Teorema lui Meusnier

În geometria diferențială , teorema lui Meusnier corelează curbura unei suprafețe cu curbura unei curbe pe care o conține.

Curburi normale

Se dă o suprafață $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ diferențiat și o curbă $\alpha :I\longrightarrow \Sigma$ ${\ displaystyle \ alpha: I \ longrightarrow \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ alpha: I \ longrightarrow \ Sigma}$ chiar și la suprafață. Apoi sunt definite câmpurile versorilor normali , ${\hat {n}}_{\Sigma }$ ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ Sigma}}$ a suprafeței e ${\hat {n}}_{\alpha }$ ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha}}$ a curbei, în general nu coincidentă.

Apoi este posibil să se definească curbura normală a suprafeței $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ în direcția curbei $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în ceea ce privește câmpul versor ${\hat {n}}_{\alpha }$ ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {\ alpha}}$ iar curbura curbei $k_{\alpha }$ ${\ displaystyle k _ {\ alpha}}$ $k _ {\ alpha}$ . Teorema lui Meusnier afirmă că curbura suprafeței în direcția curbei $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ și aceeași curbură a curbei sunt legate de relația:

k=k_{\alpha }\cdot ({\hat {n}}_{\Sigma }\cdot {\hat {n}}_{\alpha })

{\ displaystyle k = k _ {\ alpha} \ cdot ({\ hat {n}} _ {\ Sigma} \ cdot {\ hat {n}} _ {\ alpha})}

{\ displaystyle k = k _ {\ alpha} \ cdot ({\ hat {n}} _ {\ Sigma} \ cdot {\ hat {n}} _ {\ alpha})}

În acest sens, curburile normale de suprafață sunt curburile curbelor tăiate de planurile normale la suprafață într-un punct dat.

Într-un mod mai simplu, se spune că raza de curbură a unei secțiuni plane oblice a cărei normală formează un unghi gamma cu normalul la suprafață este egală cu raza de curbură a secțiunii normale având aceeași tangentă înmulțită cu cosinusul gamma.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică