Suma lui Dedekind

În matematică , sumele Dedekind , numite în onoarea lui Richard Dedekind , sunt funcții ale trei argumente întregi exprimabile prin sume specifice de produse ale valorilor funcției dinte de fierăstrău . Dedekind le-a introdus pentru a formula ecuația funcțională a funcției eta a lui Dedekind . Mai târziu, aceste funcții speciale au fost studiate pe larg în teoria numerelor și s-au dovedit utile în unele probleme de topologie . Sumele lui Dedekind satisfac un număr mare de relații, dintre care doar câteva apar în această intrare.

Definiție

Să luăm în considerare o anumită funcție dinte de fierăstrău $\left(\left(\right)\right):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ left (\ left (\ right) \ right): \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ left (\ left (\ right) \ right): \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ definit astfel

((x))={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ;\\0,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} .\end{cases}}

{\ displaystyle ((x)) = {\ begin {cases} x- \ lfloor x \ rfloor -1/2, & {\ mbox {if}} x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Z} ; \\ 0, & {\ mbox {if}} x \ in \ mathbb {Z}. \ End {cases}}}

{\ displaystyle ((x)) = {\ begin {cases} x- \ lfloor x \ rfloor -1/2, & {\ mbox {if}} x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Z} ; \\ 0, & {\ mbox {if}} x \ in \ mathbb {Z}. \ End {cases}}}

Este o funcție al cărei domeniu este setul de numere reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ și ca codomain $\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}$ . Este o funcție periodică ciudată cu perioadă egală cu 1 și este discontinuă numai la valorile întregi ale argumentului său.

Putem apoi defini funcția

D:\mathbb {Z} ^{2}\times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})\to \mathbb {R}

{\ displaystyle D: \ mathbb {Z} ^ {2} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \}) \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle D: \ mathbb {Z} ^ {2} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \}) \ to \ mathbb {R}}

plasarea

D(a,b;c)=\sum _{n{\bmod {c}}}\left({\Bigg (}{\frac {an}{c}}{\Bigg )}\right)\left(\left({\frac {bn}{c}}\right)\right),

{\ displaystyle D (a, b; c) = \ sum _ {n {\ bmod {c}}} \ left ({\ Bigg (} {\ frac {an} {c}} {\ Bigg)} \ right ) \ left (\ left ({\ frac {bn} {c}} \ right) \ right),}

{\ displaystyle D (a, b; c) = \ sum _ {n {\ bmod {c}}} \ left ({\ Bigg (} {\ frac {an} {c}} {\ Bigg)} \ right ) \ left (\ left ({\ frac {bn} {c}} \ right) \ right),}

unde expresiile de pe al doilea membru se numesc sume Dedekind .

O reducere importantă a funcției se obține prin setarea a = 1; în general se notează cu

s(b,c)=D(1,b;c).

{\ displaystyle s (b, c) = D (1, b; c).}

{\ displaystyle s (b, c) = D (1, b; c).}

Proprietăți elementare

Din definiție rezultă imediat că D este simetric în raport cu schimbul primelor două argumente:

D(a,b;c)=D(b,a;c),

{\ displaystyle D (a, b; c) = D (b, a; c),}

{\ displaystyle D (a, b; c) = D (b, a; c),}

și că, din cauza disparității (()),

D (- a , b ; c ) = - D ( a , b ; c ),

D ( a , b ; - c ) = D ( a , b ; c ).

In mod clar, D este periodică în fiecare dintre primele două argumente, al treilea argument fiind lungimea perioadei atât a și b:

D ( a , b ; c ) = D ( a + kc , b + lc ; c ), pentru toate numerele întregi k , l .

Dacă d este un număr întreg pozitiv, atunci

D ( ad , bd ; cd ) = dD ( a , b ; c ),

D ( ad , bd ; c ) = D ( a , b ; c ), dacă ( d , c ) = 1,

D ( ad , b ; cd ) = D ( a , b ; c ), dacă ( d , b ) = 1.

Egalitatea finală poate fi demonstrată prin utilizarea proprietății

\sum _{n{\bmod {c}}}\left(\left({\frac {n+x}{c}}\right)\right)=\left(\left(x\right)\right),\qquad \forall x\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle \ sum _ {n {\ bmod {c}}} \ left (\ left ({\ frac {n + x} {c}} \ right) \ right) = \ left (\ left (x \ right ) \ right), \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n {\ bmod {c}}} \ left (\ left ({\ frac {n + x} {c}} \ right) \ right) = \ left (\ left (x \ right ) \ right), \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R}.}

Mai mult, az = 1 (mod c ) implică D ( a , b ; c ) = D (1, bz ; c ).

Caz special

Dacă b și c sunt numere prime , pentru s ( b , c ) avem expresia

s(b,c)={\frac {-1}{c}}\sum _{\omega }{\frac {1}{(1-\omega ^{b})(1-\omega )}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4c}},

{\ displaystyle s (b, c) = {\ frac {-1} {c}} \ sum _ {\ omega} {\ frac {1} {(1- \ omega ^ {b}) (1- \ omega )}} + {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {4c}},}

{\ displaystyle s (b, c) = {\ frac {-1} {c}} \ sum _ {\ omega} {\ frac {1} {(1- \ omega ^ {b}) (1- \ omega )}} + {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} {4c}},}

unde suma se referă la rădăcinile c ale unității altele decât 1, adică setul de valori $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ astfel încât $\omega ^{c}=1$ ${\ displaystyle \ omega ^ {c} = 1}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {c} = 1}$ dar $\omega \not =1$ ${\ displaystyle \ omega \ not = 1}$ ${\ displaystyle \ omega \ not = 1}$ .

Dacă b , c > 0 sunt coprimi, atunci

s(b,c)={\frac {1}{4c}}\sum _{n=1}^{c-1}\cot \left({\frac {\pi n}{c}}\right)\cot \left({\frac {\pi nb}{c}}\right).

{\ displaystyle s (b, c) = {\ frac {1} {4c}} \ sum _ {n = 1} ^ {c-1} \ cot \ left ({\ frac {\ pi n} {c} } \ right) \ cot \ left ({\ frac {\ pi nb} {c}} \ right).}

{\ displaystyle s (b, c) = {\ frac {1} {4c}} \ sum _ {n = 1} ^ {c-1} \ cot \ left ({\ frac {\ pi n} {c} } \ right) \ cot \ left ({\ frac {\ pi nb} {c}} \ right).}

Legea reciprocității

Dacă b și c sunt numere întregi pozitive între copii, atunci

s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{12}}\left({\frac {b}{c}}+{\frac {1}{bc}}+{\frac {c}{b}}\right)-{\frac {1}{4}}.

{\ displaystyle s (b, c) + s (c, b) = {\ frac {1} {12}} \ left ({\ frac {b} {c}} + {\ frac {1} {bc} } + {\ frac {c} {b}} \ right) - {\ frac {1} {4}}.}

{\ displaystyle s (b, c) + s (c, b) = {\ frac {1} {12}} \ left ({\ frac {b} {c}} + {\ frac {1} {bc} } + {\ frac {c} {b}} \ right) - {\ frac {1} {4}}.}

Rescrieți această ecuație în formă

12bc\left(s(b,c)+s(c,b)\right)=b^{2}+c^{2}-3bc+1,

{\ displaystyle 12bc \ left (s (b, c) + s (c, b) \ right) = b ^ {2} + c ^ {2} -3bc + 1,}

{\ displaystyle 12bc \ left (s (b, c) + s (c, b) \ right) = b ^ {2} + c ^ {2} -3bc + 1,}

rezultă că numărul 6 c s ( b , c ) este un număr întreg.

Dacă k = (3, c ), atunci

12bc\,s(c,b)=0\mod kc

{\ displaystyle 12bc \, s (c, b) = 0 \ mod kc}

{\ displaystyle 12bc \, s (c, b) = 0 \ mod kc}

Și

12bc\,s(b,c)=b^{2}+1\mod kc.

{\ displaystyle 12bc \, s (b, c) = b ^ {2} +1 \ mod kc.}

{\ displaystyle 12bc \, s (b, c) = b ^ {2} +1 \ mod kc.}

Raportăm o relație foarte importantă în teoria Dedekind a funcției eta . Fie q = 3, 5, 7 sau 13 și fă n = 24 / ( q - 1). În acest caz numere întregi a , b , c , d cu ad - bc = 1 (și, prin urmare, aparținând grupului modular ), cu c ales astfel încât să fie c = kq pentru un număr întreg k > 0, definim

\delta =s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}}-s(a,k)+{\frac {a+d}{12k}}

{\ displaystyle \ delta = s (a, c) - {\ frac {a + d} {12c}} - s (a, k) + {\ frac {a + d} {12k}}}

{\ displaystyle \ delta = s (a, c) - {\ frac {a + d} {12c}} - s (a, k) + {\ frac {a + d} {12k}}}

.

Rezultă că n δ este un număr întreg.

Generalizarea lui Rademacher a legii reciprocității

Hans Rademacher a constatat următoarea generalizare a legii reciprocității pentru sumele Dedekind. ^[1] Dacă a , b și c sunt numere întregi coprimă pozitive reciproc, atunci

D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}}-{\frac {1}{4}}.

{\ displaystyle D (a, b; c) + D (b, c; a) + D (c, a; b) = {\ frac {1} {12}} {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {abc}} - {\ frac {1} {4}}.}

{\ displaystyle D (a, b; c) + D (b, c; a) + D (c, a; b) = {\ frac {1} {12}} {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {abc}} - {\ frac {1} {4}}.}

Notă

^ Hans Rademacher , Generalization of the Reciprocity Formula for Dedekind Sums , Duke Mathematical Journal 21 (1954), pp. 391-397

Bibliografie

Tom M. Apostol , Funcții modulare și seria Dirichlet în teoria numerelor (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 (capitolul 3)
Matthias Beck și Sinai Robins, sume Dedekind: un punct de vedere geometric discret , (2005 sau anterior)
Hans Rademacher și Emil Grosswald , Dedekind Sums , Carus Math. Monografii, 1972. ISBN 0-88385-016-8 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Hans Rademacher , Generalization of the Reciprocity Formula for Dedekind Sums , Duke Mathematical Journal 21 (1954), pp. 391-397

[1]