Potential electric

Potențialul electric , în fizică și în special în electromagnetism , este potențialul scalar asociat cu câmpul electrostatic (sau potențialul Coulomb ):

\mathbf {E} =-\nabla \phi

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ phi}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ phi}

Potențialul electric constituie componenta temporală a cvadrupotențialului : împreună cu potențialul magnetic , care are o natură vectorială , formează potențialul electromagnetic .

Definiție

Având în vedere o regiune a spațiului în care este prezent un câmp electric conservator , potențialul electric într-un punct este definit ca valoarea dată de raportul energiei potențiale electrice detectate de o sarcină electrică de testare, plasată în acel punct și valoarea acuzația de proces. ^[1] Potențialul electric este, prin urmare, raportul dintre energia potențială electrică, adică munca pe care forța datorată câmpului electric trebuie să o efectueze pentru a deplasa una sau mai multe sarcini din acel punct până la infinit (unde se presupune potențial zero) și taxa de testare.

Neputând muta o sarcină electrică „până la infinit”, atenția este apoi pusă pe energia „potențială” care poate fi eliberată din aceasta în timpul mișcării ipotetice.

Energia potențială electrică a sarcinii este nivelul de energie pe care sarcina îl deține datorită poziției sale în câmpul electric și, prin urmare, potențialul electric $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a sarcinii de testare este definită operațional ca raportul energiei potențiale $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ și valoarea taxei în sine, adică:

\operatorname {V} ={\frac {U}{q}}

{\ displaystyle \ operatorname {V} = {\ frac {U} {q}}}

\ operatorname V = {\ frac {U} {q}}

Prin urmare, potențialul este o cantitate scalară și nu depinde de valoarea sarcinii de testare. Unitatea sa de măsură este, de asemenea, voltul : punctul A este la potențialul de 1 volt când forța electrică ar face munca unui Joule pentru a transporta o încărcare a unui Coulomb liber pentru a se deplasa de la A la infinit. Prin extensie, se spune că între două puncte A și B există o diferență de potențial de un volt dacă o forță electrică a funcționat egal, pe aceeași sarcină, în deplasarea dintre cele două puncte. Munca $d W$ ${\ displaystyle dW}$ $dW$ jucat de câmpul electric $\mathbf {E} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0}}$ ${\ mathbf E} _ {0}$ pentru o cale infinitesimală $d\mathbf {s}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {s}}$ $d {\ mathbf s}$ pe o taxă $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este dat de:

dW=q\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {s}

{\ displaystyle dW = q \ mathbf {E} _ {0} \ cdot d \ mathbf {s}}

dW = q {\ mathbf E} _ {0} \ cdot d {\ mathbf s}

și pentru a calcula munca de-a lungul unei linii $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ de la punctul A la punctul B:

W=\int _{A}^{B}q\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {s}

{\ displaystyle W = \ int _ {A} ^ {B} q \ mathbf {E} _ {0} \ cdot d \ mathbf {s}}

W = \ int _ {{A}} ^ {{B}} q {\ mathbf E} _ {0} \ cdot d {\ mathbf s}

Suprafețele echipotențiale sunt definite pentru potențialul electric ca suprafețele din fiecare punct al cărui potențial electric își asumă aceeași valoare. Aceasta implică faptul că munca câmpului electric de-a lungul unei suprafețe echipotențiale este zero peste tot, deoarece componenta câmpului electric paralel cu suprafața este zero, adică câmpul electric este ortogonal față de suprafața echipotențială.

Încărcare punctuală

Luați în considerare munca realizată de câmpul electric creat de o încărcare punctuală $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ în purtarea unei acuzații de proces $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ de la punctul A la punctul B:

W={\frac {qQ}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{A}^{B}{\frac {\mathbf {r} \cdot d\mathbf {s} }{r^{3}}}={\frac {qQ}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{A}^{B}{\frac {r\,dr}{r^{3}}}={\frac {qQ}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{A}^{B}{\frac {dr}{r^{2}}}

{\ displaystyle W = {\ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {A} ^ {B} {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {s} } {r ^ {3}}} = {\ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {A} ^ {B} {\ frac {r \, dr} {r ^ {3}}} = {\ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {A} ^ {B} {\ frac {dr} {r ^ {2}}}}

W = {\ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {{A}} ^ {{B}} {\ frac {{\ mathbf r} \ cdot d {\ mathbf s }} {r ^ {3}}} = {\ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {{A}} ^ {{B}} {\ frac {r \, dr} {r ^ {3}}} = {\ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {{A}} ^ {{B}} {\ frac {dr} { r ^ {2}}}

unde este $\varepsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ $\ varepsilon_0$ este constanta dielectrică în vid și:

