Teorema complexă a rădăcinilor conjugate

În matematică , teorema rădăcinii complexe conjugate afirmă că dacă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un polinom într-o singură variabilă cu coeficienți reali și $a+ib$ ${\ displaystyle a + ib}$ $a + ib$ este rădăcina sa (cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere reale), apoi complexul conjugat $a-ib$ ${\ displaystyle a-ib}$ ${\ displaystyle a-ib}$ este, de asemenea, o rădăcină a $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . ^[1]

Rezultă din aceasta (și din teorema fundamentală a algebrei ) că, dacă gradul unui polinom real este impar, acesta trebuie să aibă cel puțin o rădăcină reală. ^[2] Acest fapt poate fi dovedit și folosind teorema valorii intermediare .

Exemple și consecințe

Orice matrice pătrată reală de grad impar are cel puțin o valoare proprie reală. De exemplu, dacă matricea este ortogonală , cel puțin unul dintre +1 sau -1 este o valoare proprie.
Polinomul $x^{2}+1=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}$ are rădăcini $\pm i$ ${\ displaystyle \ pm i}$ $\ pm i$ .
Polinomul $x^{3}-7x^{2}+41x-87$ ${\ displaystyle x ^ {3} -7x ^ {2} + 41x-87}$ ${\ displaystyle x ^ {3} -7x ^ {2} + 41x-87}$ are rădăcini $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ , $2+5i$ ${\ displaystyle 2 + 5i}$ ${\ displaystyle 2 + 5i}$ , $2-5i$ ${\ displaystyle 2-5i}$ ${\ displaystyle 2-5i}$ și de aceea poate fi descompus ca

(x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).

{\ displaystyle (x-3) (x-2-5i) (x-2 + 5i).}

{\ displaystyle (x-3) (x-2-5i) (x-2 + 5i).}

Calculând produsul ultimilor doi factori, părțile imaginare se anulează și obținem

(x-3)(x^{2}-4x+29).

{\ displaystyle (x-3) (x ^ {2} -4x + 29).}

{\ displaystyle (x-3) (x ^ {2} -4x + 29).}

După cum puteți vedea, polinomul de gradul trei are două rădăcini conjugate complexe. Factorii complexi conjugați, înmulțiți împreună, dau naștere la polinoame de gradul doi cu coeficienți reali. Deoarece orice polinom cu coeficienți complexi poate fi luat în considerare în factori de gradul 1 (prin teorema fundamentală a algebrei ), rezultă că orice polinom cu coeficienți reali poate fi descompus în factori de grad care nu depășesc 2.

Dacă rădăcinile sunt $a+ib$ ${\ displaystyle a + ib}$ $a + ib$ Și $a-ib$ ${\ displaystyle a-ib}$ ${\ displaystyle a-ib}$ , polinomul generic de gradul doi al cărui rădăcini sunt de formă

x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2})

{\ displaystyle x ^ {2} -2ax + (a ^ {2} + b ^ {2})}

{\ displaystyle x ^ {2} -2ax + (a ^ {2} + b ^ {2})}

.

Dacă a treia rădăcină este c, polinomul este de formă

(x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}))(x-c)=x^{3}+x^{2}(-2a-c)+x(2ac+a^{2}+b^{2})-c(a^{2}+b^{2})

{\ displaystyle (x ^ {2} -2ax + (a ^ {2} + b ^ {2})) (xc) = x ^ {3} + x ^ {2} (- 2a-c) + x ( 2ac + a ^ {2} + b ^ {2}) - c (a ^ {2} + b ^ {2})}

{\ displaystyle (x ^ {2} -2ax + (a ^ {2} + b ^ {2})) (xc) = x ^ {3} + x ^ {2} (- 2a-c) + x ( 2ac + a ^ {2} + b ^ {2}) - c (a ^ {2} + b ^ {2})}

.

Demonstrație

O dovadă a teoremei este următoarea:

ia în considerare polinomul

P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n}

{\ displaystyle P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}}

{\ displaystyle P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}}

unde toți coeficienții $a_{r}$ ${\ displaystyle a_ {r}}$ ${\ displaystyle a_ {r}}$ sunt reale. Să presupunem că numărul complex $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ este o rădăcină a $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , acesta este $P(z_{0})=0$ ${\ displaystyle P (z_ {0}) = 0}$ ${\ displaystyle P (z_ {0}) = 0}$ . Are asta

P(z_{0})=a_{0}+a_{1}z_{0}+a_{2}z_{0}^{2}+\dots +a_{n}z_{0}^{n}=0

{\ displaystyle P (z_ {0}) = a_ {0} + a_ {1} z_ {0} + a_ {2} z_ {0} ^ {2} + \ dots + a_ {n} z_ {0} ^ {n} = 0}

{\ displaystyle P (z_ {0}) = a_ {0} + a_ {1} z_ {0} + a_ {2} z_ {0} ^ {2} + \ dots + a_ {n} z_ {0} ^ {n} = 0}

care poate fi rescris cu o însumare precum

\sum _{r=0}^{n}a_{r}\cdot z_{0}^{r}=0.

{\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {n} a_ {r} \ cdot z_ {0} ^ {r} = 0.}

{\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {n} a_ {r} \ cdot z_ {0} ^ {r} = 0.}

Acum ai asta

P({\overline {z_{0}}})=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\cdot \left({\overline {z_{0}}}\right)^{r}

{\ displaystyle P ({\ overline {z_ {0}}}) = \ sum _ {r = 0} ^ {n} a_ {r} \ cdot \ left ({\ overline {z_ {0}}} \ right ) ^ {r}}

{\ displaystyle P ({\ overline {z_ {0}}}) = \ sum _ {r = 0} ^ {n} a_ {r} \ cdot \ left ({\ overline {z_ {0}}} \ right ) ^ {r}}

unde cu ${\overline {z_{0}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z_ {0}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z_ {0}}}}$ vrem să indicăm complexul conjugat de $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ .

Pentru proprietățile numerelor complexe avem asta

\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left({\overline {z_{0}}}\right)^{r}=\sum _{r=0}^{n}a_{r}{\overline {z_{0}^{r}}}=\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}z_{0}^{r}}}.

{\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {n} a_ {r} \ left ({\ overline {z_ {0}}} \ right) ^ {r} = \ sum _ {r = 0} ^ { n} a_ {r} {\ overline {z_ {0} ^ {r}}} = \ sum _ {r = 0} ^ {n} {\ overline {a_ {r} z_ {0} ^ {r}} }.}

{\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {n} a_ {r} \ left ({\ overline {z_ {0}}} \ right) ^ {r} = \ sum _ {r = 0} ^ { n} a_ {r} {\ overline {z_ {0} ^ {r}}} = \ sum _ {r = 0} ^ {n} {\ overline {a_ {r} z_ {0} ^ {r}} }.}

Atâta timp cât

\sum _{r=0}^{n}{\overline {a_{r}z_{0}^{r}}}={\overline {0}}

{\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {n} {\ overline {a_ {r} z_ {0} ^ {r}}} = {\ overline {0}}}

{\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {n} {\ overline {a_ {r} z_ {0} ^ {r}}} = {\ overline {0}}}

rezultă că

\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left({\overline {z_{0}}}\right)^{r}={\overline {0}}=0

{\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {n} a_ {r} \ left ({\ overline {z_ {0}}} \ right) ^ {r} = {\ overline {0}} = 0}

{\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {n} a_ {r} \ left ({\ overline {z_ {0}}} \ right) ^ {r} = {\ overline {0}} = 0}

sau, scris în formă extinsă,

P({\overline {z_{0}}})=a_{0}+a_{1}{\overline {z_{0}}}+a_{2}\left({\overline {z_{0}}}\right)^{2}+\dots +a_{n}\left({\overline {z_{0}}}\right)^{n}=0

{\ displaystyle P ({\ overline {z_ {0}}}) = a_ {0} + a_ {1} {\ overline {z_ {0}}} + a_ {2} \ left ({\ overline {z_ { 0}}} \ right) ^ {2} + \ dots + a_ {n} \ left ({\ overline {z_ {0}}} \ right) ^ {n} = 0}

{\ displaystyle P ({\ overline {z_ {0}}}) = a_ {0} + a_ {1} {\ overline {z_ {0}}} + a_ {2} \ left ({\ overline {z_ { 0}}} \ right) ^ {2} + \ dots + a_ {n} \ left ({\ overline {z_ {0}}} \ right) ^ {n} = 0}

adică teza pe care au vrut să o demonstreze.

Rețineți că teorema conține doar $a_{r}$ ${\ displaystyle a_ {r}}$ ${\ displaystyle a_ {r}}$ real, întrucât un număr real este conjugat de sine, adică ${\overline {a_{r}}}=a_{r}$ ${\ displaystyle {\ overline {a_ {r}}} = a_ {r}}$ ${\ displaystyle {\ overline {a_ {r}}} = a_ {r}}$ . Dacă vreunul dintre coeficienți nu ar fi real, rădăcinile nu ar fi neapărat prezente în perechi conjugate și teorema nu ar fi validă.

Corolar asupra polinoamelor de grad impar

Din teorema prezentă și teorema fundamentală a algebrei rezultă că, dacă gradul unui polinom cu coeficienți reali este impar, trebuie să aibă cel puțin o rădăcină reală.

O idee despre dovadă este următoarea:

Deoarece rădăcinile complexe nereale apar în perechi conjugate, există un număr par de ele;
Dar un polinom de grad impar are un număr impar de rădăcini;
Ca urmare, unele dintre ele trebuie să fie reale.

Dovada formală necesită luarea în considerare și a prezenței rădăcinilor cu multiplicitate algebrică mai mare de 1; dar este ușor de arătat că o rădăcină complexă și conjugatul ei au aceeași multiplicitate.

Alternativ, este posibil să se demonstreze corolarul luând în considerare numai polinoame ireductibile : orice polinom real de grad impar trebuie să aibă un factor ireductibil de grad impar, care (neavând rădăcini multiple) trebuie să aibă o rădăcină reală conform raționamentului de mai sus.

Acest corolar poate fi dovedit și direct folosind teorema valorii intermediare .

Notă

^ Anthony G. O'Farell și Gary McGuire, Numere complexe, 8.4.2 Rădăcini complexe ale polinoamelor reale , în Maynooth Mathematical Olympiad Manual , Logic Press, 2002, p. 104, ISBN 0954426908 . Previzualizare disponibilă la Google Books
^ Alan Jeffrey, Funcții analitice , în Analize și aplicații complexe , CRC Press, 2005, pp. 22-23, ISBN 158488553X .

Elemente conexe

[1] Anthony G. O'Farell și Gary McGuire, Numere complexe, 8.4.2 Rădăcini complexe ale polinoamelor reale , în Maynooth Mathematical Olympiad Manual , Logic Press, 2002, p. 104, ISBN 0954426908 . Previzualizare disponibilă la Google Books

[Jeffrey-2] Alan Jeffrey, Funcții analitice , în Analize și aplicații complexe , CRC Press, 2005, pp. 22-23, ISBN 158488553X .

[1]

[2]