Serii geometrice

În matematică , o serie geometrică este o serie astfel încât relația dintre doi termeni succesivi este constantă.

Definiție

Seria geometrică este o serie de tip $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ {k}}$ $\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ k$ . În mod echivalent, poate fi definit ca limita succesiunii sumelor parțiale $\{s_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n}: n \ in \ mathbb {N} \}}$ $\ {s_n: n \ in \ N \}$ , in care:

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}.

{\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = 1 + x + x ^ {2} + \ dots + x ^ {n}.}

s_n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} x ^ k = 1 + x + x ^ 2 + \ dots + x ^ n.

Suma parțială $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth dintr-o serie geometrică este, prin urmare, suma pentru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ variind de la zero la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ din $x^{k}$ ${\ displaystyle x ^ {k}}$ $x ^ k$ . Raportul dintre fiecare termen al sumei și termenul anterior este constant egal cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și se spune motivul seriei .

Acest tip de serie apare cu o frecvență deosebită în analiza algoritmilor ; în multe cazuri, valoarea acestuia din urmă poate fi calculată direct cu formulele ilustrate mai jos. Una dintre cele mai frecvente expresii este tocmai suma parțială a seriei geometrice cunoscute.

Formule

Putem dovedi asta $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}}}$ $\ sum_ {k = 0} ^ {n} x ^ k = \ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}$ în diverse feluri.

Demonstrația 1

Sa luam in considerare: $s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}.$ ${\ displaystyle s_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = 1 + x + x ^ {2} + \ dots + x ^ {n}.}$ $s_n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} x ^ k = 1 + x + x ^ 2 + \ dots + x ^ n.$ Înmulțind ambele părți ale ecuației anterioare cu $(1-x)$ ${\ displaystyle (1-x)}$ $(1-x)$ . Vedem că termenii polinomului din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ acestea sunt simplificate cu corespondenții însumării:

(1-x)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=1-x^{n+1}

{\ displaystyle (1-x) \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = 1-x ^ {n + 1}}

(1-x) \ sum_ {k = 0} ^ {n} x ^ k = 1-x ^ {n + 1}

Mutarea termenului $(1-x)$ ${\ displaystyle (1-x)}$ $(1-x)$ la al doilea membru obținem rapid suma pentru seria geometrică:

\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}}}

\ sum_ {k = 0} ^ {n} x ^ k = \ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}

Demonstrația 2

Un alt mod pur și simplu algebric de a ajunge la suma de la n este de a începe de la:

s_{n}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}

{\ displaystyle s_ {n} = 1 + x + x ^ {2} + \ dots + x ^ {n}}

s_ {n} = 1 + x + x ^ {2} + \ dots + x ^ {n}

apoi scade

1

{\ displaystyle 1}

1

și împarte totul la

X

{\ displaystyle x}

X

ambii membri

{\frac {s_{n}-1}{x}}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n-1}=s_{n-1}

{\ displaystyle {\ frac {s_ {n} -1} {x}} = 1 + x + x ^ {2} + \ dots + x ^ {n-1} = s_ {n-1}}

\ frac {s_ {n} -1} {x} = 1 + x + x ^ {2} + \ dots + x ^ {n-1} = s_ {n-1}

atâta timp cât

s_{n-1}=s_{n}-x^{n}

{\ displaystyle s_ {n-1} = s_ {n} -x ^ {n}}

s_ {n-1} = s_ {n} -x ^ {n}

atunci putem scrie

{\frac {s_{n}-1}{x}}=s_{n}-x^{n}

{\ displaystyle {\ frac {s_ {n} -1} {x}} = s_ {n} -x ^ {n}}

\ frac {s_ {n} -1} {x} = s_ {n} -x ^ {n}

făcând toți pașii algebrici, din această ultimă ecuație, obținem:

s_{n}(1-x)=1-x^{n+1}

{\ displaystyle s_ {n} (1-x) = 1-x ^ {n + 1}}

s_ {n} (1-x) = 1-x ^ {n + 1}

cu un ultim pas

s_{n}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}

{\ displaystyle s_ {n} = {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}}}

s_ {n} = \ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}

este suma pe care o căutam.

Demonstrația 3

Este posibil să se demonstreze că $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}}}$ $\ sum_ {k = 0} ^ {n} x ^ k = \ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}$ tot prin inducție. Observăm că pentru $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ primesti ${\frac {1-x}{1-x}}=1$ ${\ displaystyle {\ frac {1-x} {1-x}} = 1}$ $\ frac {1-x} {1-x} = 1$ de aceea se verifică baza inductivă. Să presupunem că formula este adevărată pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , sau că suma primei $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ termenii își merită propriul ${\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}}}$ $\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}$ , apoi suma primului $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ se aplică termenii

x^{n+1}+{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}={\frac {x^{n+1}-x^{n+2}+1-x^{n+1}}{1-x}}={\frac {1-x^{n+2}}{1-x}}

{\ displaystyle x ^ {n + 1} + {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}} = {\ frac {x ^ {n + 1} -x ^ {n + 2 } + 1-x ^ {n + 1}} {1-x}} = {\ frac {1-x ^ {n + 2}} {1-x}}}

x ^ {n + 1} + \ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x} = \ frac {x ^ {n + 1} - x ^ {n + 2} + 1 - x ^ {n + 1}} {1-x} = \ frac {1-x ^ {n + 2}} {1-x}

Prin urmare, formula, presupusă a fi adevărată pentru prima $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ termeni, este valabil și pentru primul $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ prin urmare, s-a dovedit prin inducție matematică că: $\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}}}$ $\ sum_ {k = 0} ^ {n} x ^ k = \ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}$

Observăm că această formulă este valabilă pentru $x\neq 1$ ${\ displaystyle x \ neq 1}$ $x \ neq 1$ , de sine $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ suma este banală $1+n$ ${\ displaystyle 1 + n}$ $1 + n$ .

Dacă seria nu începe de la, ci de la un alt termen $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , asa de

\sum _{k=m}^{n}x^{k}={\frac {x^{m}-x^{n+1}}{1-x}}

{\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} x ^ {k} = {\ frac {x ^ {m} -x ^ {n + 1}} {1-x}}}

\ sum_ {k = m} ^ n x ^ k = \ frac {x ^ m-x ^ {n + 1}} {1-x}

Prin derivarea sumei cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ puteți găsi formule pentru astfel de sume

\sum _{k=0}^{n}k^{s}x^{k}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {s} x ^ {k}}

\ sum_ {k = 0} ^ n k ^ s x ^ k

de exemplu:

{\frac {d}{dx}}\sum _{k=0}^{n}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}kx^{k-1}={\frac {1-x^{n+1}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {(n+1)x^{n}}{1-x}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} kx ^ {k-1} = {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {(1-x) ^ {2}}} - {\ frac {(n + 1) x ^ {n}} {1-x}}}

\ frac {d} {dx} \ sum_ {k = 0} ^ nx ^ k = \ sum_ {k = 0} ^ nkx ^ {k-1} = \ frac {1-x ^ {n + 1}} { (1-x) ^ 2} - \ frac {(n + 1) x ^ n} {1-x}

Comportamentul seriei

Seria are următorul caracter:

divergent pentru $x\geq 1$ ${\ displaystyle x \ geq 1}$ ${\ displaystyle x \ geq 1}$ pentru ca ai $s_{n}=1+x+x^{2}+\dots +x^{n}\geq nx+1$ ${\ displaystyle s_ {n} = 1 + x + x ^ {2} + \ dots + x ^ {n} \ geq nx + 1}$ ${\ displaystyle s_ {n} = 1 + x + x ^ {2} + \ dots + x ^ {n} \ geq nx + 1}$ iar prin teorema comparației diverg;
nedeterminat pentru $x<-1$ ${\ displaystyle x <-1}$ ${\ displaystyle x <-1}$ pentru ca ai $s_{n}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}$ ${\ displaystyle s_ {n} = {\ frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1}}}$ $s_n = \ frac {x ^ {n + 1} -1} {x-1}$ Și $\lim _{n\to +\infty }x^{n}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x ^ {n}}$ $\ lim_ {n \ to + \ infty} x ^ n$ nu există (unele texte raportează, pentru acest caz, caracterul divergent, ceea ce înseamnă că $|s_{n}|\to +\infty$ ${\ displaystyle | s_ {n} | \ to + \ infty}$ $| s_n | \ to + \ infty$ );
nedeterminată în cauză $x=-1$ ${\ displaystyle x = -1}$ $x = -1$ , deoarece funcția sumă oscilează între $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ Și $0;$ ${\ displaystyle 0;}$ ${\ displaystyle 0;}$
convergent când $|x|<1.$ ${\ displaystyle | x | <1.}$ ${\ displaystyle | x | <1.}$

Dacă într-adevăr $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ $| x | <1$ suma seriei există și este valabilă

\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{x}^{k}=\lim _{n\to \infty }{{1-x^{n+1}} \over {1-x}}={\frac {1}{1-x}}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ {k} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {x} ^ {k } = \ lim _ {n \ to \ infty} {{1-x ^ {n + 1}} \ over {1-x}} = {\ frac {1} {1-x}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ {k} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {x} ^ {k } = \ lim _ {n \ to \ infty} {{1-x ^ {n + 1}} \ over {1-x}} = {\ frac {1} {1-x}}.}

Această ultimă formulă este valabilă în orice algebră Banach cu condiția ca norma de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ e mai puțin decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ și, de asemenea, în domeniul numerelor p-adic se $|x|_{p}<1$ ${\ displaystyle | x | _ {p} <1}$ $| x | _p <1$ . În special este valabil în câmpul numerelor complexe cu definiția obișnuită a valorii absolute .

Dovadă alternativă

Are asta $S=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$ ${\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ dots}$ $S = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x ^ n = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ dots$ ;

asa de $xS=x(1+x+x^{2}+x^{3}+\dots )=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}-1=S-1.$ ${\ displaystyle xS = x (1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ dots) = x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + \ dots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} -1 = S-1.}$ ${\ displaystyle xS = x (1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ dots) = x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + \ dots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} -1 = S-1.}$

Prin urmare, este adevărat $xS=S-1\rightarrow S-xS=1\rightarrow S(1-x)=1.$ ${\ displaystyle xS = S-1 \ rightarrow S-xS = 1 \ rightarrow S (1-x) = 1.}$ ${\ displaystyle xS = S-1 \ rightarrow S-xS = 1 \ rightarrow S (1-x) = 1.}$

În acest moment, dacă și numai dacă $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ $| x | <1$ , are sens să scrii: $S={\frac {1}{1-x}}$ ${\ displaystyle S = {\ frac {1} {1-x}}}$ $S = \ frac {1} {1-x}$ , cvd

Ca și în cazul sumelor finite, putem obține seria pentru a găsi formule pentru sume analoage. De exemplu:

{\frac {d}{dx}}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kx^{k-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}.

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} kx ^ {k- 1} = {\ frac {1} {(1-x) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} kx ^ {k- 1} = {\ frac {1} {(1-x) ^ {2}}}.}

Această formulă este, desigur, valabilă numai pentru $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ $| x | <1$ .

Estimarea sumei

Pentru a estima suma geometrică finită cunoscând cea infinită, rupem seria după cum urmează

\sum _{i=0}^{n}x^{i}+\sum _{i=n+1}^{\infty }x^{i},

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} x ^ {i} + \ sum _ {i = n + 1} ^ {\ infty} x ^ {i},}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} x ^ {i} + \ sum _ {i = n + 1} ^ {\ infty} x ^ {i},}

amintindu-ne că seria geometrică are o sumă egală cu ${\frac {1}{1-x}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}}}$ $\ frac {1} {1-x}$ obținem asta

\sum _{i=0}^{n}x^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}-\sum _{i=n+1}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}}-x^{n+1}\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}.

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} x ^ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ {i} - \ sum _ {i = n + 1} ^ {\ infty} x ^ {i} = {\ frac {1} {1-x}} - x ^ {n + 1} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ {i} = {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} x ^ {i} = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ {i} - \ sum _ {i = n + 1} ^ {\ infty} x ^ {i} = {\ frac {1} {1-x}} - x ^ {n + 1} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} x ^ {i} = {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}}.}

Serii geometrice trunchiate

Dacă apare asta $f_{n}(x)=\sum _{i=0}^{n}x^{i}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} x ^ {i}}$ $f_n (x) = \ sum_ {i = 0} ^ n x ^ i$ avem asta:

f_{n}(1)=\lim _{x\to 1}{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=n+1.

{\ displaystyle f_ {n} (1) = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}} = n + 1.}

{\ displaystyle f_ {n} (1) = \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x}} = n + 1.}

Functia $f_{n}(x)$ ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$ se numește o serie geometrică trunchiată . Seria geometrică trunchiată stă la baza estimărilor sumelor foarte complexe. Folosind operatorul $X D.$ ${\ displaystyle xD}$ $xD$ (unde cu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ derivatul este indicat) avem că

xDf_{n}(x)=xD(\sum _{i=0}^{n}x^{i})=x\sum _{i=0}^{n}ix^{i-1}=\sum _{i=1}^{n}ix^{i}.

