Suprafață normală

Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . Puteți îmbunătăți această intrare adăugând citate din surse de încredere în conformitate cu liniile directoare privind utilizarea surselor . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

În geometrie , suprafețele normale sunt un instrument important pentru analiza 3-colectoare . Au fost introduse de matematicianul german Hellmuth Kneser în anii treizeci, în dovada primei părți a teoremei Kneser-Milnor . Teoria suprafețelor normale a fost dezvoltată ulterior de Wolfgang Haken .

Definiție

O suprafață normală intersectează fiecare tetraedru al triangulației în triunghiuri și pătrate de acest tip. Există 4 tipuri de triunghiuri (unul pentru fiecare vârf) și 3 de pătrate (unul pentru fiecare pereche de margini opuse).

Este ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">M.</span></span>}}${\ displaystyle M} un 3-colector închis , înzestrat cu o triangulație . O suprafață normală este o suprafață conținută în ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">M.</span></span>}}${\ displaystyle M} , care intersectează fiecare simplex al triangulației în triunghiuri sau pătrate, ca în figură.

Suprafața poate intersecta orice tetraedru într-un număr variabil de triunghiuri și / sau pătrate de acest tip.

Definiția este în mod evident puternic dependentă de triangulația fixată pe colectorul 3: o suprafață poate fi normală față de o triangulație și nu poate fi normală față de alta.

Proprietate

Suprafețele normale permit studierea celor mai importante suprafețe conținute într-o varietate 3 într-un mod combinator și algoritmic .

Suprafețe incompresibile și esențiale

Printre suprafețele normale există multe suprafețe importante. Cele mai relevante cazuri sunt următoarele:

1. Dacă colectorul 3 nu este ireductibil , există cel puțin o suprafață normală care este o sferă care nu se învecinează cu o bilă.
2. Dacă colectorul 3 este ireductibil, orice suprafață incompresibilă este izotopă la o suprafață normală.

Codificare

Suprafețele normale pot fi ușor codificate. Fiecare tetraedru are de fapt 4 tipuri posibile de triunghiuri (unul pentru fiecare vârf) și 3 tipuri de pătrate (unul pentru fiecare pereche de margini opuse). Prin urmare, intersecția unei suprafețe cu un simplex este determinată de șapte valori${\displaystyle {\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">z</span></span>}}_{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">1</span></span>}}<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">,</span></span>{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">z</span></span>}}_{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">2</span></span>}}<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">,</span></span><span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">...</span></span>{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">z</span></span>}}_{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">7</span></span>}}}${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, \ ldots z_ {7}} , indicând numărul de triunghiuri și pătrate paralele de fiecare tip. O suprafață normală este apoi determinată de ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">7</span></span>}\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">n</span></span>}}${\ displaystyle 7n} numere întregi non-negative, unde ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">n</span></span>}}${\ displaystyle n} este numărul de tetraedre din triangulație.

Nu toate alegerile posibile ale ${\displaystyle \mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">7</span></span>}\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">n</span></span>}}${\ displaystyle 7n} numerele întregi non-negative dau naștere unei suprafețe normale. Sunt necesare următoarele condiții:

1. Numărul total de triunghiuri și pătrate adiacente unei muchii a triangulației trebuie să fie același pentru toate tetraedrele incidente. Această condiție poate fi scrisă cu ecuații liniare în ${\displaystyle {\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">z</span></span>}}_{\mathrm{<span\; class="mwe-math-element"><span\; class="mwe-math-mathml-inline\; mwe-math-mathml-a11y"\; style="display:\; none;">the</span></span>}}}${\ displaystyle z_ {i}} .
2. Suprafața nu se intersectează singură: fiecare tetraedru trebuie să conțină pătrate de același tip și nu de mai multe tipuri diferite (cum acestea se intersectează).

Elemente conexe

• suprafață incompresibilă
• 3-soi ireductibil

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică