Serii divergente
În matematică , o serie divergentă este o serie infinită care nu este nici convergentă, nici nedeterminată. Cu alte cuvinte, succesiunea sumelor parțiale divergă, adică: pentru fiecare există un indice astfel încât, pentru fiecare , , Unde este tocmai succesiunea sumelor parțiale.
Dacă o serie converge, termenul general al seriei trebuie să tindă spre 0 . Astfel, o serie în care termenul general tinde spre o valoare diferită de 0 divergă.
Nu toate seriile ale căror termeni tind să 0 converg. Cel mai simplu exemplu de serie divergentă este seria armonică .
Divergența sa a fost demonstrată de matematicianul medieval Nicole Oresme .
În domeniile specializate ale matematicii, valorile pot fi atribuite anumitor serii divergente. Metoda însumării este o funcție parțială care asociază o valoare cu seria. De exemplu, suma lui Cesàro atribuie seriei Grandi
valoarea 1/2. Metoda utilizează media sumelor parțiale. Alte metode pot utiliza continuări analitice , regularizări și renormalizări .
Seria armonică generalizată
- cu divergă pentru și converge pentru .
Istorie
Înainte de secolul al XIX-lea, seriile divergente erau utilizate pe scară largă de Euler și de alții, dar deseori duceau la rezultate confuze sau contradictorii. Ideea lui Euler că orice serie divergentă ar putea avea o sumă naturală, fără a fi definit încă ce este o astfel de serie, era încă o problemă. Cauchy dăduse o definiție riguroasă a celor convergente ( criteriul de convergență Cauchy ), mult timp seria divergentă a rămas exclusă din panorama matematică. Au reapărut când Poincaré și-a prezentat lucrarea despre seriile asimptotice. În 1890, Cesàro a definit în mod explicit o metodă. În anii următori, mulți alți matematicieni au dat alte definiții, nu întotdeauna compatibile: definiții diferite ar putea duce, de fapt, la rezultate diferite.
Notă
- ( EN ) Carl Brezinski și Redivo Zaglia, Metode de extrapolare. Teorie și practică , Olanda de Nord, 1991, ISBN 978-04-44-88814-3 .