

|{\overrightarrow {XA}}|\geq |{\overrightarrow {FA}}|-{\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}}\cdot {\overrightarrow {x}},

{\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XA}} | \ geq | {\ overrightarrow {FA}} | - {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}} \ cdot {\ overrightarrow {x}}}

{\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XA}} | \ geq | {\ overrightarrow {FA}} | - {\ frac {\ overrightarrow {a}} {| {\ overrightarrow {a}} |}} \ cdot {\ overrightarrow {x}}}

|{\overrightarrow {XB}}|\geq |{\overrightarrow {FB}}|-{\frac {\overrightarrow {b}}{|{\overrightarrow {b}}|}}\cdot {\overrightarrow {x}},

{\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XB}} | \ geq | {\ overrightarrow {FB}} | - {\ frac {\ overrightarrow {b}} {| {\ overrightarrow {b}} |}} \ cdot {\ overrightarrow {x}}}

{\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XB}} | \ geq | {\ overrightarrow {FB}} | - {\ frac {\ overrightarrow {b}} {| {\ overrightarrow {b}} |}} \ cdot {\ overrightarrow {x}}}

|{\overrightarrow {XC}}|\geq |{\overrightarrow {FC}}|-{\frac {\overrightarrow {c}}{|{\overrightarrow {c}}|}}\cdot {\overrightarrow {x}}.

{\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XC}} | \ geq | {\ overrightarrow {FC}} | - {\ frac {\ overrightarrow {c}} {| {\ overrightarrow {c}} |}} \ cdot {\ overrightarrow {x}}.}

{\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XC}} | \ geq | {\ overrightarrow {FC}} | - {\ frac {\ overrightarrow {c}} {| {\ overrightarrow {c}} |}} \ cdot {\ overrightarrow {x}}.}

Pentru aceste trei inegalități și paritatea Lema 1, putem obține

|{\overrightarrow {XA}}|+|{\overrightarrow {XB}}|+|{\overrightarrow {XC}}|\geq |{\overrightarrow {FA}}|+|{\overrightarrow {FB}}|+|{\overrightarrow {FC}}|

{\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XA}} | + | {\ overrightarrow {XB}} | + | {\ overrightarrow {XC}} | \ geq | {\ overrightarrow {FA}} | + | {\ overrightarrow {FB }} | + | {\ overrightarrow {FC}} |}

{\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XA}} | + | {\ overrightarrow {XB}} | + | {\ overrightarrow {XC}} | \ geq | {\ overrightarrow {FA}} | + | {\ overrightarrow {FB }} | + | {\ overrightarrow {FC}} |}

.

Este folosit pentru toate punctele X din Euclidian spațiu E, așa că, dacă X = F, atunci valoarea $|{\overrightarrow {XA}}|+|{\overrightarrow {XB}}|+|{\overrightarrow {XC}}|$ ${\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XA}} | + | {\ overrightarrow {XB}} | + | {\ overrightarrow {XC}} |}$ ${\ Displaystyle | {\ overrightarrow {XA}} | + | {\ overrightarrow {XB}} | + | {\ overrightarrow {XC}} |}$ este minim. QED

Istorie

Această întrebare a fost pusă de Fermat la Evangelista Torricelli . El a rezolvat problema într-un mod similar cu Fermat, folosind intersecția circumferințele trei triunghiuri regulate. Elevul său, Vincenzo Viviani , publicată soluția în 1659. ^[1]

Notă

^ Weisstein, Eric W., Fermat Puncte pe mathworld.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre punctul lui Fermat

linkuri externe

Punctul lui Fermat de Chris Boucher, The Wolfram Project protestelor
Fermat-Torricelli generalizare asupra geometriei dinamice Schițe pagina interactivă care generalizează punctul Fermat-Torricelli
(RO) Clark Kimberling, X ₁₃ , în Enciclopedia Centrelor Triangle , Universitatea din Evansville, 22 octombrie 2013.
Un exemplu practic al punctului Fermat ( în limba engleză) , pe matifutbol.com.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Weisstein, Eric W., Fermat Puncte pe mathworld.

[1]