{\ displaystyle xDf_ {n} (x) = xD (\ sum _ {i = 0} ^ {n} x ^ {i}) = x \ sum _ {i = 0} ^ {n} ix ^ {i- 1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} ix ^ {i}.}

{\ displaystyle xDf_ {n} (x) = xD (\ sum _ {i = 0} ^ {n} x ^ {i}) = x \ sum _ {i = 0} ^ {n} ix ^ {i- 1} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} ix ^ {i}.}

referindu-se la seria geometrică trunchiată. Așa că o ai

\sum _{i=1}^{n}ix^{i}=xD(f_{n}(x))={\frac {nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(1-x)^{2}}}.

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} ix ^ {i} = xD (f_ {n} (x)) = {\ frac {nx ^ {n + 2} - (n + 1) x ^ {n + 1} + x} {(1-x) ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} ix ^ {i} = xD (f_ {n} (x)) = {\ frac {nx ^ {n + 2} - (n + 1) x ^ {n + 1} + x} {(1-x) ^ {2}}}.}

Exemple

Vrem să calculăm următoarea sumă:

\sum _{k=1}^{n}k2^{k}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k2 ^ {k}.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k2 ^ {k}.}

Să luăm în considerare funcția

t_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}x^{k}

{\ displaystyle t_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k}}

t_n (x) = \ sum_ {k = 0} ^ n x ^ k

și observăm că derivata sa este dată de

t_{n}'(x)=\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1},

{\ displaystyle t_ {n} '(x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} kx ^ {k-1},}

{\ displaystyle t_ {n} '(x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} kx ^ {k-1},}

aceasta înseamnă că

2t_{n}'(2)=\sum _{k=1}^{n}k2^{k},

{\ displaystyle 2t_ {n} '(2) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k2 ^ {k},}

{\ displaystyle 2t_ {n} '(2) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k2 ^ {k},}

și, prin urmare, problema noastră se reduce la evaluarea derivatei de $t_{n}(x)$ ${\ displaystyle t_ {n} (x)}$ $t_n (x)$ în $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ . Atâta timp cât $t_{n}(x)={{x^{n+1}-1} \over {x-1}},$ ${\ displaystyle t_ {n} (x) = {{x ^ {n + 1} -1} \ over {x-1}},}$ ${\ displaystyle t_ {n} (x) = {{x ^ {n + 1} -1} \ over {x-1}},}$ pentru fiecare $x\neq 1,$ ${\ displaystyle x \ neq 1,}$ ${\ displaystyle x \ neq 1,}$ noi obținem

t_{n}'(x)={{(n+1)x^{n}(x-1)-x^{n+1}+1} \over {(x-1)^{2}}},

{\ displaystyle t_ {n} '(x) = {{(n + 1) x ^ {n} (x-1) -x ^ {n + 1} +1} \ over {(x-1) ^ { 2}}},}

{\ displaystyle t_ {n} '(x) = {{(n + 1) x ^ {n} (x-1) -x ^ {n + 1} +1} \ over {(x-1) ^ { 2}}},}

si in consecinta

\sum _{k=0}^{n}k2^{k}=2t_{n}'(2)=2{{(n+1)2^{n}(2-1)-2^{n+1}+1} \over {(2-1)^{2}}}=(n-1)2^{n+1}+2.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k2 ^ {k} = 2t_ {n} '(2) = 2 {{(n + 1) 2 ^ {n} (2-1) -2 ^ {n + 1} +1} \ over {(2-1) ^ {2}}} = (n-1) 2 ^ {n + 1} +2.}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k2 ^ {k} = 2t_ {n} '(2) = 2 {{(n + 1) 2 ^ {n} (2-1) -2 ^ {n + 1} +1} \ over {(2-1) ^ {2}}} = (n-1) 2 ^ {n + 1} +2.}

Bibliografie

Giulio Barozzi, Primul curs de analiză matematică , Zanichelli Editore , ISBN 8808011690
Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis One , Liguori Editore, Napoli, 1998, ISBN 9788820728199 , paragraful 106.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Seria geometrică , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4156721-3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică