Cuantificarea momentului cinetic

Cuantificarea momentului cinetic reprezintă unul din rezultatele fundamentale ale mecanicii cuantice și are un domeniu de aplicare enorm în care se ocupă cu principalele probleme ale particulelor fizicii, precum și ceea ce duce la predicția existenței de spin .

Definiția momentului unghiular

In mecanica cuantica momentul cinetic este observabil , astfel încât acesta este reprezentat de un operator de Hermitian pe care o numim ${\vec {L}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {L}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {L}}}$ .

În mecanica clasică definiția momentului cinetic este următoarea:

{\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}

{\ Displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ ori {\ vec {p}}}

{\ Displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ ori {\ vec {p}}}

unde este ${\vec {r}}$ ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ vec r}$ Și ${\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ $\ vec p$ ele sunt vectorul poziție și impuls sau momentului liniar, respectiv . Prin principiul corespondenței dintre aceasta , este posibil să se definească momentul cinetic în mecanica cuantică ca:

{\vec {L}}={\vec {r}}\times (-i\hbar {\vec {\nabla }})

{\ Displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ ori (-i \ hbar {\ vec {\ nabla}})}

{\ Displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ ori (-i \ hbar {\ vec {\ nabla}})}

din care componentele pot fi explicate după cum urmează:

L_{x}=-i\hbar \left(y{\frac {\partial }{\partial z}}-z{\frac {\partial }{\partial y}}\right)

{\ Displaystyle L_ {x} = - i \ hbar \ stânga (y {\ frac {\ parțial} {\ parțial z}} - z {\ frac {\ parțial} {\ y parțial}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle L_ {x} = - i \ hbar \ stânga (y {\ frac {\ parțial} {\ parțial z}} - z {\ frac {\ parțial} {\ y parțial}} \ dreapta)}

L_{y}=-i\hbar \left(z{\frac {\partial }{\partial x}}-x{\frac {\partial }{\partial z}}\right)

{\ L_ displaystyle {y} = - i \ hbar \ stânga (z {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} - x {\ frac {\ parțial} {\ z parțial}} \ dreapta)}

{\ L_ displaystyle {y} = - i \ hbar \ stânga (z {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} - x {\ frac {\ parțial} {\ z parțial}} \ dreapta)}

L_{z}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)

{\ L_ displaystyle {z} = - i \ hbar \ stânga (x {\ frac {\ parțial} {\ y parțial}} - y {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \ dreapta)}

{\ L_ displaystyle {z} = - i \ hbar \ stânga (x {\ frac {\ parțial} {\ y parțial}} - y {\ frac {\ partial} {\ x parțial}} \ dreapta)}

Noi imediat observăm că $L_{x},L_{y},L_{z}$ ${\ Displaystyle L_ {x}, L_ {y}, L_ {z}}$ ${\ Displaystyle L_ {x}, L_ {y}, L_ {z}}$ sunt operatori Hermitian , de fapt , acestea sunt combinații liniare ale operatorilor Hermitian care fac naveta între ele (poziție și impuls menționate coordonate diferite, de exemplu , $y$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y}$ Și $p_{x}$ ${\ displaystyle p_ {x}}$ ${\ Displaystyle P_ {x}}$ , intrerupator).

Algebra operatorilor momentului cinetic

1.In generală, relația este valabil

[L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}

{\ Displaystyle [L_ {i}, {j L_}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} L_ {k}}

{\ Displaystyle [L_ {i}, {j L_}] = i \ hbar \ varepsilon _ {ijk} L_ {k}}

unde este $\varepsilon _{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$ este simbolul Levi-Civita . Noi putem demonstra această relație în următorul caz particular:

[L_{x},L_{y}]=[(yp_{z}-zp_{y}),(zp_{x}-xp_{z})]\,\!=

{\ Displaystyle [L_ {x}, L_ {y}] = [(yp_ {z} -zp_ {y}), (zp_ {x} -xp_ {z})] \, \! =}

{\ Displaystyle [L_ {x}, L_ {y}] = [(yp_ {z} -zp_ {y}), (zp_ {x} -xp_ {z})] \, \! =}

=[yp_{z},zp_{x}]-[yp_{z},xp_{z}]-[zp_{y},zp_{x}]+[zp_{y},xp_{z}]\,\!=

{\ Displaystyle = [yp_ {z}, zp_ {x}] - [yp_ {z}, xp_ {z}] - [zp_ {y}, zp_ {x}] + [zp_ {y}, xp_ {z} ] \, \! =}

{\ Displaystyle = [yp_ {z}, zp_ {x}] - [yp_ {z}, xp_ {z}] - [zp_ {y}, zp_ {x}] + [zp_ {y}, xp_ {z} ] \, \! =}

=[yp_{z},zp_{x}]+[zp_{y},xp_{z}]\,\!=

{\ Displaystyle = [yp_ {z}, zp_ {x}] + [zp_ {y}, xp_ {z}] \, \! =}

{\ Displaystyle = [yp_ {z}, zp_ {x}] + [zp_ {y}, xp_ {z}] \, \! =}

=yp_{x}[p_{z},z]+p_{y}x[z,p_{z}]\,\!=

{\ Displaystyle = yp_ {x} [P_ {z}, z] + P_ {y} x [z, P_ {z}] \, \! =}

{\ Displaystyle = yp_ {x} [P_ {z}, z] + P_ {y} x [z, P_ {z}] \, \! =}

=-i\hbar yp_{x}+i\hbar p_{y}x=

{\ Displaystyle = -i \ hbar yp_ {x} + i \ hbar P_ {y} x =}

{\ Displaystyle = -i \ hbar yp_ {x} + i \ hbar P_ {y} x =}

=i\hbar (xp_{y}-yp_{x})=i\hbar L_{z}

{\ Displaystyle = i \ hbar (xp_ {y} -yp_ {x}) = i \ hbar L_ {z}}

{\ Displaystyle = i \ hbar (xp_ {y} -yp_ {x}) = i \ hbar L_ {z}}

2.It, de asemenea, se aplică:

[L^{2},L_{i}]\,\!=0

{\ Displaystyle [L ^ {2}, L_ {i}] \, \! = 0}

{\ Displaystyle [L ^ {2}, L_ {i}] \, \! = 0}

unde indicele i poate fi x, y sau z. Să dovedească cazul particular

[L^{2},L_{z}]\,\!=0

{\ Displaystyle [L ^ {2}, L_ {z}] \, \! = 0}

{\ Displaystyle [L ^ {2}, L_ {z}] \, \! = 0}

intr-adevar:

[{L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2}+{L_{z}}^{2},L_{z}]=[{L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2},L_{z}]=

{\ Displaystyle [{L_ {x}} ^ {2} + {L_ {y}} ^ {2} + {L_ {z}} ^ {2}, L_ {z}] = [{L_ {x}} ^ {2} + {L_ {y}} ^ {2}, L_ {z}] =}

{\ Displaystyle [{L_ {x}} ^ {2} + {L_ {y}} ^ {2} + {L_ {z}} ^ {2}, L_ {z}] = [{L_ {x}} ^ {2} + {L_ {y}} ^ {2}, L_ {z}] =}

[{L_{x}}^{2},L_{z}]+[{L_{y}}^{2},L_{z}]={L_{x}}^{2}L_{z}-L_{z}{L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2}L_{z}-L_{z}{L_{y}}^{2}=

{\ Displaystyle [{L_ {x}} ^ {2}, L_ {z}] + [{L_ {y}} ^ {2}, L_ {z}] = {L_ {x}} ^ {2} L_ {z} -L_ {z} {L_ {x}} ^ {2} + {L_ {y}} ^ {2} L_ {z} -L_ {z} {L_ {y}} ^ {2} =}

{\ Displaystyle [{L_ {x}} ^ {2}, L_ {z}] + [{L_ {y}} ^ {2}, L_ {z}] = {L_ {x}} ^ {2} L_ {z} -L_ {z} {L_ {x}} ^ {2} + {L_ {y}} ^ {2} L_ {z} -L_ {z} {L_ {y}} ^ {2} =}

Adăugăm și scădere: $L_{x}L_{z}L_{x}$ ${\ Displaystyle L_ {x} L_ {z} L_ {x}}$ ${\ Displaystyle L_ {x} L_ {z} L_ {x}}$ Și $L_{y}L_{z}L_{y}$ ${\ Displaystyle L_ {y} L_ {z} L_ {y}}$ ${\ Displaystyle L_ {y} L_ {z} L_ {y}}$

{L_{x}}^{2}L_{z}-L_{x}L_{z}L_{x}+L_{x}L_{z}L_{x}+{L_{y}}^{2}L_{z}-L_{z}{L_{x}}^{2}-L_{y}L_{z}L_{y}+L_{y}L_{z}L_{y}-L_{z}{L_{y}}^{2}=

{\ Displaystyle {L_ {x}} ^ {2} L_ {z} -L_ {x} L_ {z} L_ {x} + L_ {x} L_ {z} L_ {x} + {L_ {y}} ^ {2} L_ {z} -L_ {z} {L_ {x}} ^ {2} -L_ {y} L_ {z} L_ {y} + L_ {y} L_ {z} L_ {y} - L_ {z} {L_ {y}} ^ {2} =}

{\ Displaystyle {L_ {x}} ^ {2} L_ {z} -L_ {x} L_ {z} L_ {x} + L_ {x} L_ {z} L_ {x} + {L_ {y}} ^ {2} L_ {z} -L_ {z} {L_ {x}} ^ {2} -L_ {y} L_ {z} L_ {y} + L_ {y} L_ {z} L_ {y} - L_ {z} {L_ {y}} ^ {2} =}

L_{x}(L_{x}L_{z}-L_{z}L_{x})+(L_{x}L_{z}-L_{z}L_{x})L_{x}+L_{y}(L_{y}L_{z}-L_{z}L_{y})+(L_{y}L_{z}-L_{z}L_{y})L_{y}=

{\ Displaystyle L_ {x} (L_ {x} L_ {z} -L_ {z} L_ {x}) + (L_ {x} L_ {z} -L_ {z} L_ {x}) L_ {x} + L_ {y} (L_ {y} L_ {z} -L_ {z} L_ {y}) + (L_ {y} L_ {z} -L_ {z} L_ {y}) L_ {y} =}

{\ Displaystyle L_ {x} (L_ {x} L_ {z} -L_ {z} L_ {x}) + (L_ {x} L_ {z} -L_ {z} L_ {x}) L_ {x} + L_ {y} (L_ {y} L_ {z} -L_ {z} L_ {y}) + (L_ {y} L_ {z} -L_ {z} L_ {y}) L_ {y} =}

L_{x}[L_{x},L_{z}]+[L_{x},L_{z}]L_{x}+L_{y}[L_{y},L_{z}]+[L_{y},L_{z}]L_{y}=

{\ Displaystyle L_ {x} [L_ {x}, L_ {z}] + [L_ {x}, L_ {z}] L_ {x} + L_ {y} [L_ {y}, L_ {z}] + [L_ {y}, L_ {z}] L_ {y} =}

{\ Displaystyle L_ {x} [L_ {x}, L_ {z}] + [L_ {x}, L_ {z}] L_ {x} + L_ {y} [L_ {y}, L_ {z}] + [L_ {y}, L_ {z}] L_ {y} =}

L_{x}(-i\hbar L_{y})+(-i\hbar L_{y})L_{x}+L_{y}(i\hbar L_{x})+(i\hbar L_{x})L_{y}=0

{\ Displaystyle L_ {x} (- i \ hbar L_ {y}) + (- i \ hbar L_ {y}) L_ {x} + L_ {y} (i \ hbar L_ {x}) + (i \ hbar L_ {x}) L_ {y} = 0}

{\ Displaystyle L_ {x} (- i \ hbar L_ {y}) + (- i \ hbar L_ {y}) L_ {x} + L_ {y} (i \ hbar L_ {x}) + (i \ hbar L_ {x}) L_ {y} = 0}

De la 1. concluzionăm că algebra componentelor momentului unghiular este non-comutativă.

Din 2. se concluzionează că operatorii $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ ${\ L displaystyle ^ {2}}$ Și $L_{z}$ ${\ displaystyle L_ {z}}$ ${\ Displaystyle L_ {z}}$ ei diagonalize în același sistem ortonormal complet de state.

Solutia ecuației eigenvalue: mod algebrică

Pentru a aborda problema eigenvalue ecuația este convenabil de a folosi notația sutien-ket creat de Dirac . Prin urmare , suntem în căutarea pentru simultane autokets ale operatorilor $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ ${\ L displaystyle ^ {2}}$ Și $L_{z}$ ${\ displaystyle L_ {z}}$ ${\ Displaystyle L_ {z}}$ .

L^{2}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}|\lambda m\rangle

{\ L displaystyle ^ {2} | \ lambda m \ rangle = \ lambda \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}

{\ L displaystyle ^ {2} | \ lambda m \ rangle = \ lambda \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}

L_{z}|\lambda m\rangle =m\hbar |\lambda m\rangle

{\ Displaystyle L_ {zn} | \ lambda m \ rangle = m \ hbar | \ lambda m \ rangle}

{\ Displaystyle L_ {zn} | \ lambda m \ rangle = m \ hbar | \ lambda m \ rangle}

operatorii de scală

În acest moment introducem noi operatori , numite operatori de scară:

L_{+}=L_{x}+iL_{y}\qquad L_{-}=L_{x}-iL_{y}

{\ L displaystyle _ {+} = {x} L_ + iL_ {y} \ prototipurilor L _ {-} = {x} L_ -iL_ {y}}

{\ L displaystyle _ {+} = {x} L_ + iL_ {y} \ prototipurilor L _ {-} = {x} L_ -iL_ {y}}

$L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ ${\ L displaystyle ^ {2}}$ întrerupătoare cu ambele $L_{x}$ ${\ displaystyle L_ {x}}$ $L_ {x}$ că, cu $L_{y}$ ${\ Displaystyle L_ {y}}$ $Te iubesc}$ și apoi, de asemenea, cu comutatoare $L_{\pm }$ ${\ L displaystyle _ {\ pm}}$ ${\ L displaystyle _ {\ pm}}$ ;
De sine $|\lambda m\rangle$ ${\ Displaystyle | \ lambda m \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ lambda m \ rangle}$ este un vector propriu de $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ aparținând valorii proprii $\lambda \hbar ^{2}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ hbar ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ hbar ^ {2}}$ , $L_{+}|\lambda m\rangle$ ${\ L displaystyle _ {+} | \ lambda m \ rangle}$ ${\ L displaystyle _ {+} | \ lambda m \ rangle}$ Și $L_{-}|\lambda m\rangle$ ${\ L displaystyle _ {-} | \ lambda m \ rangle}$ ${\ L displaystyle _ {-} | \ lambda m \ rangle}$ sunt vectori proprii care aparțin aceluiași eigenvalue $\lambda \hbar ^{2}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ hbar ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda \ hbar ^ {2}}$ :

L^{2}L_{+}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}L_{+}|\lambda m\rangle

{\ Displaystyle L ^ {2} L _ {+} | \ lambda m \ rangle = \ lambda \ hbar ^ {2} L _ {+} | \ lambda m \ rangle}

{\ Displaystyle L ^ {2} L _ {+} | \ lambda m \ rangle = \ lambda \ hbar ^ {2} L _ {+} | \ lambda m \ rangle}

L^{2}L_{-}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}L_{-}|\lambda m\rangle

{\ Displaystyle L ^ {2} L _ {-} | \ lambda m \ rangle = \ lambda \ hbar ^ {2} L _ {-} | \ lambda m \ rangle}

{\ Displaystyle L ^ {2} L _ {-} | \ lambda m \ rangle = \ lambda \ hbar ^ {2} L _ {-} | \ lambda m \ rangle}

$L_{+}|\lambda m\rangle$ ${\ L displaystyle _ {+} | \ lambda m \ rangle}$ ${\ L displaystyle _ {+} | \ lambda m \ rangle}$ de asemenea, este vectorul propriu de $L_{z}$ ${\ displaystyle L_ {z}}$ $L_ {z}$ dar aparținând valorii proprii $(m+1)\hbar$ ${\ Displaystyle (m + 1) \ hbar}$ ${\ Displaystyle (m + 1) \ hbar}$ , precum și $L_{-}|\lambda m\rangle$ ${\ L displaystyle _ {-} | \ lambda m \ rangle}$ ${\ L displaystyle _ {-} | \ lambda m \ rangle}$ aparține valorii proprii $(m-1)\hbar$ ${\ Displaystyle (m-1) \ hbar}$ ${\ Displaystyle (m-1) \ hbar}$ :

L_{z}L_{+}|\lambda m\rangle =(m+1)\hbar L_{+}|\lambda m\rangle

{\ Displaystyle L_ {z} L _ {+} | \ lambda m \ rangle = (m + 1) \ hbar L _ {+} | \ lambda m \ rangle}

{\ Displaystyle L_ {z} L _ {+} | \ lambda m \ rangle = (m + 1) \ hbar L _ {+} | \ lambda m \ rangle}

L_{z}L_{-}|\lambda m\rangle =(m-1)\hbar L_{-}|\lambda m\rangle

{\ Displaystyle L_ {z} L _ {-} | \ lambda m \ rangle = (m-1) \ hbar L _ {-} | \ lambda m \ rangle}

{\ Displaystyle L_ {z} L _ {-} | \ lambda m \ rangle = (m-1) \ hbar L _ {-} | \ lambda m \ rangle}

Calcularea valorilor proprii

$L^{2}|\lambda m\rangle =\lambda \hbar ^{2}|\lambda m\rangle$ ${\ L displaystyle ^ {2} | \ lambda m \ rangle = \ lambda \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}$ ${\ L displaystyle ^ {2} | \ lambda m \ rangle = \ lambda \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}$ Și ${L_{z}}^{2}|\lambda m\rangle =m^{2}\hbar ^{2}|\lambda m\rangle$ ${\ Displaystyle {L_ {z}} ^ {2} | \ lambda m \ rangle = m ^ {2} \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}$ ${\ Displaystyle {L_ {z}} ^ {2} | \ lambda m \ rangle = m ^ {2} \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}$

(L^{2}-{L_{z}}^{2})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}|\lambda m\rangle

{\ Displaystyle (L ^ {2} - {L_ {z}} ^ {2}) | \ lambda m \ rangle = (\ lambda -m ^ {2}) \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle }

{\ Displaystyle (L ^ {2} - {L_ {z}} ^ {2}) | \ lambda m \ rangle = (\ lambda -m ^ {2}) \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle }

({L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}|\lambda m\rangle

{\ Displaystyle ({L_ {x}} ^ {2} + {L_ {y}} ^ {2}) | \ lambda m \ rangle = (\ lambda -m ^ {2}) \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}

{\ Displaystyle ({L_ {x}} ^ {2} + {L_ {y}} ^ {2}) | \ lambda m \ rangle = (\ lambda -m ^ {2}) \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}

{\frac {1}{2}}(L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}|\lambda m\rangle

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (L _ {+} L _ {-} + L _ {-} L _ {+}) | \ lambda m \ rangle = (\ lambda -m ^ { 2}) \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} (L _ {+} L _ {-} + L _ {-} L _ {+}) | \ lambda m \ rangle = (\ lambda -m ^ { 2}) \ hbar ^ {2} | \ lambda m \ rangle}

{\frac {1}{2}}\langle \lambda m|(L_{+}L_{-}+L_{-}L_{+})|\lambda m\rangle =(\lambda -m^{2})\hbar ^{2}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ Langle \ lambda m | (L _ {+} L _ {-} + L _ {-} L _ {+}) | \ lambda m \ rangle = ( \ lambda -m ^ {2}) \ hbar ^ {2}}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} \ Langle \ lambda m | (L _ {+} L _ {-} + L _ {-} L _ {+}) | \ lambda m \ rangle = ( \ lambda -m ^ {2}) \ hbar ^ {2}}

Din care rezultă că:

-{\sqrt {\lambda }}<m<{\sqrt {\lambda }}

{\ Displaystyle - {\ sqrt {\ lambda}} <m <{\ sqrt {\ lambda}}}

{\ Displaystyle - {\ sqrt {\ lambda}} <m <{\ sqrt {\ lambda}}}

adică, m este mărginită atât deasupra și dedesubt.

Cu utilizarea operatorilor de scara este ușor de a găsi valorile maxime și minime de m, rezolvare:

L_{-}L_{+}|\lambda m_{max}\rangle =0

{\ L displaystyle _ {-} L _ {+} | \ lambda M_ {max} \ rangle = 0}

{\ L displaystyle _ {-} L _ {+} | \ lambda M_ {max} \ rangle = 0}

L_{+}L_{-}|\lambda m_{min}\rangle =0

{\ L displaystyle _ {+} L _ {-} | \ lambda M_ {min} \ rangle = 0}

{\ L displaystyle _ {+} L _ {-} | \ lambda M_ {min} \ rangle = 0}

În acest fel se obțin relațiile fundamentale

m_{max}=-m_{min}={\frac {n}{2}}=j

{\ Displaystyle M_ {max} = - M_ {min} = {\ frac {n} {2}} = j}

{\ Displaystyle M_ {max} = - M_ {min} = {\ frac {n} {2}} = j}

\lambda =j{\big (}j+1)

{\ Displaystyle \ lambda = j {\ mare (} j + 1)}

{\ Displaystyle \ lambda = j {\ mare (} j + 1)}

unde n este orice număr întreg și, prin urmare, j poate lua orice valoare întreg sau semi-întreg.

Concluzii

Ecuațiile sunt astfel rezolvate valori proprii

L^{2}|jm\rangle =j(j+1)\hbar ^{2}|jm\rangle

{\ L displaystyle ^ {2} | jm \ rangle = j (j + 1) \ hbar ^ {2} | jm \ rangle}

{\ L displaystyle ^ {2} | jm \ rangle = j (j + 1) \ hbar ^ {2} | jm \ rangle}

L_{z}|jm\rangle =m\hbar |jm\rangle

{\ Displaystyle L_ {z} | jm \ rangle = m \ hbar | jm \ rangle}

{\ Displaystyle L_ {z} | jm \ rangle = m \ hbar | jm \ rangle}

iar rezultatul fundamental al cuantificării momentului unghiular a fost obținut. În plus, s - a descoperit că teoria cuantică admite valori ale j și m de seminters: a se vedea de spin .

Elemente conexe

cuantizare spațială

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica