Triunghiul Reuleaux

Triunghiul Reuleaux este o curbă de amplitudine constantă bazată pe triunghiul echilateral : toate punctele limitei sunt echidistante de vârful opus.

Un triunghi Reuleaux rotativ mătură o zonă aproximativ egală cu cea a unui pătrat.

Triunghiul Reuleaux , al cărui nume se datorează lui Franz Reuleaux , un inginer german din secolul al XIX-lea , este un exemplu non-banal de curbă de amplitudine constantă , adică o curbă plană și convexă conținută între două linii paralele la o distanță fixă $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ și care ating întotdeauna marginea ei , oricum sunt rotite (exemplul banal este circumferința ). Aceste curbe nu trebuie confundate cu cele care pot fi definite ca având un diametru constant sau echicordal.

Constructie

Construcția unui triunghi Reuleaux începe de la construcția unui triunghi echilateral , conform descrierii pe care Euclid o dă în tratatul său Elements . Începem prin a desena un segment de lungime arbitrară $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ ; busola este apoi îndreptată către una dintre cele două extreme ale segmentului și se trasează un arc de circumferință cu raza R; aceeași procedură se repetă începând de la celălalt capăt al segmentului; în acest moment cele două arcuri se intersectează într-un punct care constituie vârful triunghiului echilateral.

În cele din urmă, construcția este completată prin trasarea arcului de circumferință lipsă pe a treia parte.

Perimetru și zonă

Perimetru

Un triunghi echilateral poate fi considerat a șasea dintr-un hexagon regulat. Rezultă că o parte a triunghiului Reuleaux este echivalentă cu o șesime dintr-o circumferință având o rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Prin urmare, perimetrul său este egal cu trei șesimi din măsurarea circumferinței razei $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Având în vedere că acesta din urmă este egal cu $2\pi R$ ${\ displaystyle 2 \ pi R}$ $2 \ pi R$ , perimetrul triunghiului Reuleaux va fi ${\pi R}$ ${\ displaystyle {\ pi R}}$ ${\ pi R}$ .

Zonă

Aria triunghiului Reuleaux este calculată considerând că figura este formată din triunghiul echilateral (punctat în reprezentarea grafică) și de cele trei porțiuni externe rămase. Aria acestuia din urmă este calculată folosind figura anterioară a hexagonului înscris într-o circumferință: sunt egale cu jumătate din cerc minus aria a trei triunghiuri echilaterale.

În consecință, aria triunghiului Releaux este egală cu jumătate din aria cercului circumscris din hexagon scăzut de două ori aria unui triunghi echilateral pe lateral $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ . Astfel obținem: ${R^{2} \over 2}(\pi -{\sqrt {3}})$ ${\ displaystyle {R ^ {2} \ over 2} (\ pi - {\ sqrt {3}})}$ ${R ^ 2 \ over2} (\ pi - \ sqrt3)$ .

Această figură are o proprietate extremă: are cea mai mică zonă dintre toate curbele posibile cu amplitudine constantă.

Utilizări

Burghiile a căror formă este derivată dintr-un triunghi Reuleaux sunt utilizate în mod obișnuit pentru a face găuri aproximativ pătrate prin rotație excentrică. ^[1]
Proprietățile triunghiului Reuleaux sunt, de asemenea, exploatate în lumea muzicii : multe alegeri pentru a cânta la chitară , bas , mandolină și alte instrumente cu coarde au, de fapt, forma caracteristică a acestui triunghi, cu avantajul că pot fi utilizate indiferent pe toate unghiurile ca având amplitudine egală. Comparativ cu cele circulare , această particularitate oferă acestor alegeri avantajul de a avea un „vârf”, util pentru a face ca corzile să vibreze mai eficient și să obțină un sunet mai curat.
Triunghiul Reuleaux amintește de secțiunea rotorului din motorul Wankel ale cărui laturi sunt mai plate și conturate prin curbe complexe în loc de arcuri circumferențiale.
În 2015, Panasonic a introdus pe piață un aspirator robot în formă de triunghi Reuleaux: acest design vă permite să aspirați praf chiar și în colțuri ^[2] .

Notă

^(RO) Drilling Holes Square Arhivat pe 4 aprilie 2005 în Internet Archive .
^ (EN) Takashi Mochizuki, Panasonic Rolls Out Triangular Vacom Robot , în The Wall Street Journal, 22 ianuarie 2015.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Triunghiul lui Reuleaux

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Triunghiul Reuleaux , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (RO) Drilling Holes Square Arhivat pe 4 aprilie 2005 în Internet Archive .

[2] (EN) Takashi Mochizuki, Panasonic Rolls Out Triangular Vacom Robot , în The Wall Street Journal, 22 ianuarie 2015.

[1]

[2]