\mathbf {r} \cdot d\mathbf {s} =r\,ds\,cos\theta \equiv r\,dr

{\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {s} = r \, ds \, cos \ theta \ equiv r \, dr}

{\ mathbf r} \ cdot d {\ mathbf s} = r \, ds \, cos \ theta \ equiv r \, dr

cu $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ unghiul dintre vectori $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ Și $d\mathbf {s}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {s}}$ $d {\ mathbf s}$ . Avem:

W={\frac {qQ}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{A}^{B}{\frac {dr}{r^{2}}}={\frac {qQ}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{r_{A}}}-{\frac {1}{r_{B}}}\right)=q(V_{0}(A)-V_{0}(B))=-q\Delta V_{0}

{\ displaystyle W = {\ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {A} ^ {B} {\ frac {dr} {r ^ {2}}} = {\ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {1} {r_ {A}}} - {\ frac {1} {r_ {B}}} \ right) = q (V_ {0} (A) -V_ {0} (B)) = - q \ Delta V_ {0}}

W = {\ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {{A}} ^ {{B}} {\ frac {dr} {r ^ {2}}} = { \ frac {qQ} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {1} {r_ {A}}} - {\ frac {1} {r_ {B}}} \ right) = q (V_ {0} (A) -V_ {0} (B)) = - q \ Delta V_ {0}

iar această formulă arată că câmpul electrostatic este conservator, deoarece lucrarea depinde doar de valoarea funcției $V_{0}$ ${\ displaystyle V_ {0}}$ $V_ {0}$ calculat la punctele A și B și nu pe calea particulară urmată de încărcare $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Rețineți că conservativitatea câmpului electric lipsește totuși în condiții nestacionare.

Deoarece o funcție scalară poate fi întotdeauna definită de teorema lui Helmholtz $V_{0}$ ${\ displaystyle V_ {0}}$ $V_ {0}$ al cărui gradient , schimbat în semn, coincide cu câmpul $\mathbf {E} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0}}$ ${\ mathbf E} _ {0}$ :

\mathbf {E} _{0}=-\nabla V_{0}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} = - \ nabla V_ {0}}

{\ mathbf E} _ {0} = - \ nabla V_ {0}

potențialul electric în vid pentru o încărcare punctuală este dat de:

V_{0}(r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}+cost

{\ displaystyle V_ {0} (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q} {r}} + cost}

V_ {0} (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {Q} {r}} + cost

Prin urmare, potențialul electric este definit până la o constantă arbitrară, gradientul fiind o constantă zero. Aceasta nu este o problemă practică, deoarece de obicei este de interes să cunoaștem diferența de potențial $-\Delta V_{0}$ ${\ displaystyle - \ Delta V_ {0}}$ $- \ Delta V_ {0}$ , mai mult decât valoarea potențialului electric într-un punct. În mod convențional, constanta este determinată luând în considerare potențialul pe care o sarcină punctuală îl produce la infinit ca fiind zero.

În coordonatele carteziene, avem:

\mathbf {E} _{0}\,=\,\left(-{\frac {\partial V_{0}}{\partial x}},-{\frac {\partial V_{0}}{\partial y}},-{\frac {\partial V_{0}}{\partial z}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} \, = \, \ left (- {\ frac {\ partial V_ {0}} {\ partial x}}, - {\ frac {\ partial V_ {0} } {\ partial y}}, - {\ frac {\ partial V_ {0}} {\ partial z}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} \, = \, \ left (- {\ frac {\ partial V_ {0}} {\ partial x}}, - {\ frac {\ partial V_ {0} } {\ partial y}}, - {\ frac {\ partial V_ {0}} {\ partial z}} \ right)}

Din definiția potențialului electric în termeni de muncă, avem:

-\Delta V_{0}={\frac {W}{q}}

{\ displaystyle - \ Delta V_ {0} = {\ frac {W} {q}}}

- \ Delta V_ {0} = {\ frac {W} {q}}

și, prin urmare, dimensiunile potențialului corespund:

{\text{ Potenziale elettrico}}={\frac {\text{lavoro}}{\text{carica elettrica}}}

{\ displaystyle {\ text {Electric potential}} = {\ frac {\ text {work}} {\ text {electric charge}}}}

{\ displaystyle {\ text {Electric potential}} = {\ frac {\ text {work}} {\ text {electric charge}}}}

Distribuirea taxelor punctuale

Odată ce definiția potențialului pentru o sarcină punctuală a fost introdusă, pentru principiul liniar de suprapunere este posibilă generalizarea definiției potențialului în vid generat de o distribuție a sarcinilor punctuale. $q_{1},q_{2},...,q_{n}$ ${\ displaystyle q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}}$ $q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}$ , dispuse în spațiu în poziții $r_{1},r_{2},...,r_{n}$ ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, ..., r_ {n}}$ $r_ {1}, r_ {2}, ..., r_ {n}$ :

\mathbf {E} _{0i}=-\nabla V_{0i}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0i} = - \ nabla V_ {0i}}

{\ mathbf E} _ {{0i}} = - \ nabla V _ {{0i}}

adică:

\mathbf {E} _{0}(P)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} )}{\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} \right|^{3}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} (P) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {q_ {i}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} { \ frac {(\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r})} {\ left | \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} \ right | ^ {3}}}}

{\ mathbf E} _ {{0}} (P) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {q_ {i}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {({\ mathbf r} _ {i} - {\ mathbf r})} {\ left | {\ mathbf r} _ {i} - {\ mathbf r} \ right | ^ {3}}}

Distribuirea continuă a taxelor

Deoarece sarcina electrică este cuantificată, ^[2] strict vorbind nu există distribuții continue ale sarcinii electrice. Cu toate acestea, într-un corp extins, sarcinile elementare sunt într-un număr atât de mare încât este convenabil să se utilizeze formalismul infinitesimal și să se introducă densitatea volumică a sarcinii. $\rho =dq/dv$ ${\ displaystyle \ rho = dq / dv}$ $\ rho = dq / dv$ , superficial $\sigma =dq/dS$ ${\ displaystyle \ sigma = dq / dS}$ $\ sigma = dq / dS$ și liniar $\lambda =dq/dl$ ${\ displaystyle \ lambda = dq / dl}$ $\ lambda = dq / dl$ . Acest lucru oferă potențialul electric într-un punct din spațiu $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ generat dintr-o sursă extinsă cu încărcare completă

Q=\int _{v}\rho (x',y',z'){dx}'{dy}'{dz}'\

{\ displaystyle Q = \ int _ {v} \ rho (x ', y', z ') {dx}' {dy} '{dz}' \}

Q = \ int _ {{v}} \ rho (x ', y', z ') {dx}' {dy} '{dz}' \

este dat de integral:

V_{0}(P)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{v}{\frac {\rho (x',y',z')}{r-r'}}{dx}'{dy}'{dz}'\

{\ displaystyle V_ {0} (P) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {v} {\ frac {\ rho (x ', y', z ' )} {rr '}} {dx}' {dy} '{dz}' \}

V_ {0} (P) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int _ {{v}} {\ frac {\ rho (x ', y', z ') } {rr '}} {dx}' {dy} '{dz}' \

in care $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este distanța de la originea punctului P e $r^{'}$ ${\ displaystyle r '}$ $r '$ este distanța față de originea volumului infinitesimal $dv'={dx}'{dy}'{dz}'$ ${\ displaystyle dv '= {dx}' {dy} '{dz}'}$ $dv '= {dx}' {dy} '{dz}'$ .

Notă

^(RO) IUPAC Gold Book, „potențial electric”
^ Existența în natură a unor sarcini electrice gratuite mai mici decât cele ale unui electron, egale cu $e=-1{,}602\,176\,53(14)\times 10^{-19}\,{\mbox{C}}$ ${\ displaystyle e = -1 {,} 602 \, 176 \, 53 (14) \ times 10 ^ {- 19} \, {\ mbox {C}}}$ ${\ displaystyle e = -1 {,} 602 \, 176 \, 53 (14) \ times 10 ^ {- 19} \, {\ mbox {C}}}$

Bibliografie

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Physics II , Naples, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu privire la potențialul electric

linkuri externe

Card de tensiune și curent de pe site-ul ElectroYou.it , pe electroyou.it .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 64208 · LCCN (EN) sh85042463 · GND (DE) 4128753-8

Portalul Electromagnetismului

Portal electrotehnic

[1] (RO) IUPAC Gold Book, „potențial electric”

[2] Existența în natură a unor sarcini electrice gratuite mai mici decât cele ale unui electron, egale cu $e=-1{,}602\,176\,53(14)\times 10^{-19}\,{\mbox{C}}$ ${\ displaystyle e = -1 {,} 602 \, 176 \, 53 (14) \ times 10 ^ {- 19} \, {\ mbox {C}}}$ ${\ displaystyle e = -1 {,} 602 \, 176 \, 53 (14) \ times 10 ^ {- 19} \, {\ mbox {C}}}$

[1]

[2]