Teorema egregium

Teorema egregium sau teorema egregium ^[1] este un rezultat al geometriei diferențiale care afirmă că curbura Gaussiană $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este o cantitate intrinsecă a unei suprafețe , conservată prin transformări izometrice locale ^[2] .

Cu alte cuvinte, curbura Gauss este intrinsecă la suprafață și independentă de spațiul ambiental, deși este definită ca produsul principalelor curburi (a căror valoare depinde de modul în care suprafața este scufundată în spațiul ambiental).

Origine

Rezultatul a fost descoperit de Carl Friedrich Gauss și publicat în 1827 în Disquisitiones generales circa superficies curvas , afirmat după cum urmează ^[3] :

"Si superficies curve in quamcumque aliam surfacem explicatur, mensura curvaturae in singulis punctis invariata manet."

( Karl Friedrich Gauss , Disquisitiones generales circa superficies curvas )

Este numit de Gauss însuși teorema egregium (teorema egregio ) din cauza importanței rezultatului: este un rezultat care este orice altceva decât intuitiv și de mare valoare. Una dintre consecințele imediate ale teoremei este faptul că suprafețele cu curbură gaussiană diferită nu pot fi izometrice între ele. De exemplu, o sferă (care are o curbură strict pozitivă) nu poate fi izometrică față de plan (care are o curbură zero): din acest motiv, de exemplu, planisferele au întotdeauna distorsiuni.

Inversul nu este adevărat în general: un contraexemplu este furnizat de suprafața de rotație $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ generat de o curbă logaritmică și de helicoid $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ :

${\begin{aligned}\Phi :(u,v)&\rightarrow (av\cos {u},av\sin {u},b\log {v})\\\Psi :(u,v)&\rightarrow (av\cos {u},av\sin {u},bu)\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi: (u, v) & \ rightarrow (av \ cos {u}, av \ sin {u}, b \ log {v}) \\\ Psi: (u, v) & \ rightarrow (av \ cos {u}, av \ sin {u}, bu) \ end {align}}}$ ${\ begin {align} \ Phi: (u, v) & \ rightarrow (av \ cos {u}, av \ sin {u}, b \ log {v}) \\\ Psi: (u, v) & \ rightarrow (av \ cos {u}, av \ sin {u}, bu) \ end {align}}$

Cele două suprafețe au aceeași curbură gaussiană, dar nu sunt izometrice ^[4] . Această implicație este valabilă numai dacă cele două suprafețe au o curbură gaussiană egală și constantă ( teorema lui Minding ).

Demonstrație

Curbura gaussiană a unei suprafețe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ într-un punct este definit ca produsul celor două curburi principale din punct sau, echivalent, ca determinant al Hessianului unei parametrizări $f:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle f: A \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ $f: A \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {3}$ a suprafeței în sine.

Coeficienții celei de-a doua forme fundamentale (e, f, g) pot fi exprimați ca:

${\begin{aligned}e&=\langle x_{uu},N\rangle ={\dfrac {x_{uu}\cdot x_{u}\wedge x_{v}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}\\f&=\langle x_{uv},N\rangle ={\dfrac {x_{uv}\cdot x_{u}\wedge x_{v}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}\\g&=\langle x_{vv},N\rangle ={\dfrac {x_{vv}\cdot x_{u}\wedge x_{v}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} e & = \ langle x_ {uu}, N \ rangle = {\ dfrac {x_ {uu} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}} {\ sqrt {EG- F ^ {2}}}} \\ f & = \ langle x_ {uv}, N \ rangle = {\ dfrac {x_ {uv} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}} {\ sqrt {EG -F ^ {2}}}} \\ g & = \ langle x_ {vv}, N \ rangle = {\ dfrac {x_ {vv} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}} {\ sqrt { EG-F ^ {2}}}} \ end {align}}}$ ${\ begin {align} e & = \ langle x _ {{uu}}, N \ rangle = {\ dfrac {x _ {{uu}} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}} {{\ sqrt {EG -F ^ {2}}}} \\ f & = \ langle x _ {{uv}}, N \ rangle = {\ dfrac {x _ {{uv}} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}} {{\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}} \\ g & = \ langle x _ {{vv}}, N \ rangle = {\ dfrac {x _ {{vv }} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}} {{\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}} \ end {align}}$ .

Înlocuindu-le pe cele anterioare în expresie

$K={\dfrac {eg-f^{2}}{EG-F^{2}}}$ ${\ displaystyle K = {\ dfrac {ex-f ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}$ $K = {\ dfrac {eg-f ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}$

primesti:

${\begin{aligned}K(EG-F^{2})^{2}&=(eg-f^{2})(EG-F^{2})=\\&=(x_{uu}\cdot x_{u}\wedge x_{v})(x_{vv}\cdot x_{u}\wedge x_{v})-(x_{uv}\cdot x_{u}\wedge x_{v})^{2}.\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} K (EG-F ^ {2}) ^ {2} & = (eg-f ^ {2}) (EG-F ^ {2}) = \\ & = (x_ {uu} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}) (x_ {vv} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}) - (x_ {uv} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ { v}) ^ {2}. \ end {align}}}$ ${\ begin {align} K (EG-F ^ {2}) ^ {2} & = (eg-f ^ {2}) (EG-F ^ {2}) = \\ & = (x _ {{ uu}} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}) (x _ {{vv}} \ cdot x_ {u} \ wedge x_ {v}) - (x _ {{uv}} \ cdot x_ { u} \ wedge x_ {v}) ^ {2}. \ end {align}}$

Fiecare dintre factori este exprimat ca determinant al produselor matricilor (exploatarea invarianței determinantului în ceea ce privește transpunerea și aplicarea teoremei lui Binet ), obținând:

${\begin{aligned}&K(EG-F^{2})^{2}={\begin{vmatrix}x_{uu}\\x_{u}\\x_{v}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{vv}\\x_{u}\\x_{v}\end{vmatrix}}^{t}-{\begin{vmatrix}x_{uv}\\x_{u}\\x_{v}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{uv}\\x_{u}\\x_{v}\end{vmatrix}}^{t}=\\&={\begin{vmatrix}x_{uu}\cdot x_{vv}&x_{uu}\cdot x_{u}&x_{uu}\cdot x_{v}\\x_{vv}\cdot x_{u}&E&F\\x_{vv}\cdot x_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}x_{uv}\cdot x_{uv}&x_{uv}\cdot x_{u}&x_{uv}\cdot x_{v}\\x_{uv}\cdot x_{u}&E&F\\x_{uv}\cdot x_{v}&F&G\end{vmatrix}}=\\&=(x_{uu}\cdot x_{vv}-x_{uv}\cdot x_{uv}){\begin{vmatrix}E&F\\F&G\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&x_{uu}\cdot x_{u}&x_{uu}\cdot x_{v}\\x_{vv}\cdot x_{u}&E&F\\x_{vv}\cdot x_{v}&F&G\end{vmatrix}}+\\&-{\begin{vmatrix}0&x_{uv}\cdot x_{u}&x_{uv}\cdot x_{v}\\x_{uv}\cdot x_{u}&E&F\\x_{uv}\cdot x_{v}&F&G\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} & K (EG-F ^ {2}) ^ {2} = {\ begin {vmatrix} x_ {uu} \\ x_ {u} \\ x_ {v} \ end { vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {vv} \\ x_ {u} \\ x_ {v} \ end {vmatrix}} ^ {t} - {\ begin {vmatrix} x_ {uv} \\ x_ { u} \\ x_ {v} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x_ {uv} \\ x_ {u} \\ x_ {v} \ end {vmatrix}} ^ {t} = \\ & = {\ begin {vmatrix} x_ {uu} \ cdot x_ {vv} & x_ {uu} \ cdot x_ {u} & x_ {uu} \ cdot x_ {v} \\ x_ {vv} \ cdot x_ {u } & E & F \ \ x_ {vv} \ cdot x_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} x_ {uv} \ cdot x_ {uv} & x_ {uv} \ cdot x_ {u} & x_ {uv} \ cdot x_ {v} \\ x_ {uv} \ cdot x_ {u} & E & F \\ x_ {uv} \ cdot x_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} = \\ & = (x_ {uu} \ cdot x_ {vv} -x_ {uv} \ cdot x_ {uv}) {\ begin {vmatrix} E&F \\ F&G \ end {vmatrix}} + { \ begin {vmatrix} 0 & x_ {uu} \ cdot x_ {u} & x_ {uu} \ cdot x_ {v} \\ x_ {vv} \ cdot x_ {u} & E & F \\ x_ {vv} \ cdot x_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} + \\ & - {\ begin {vmatrix} 0 & x_ {uv} \ cdot x_ {u} & x_ {uv} \ cdot x_ {v} \\ x_ {uv} \ cdot x_ {u} & E & F \\ x_ {uv} \ cdot x_ {v} & F & G \ end {vmatrix}}. \ end {align}}}$ ${\ begin {align} & K (EG-F ^ {2}) ^ {2} = {\ begin {vmatrix} x _ {{uu}} \\ x_ {u} \\ x_ {v} \ end { vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x _ {{vv}} \\ x_ {u} \\ x_ {v} \ end {vmatrix}} ^ {t} - {\ begin {vmatrix} x _ {{uv }} \\ x_ {u} \\ x_ {v} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} x _ {{uv}} \\ x_ {u} \\ x_ {v} \ end {vmatrix} } ^ {t} = \\ & = {\ begin {vmatrix} x _ {{uu}} \ cdot x _ {{vv}} & x _ {{uu}} \ cdot x_ {u} & x _ { {uu}} \ cdot x_ {v} \ \ x _ {{vv}} \ cdot x_ {u} & E & F \\ x _ {{vv}} \ cdot x_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} x _ {{uv}} \ cdot x _ {{uv}} & x _ {{uv}} \ cdot x_ {u} & x _ {{uv}} \ cdot x_ {v} \\ x _ {{uv}} \ cdot x_ {u} & E & F \\ x _ {{uv}} \ cdot x_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} = \\ & = (x _ {{uu}} \ cdot x _ {{vv}} - x _ {{uv}} \ cdot x _ {{uv}}) {\ begin {vmatrix} E&F \\ F&G \ end {vmatrix}} + {\ begin {vmatrix} 0 & x _ {{uu}} \ cdot x_ {u} & x _ {{uu}} \ cdot x_ {v} \ \ x _ {{vv}} \ cdot x_ {u} & E & F \\ x _ {{vv}} \ cdot x_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} + \\ & - {\ begin {vmatrix} 0 & x _ {{uv}} \ cdot x_ {u} & x _ {{uv}} \ cdot x_ {v} \\ x _ {{uv}} \ cdot x_ {u} & E & F \\ x _ {{ uv}} \ cdot x_ {v} & F & G \ end {vmatrix}}. \ end {align}}$

Sunt luate în considerare următoarele identități (care apar direct prin derivarea coeficienților primei forme fundamentale )

${\begin{aligned}x_{uu}\cdot x_{u}={\frac {1}{2}}E_{u}&\quad x_{uv}\cdot x_{u}={\frac {1}{2}}E_{v}\\x_{vv}\cdot x_{v}={\frac {1}{2}}G_{v}&\quad x_{uu}\cdot x_{v}=F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\x_{uv}\cdot x_{v}={\frac {1}{2}}G_{u}&\quad x_{vv}\cdot x_{u}=F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u},\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} x_ {uu} \ cdot x_ {u} = {\ frac {1} {2}} E_ {u} & \ quad x_ {uv} \ cdot x_ {u} = {\ frac {1} {2}} E_ {v} \\ x_ {vv} \ cdot x_ {v} = {\ frac {1} {2}} G_ {v} & \ quad x_ {uu} \ cdot x_ { v} = F_ {u} - {\ frac {1} {2}} E_ {v} \\ x_ {uv} \ cdot x_ {v} = {\ frac {1} {2}} G_ {u} & \ quad x_ {vv} \ cdot x_ {u} = F_ {v} - {\ frac {1} {2}} G_ {u}, \ end {align}}}$ ${\ begin {align} x _ {{uu}} \ cdot x_ {u} = {\ frac {1} {2}} E_ {u} & \ quad x _ {{uv}} \ cdot x_ {u} = {\ frac {1} {2}} E_ {v} \\ x _ {{vv}} \ cdot x_ {v} = {\ frac {1} {2}} G_ {v} & \ quad x _ {{uu}} \ cdot x_ {v} = F_ {u} - {\ frac {1} {2}} E_ {v} \\ x _ {{uv}} \ cdot x_ {v} = {\ frac {1} {2}} G_ {u} & \ quad x _ {{vv}} \ cdot x_ {u} = F_ {v} - {\ frac {1} {2}} G_ {u}, \ end {aliniat}}$

din care deducem:

$x_{uu}\cdot x_{vv}-x_{uv}\cdot x_{uv}={\dfrac {d}{dv}}(x_{uu}\cdot x_{v})-{\dfrac {d}{du}}(x_{uv}\cdot x_{v})=F_{uv}-{\frac {1}{2}}E_{vv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}.$ ${\ displaystyle x_ {uu} \ cdot x_ {vv} -x_ {uv} \ cdot x_ {uv} = {\ dfrac {d} {dv}} (x_ {uu} \ cdot x_ {v}) - {\ dfrac {d} {du}} (x_ {uv} \ cdot x_ {v}) = F_ {uv} - {\ frac {1} {2}} E_ {vv} - {\ frac {1} {2} } G_ {uu}.}$ $x _ {{uu}} \ cdot x _ {{vv}} - x _ {{uv}} \ cdot x _ {{uv}} = {\ dfrac {d} {dv}} (x _ {{uu }} \ cdot x_ {v}) - {\ dfrac {d} {du}} (x _ {{uv}} \ cdot x_ {v}) = F _ {{uv}} - {\ frac {1} {2}} E _ {{vv}} - {\ frac {1} {2}} G _ {{uu}}.$

Înlocuind expresia obținută mai sus, avem în cele din urmă:

${\begin{aligned}K&={\dfrac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\left\lbrace \left(F_{uv}-{\frac {1}{2}}E_{vv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}\right){\begin{vmatrix}E&F\\F&G\end{vmatrix}}+\right.\\&+\left.{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}\right\rbrace .\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} K & = {\ dfrac {1} {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ left \ lbrace \ left (F_ {uv} - {\ frac { 1} {2}} E_ {vv} - {\ frac {1} {2}} G_ {uu} \ right) {\ begin {vmatrix} E&F \\ F&G \ end {vmatrix}} + \ right. \\ & + \ left. {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac {1} {2}} E_ {u} & F_ {u} - {\ frac {1} {2}} E_ {v} \\ F_ {v} - {\ frac {1} {2}} G_ {u} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - { \ begin {vmatrix} 0 & {\ frac {1} {2}} E_ {v} & {\ frac {1} {2}} G_ {u} \\ {\ frac {1} {2}} E_ { v} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {u} & F & G \ end {vmatrix}} \ right \ rbrace. \ End {align}}}$ ${\ begin {align} K & = {\ dfrac {1} {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ left \ lbrace \ left (F _ {{uv}} - {\ frac { 1} {2}} E _ {{vv}} - {\ frac {1} {2}} G _ {{uu}} \ right) {\ begin {vmatrix} E&F \\ F&G \ end {vmatrix}} + \ right. \\ & + \ left. {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac {1} {2}} E_ {u} & F_ {u} - {\ frac {1} {2}} E_ {v} \\ F_ {v} - {\ frac {1} {2}} G_ {u} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac {1} {2}} E_ {v} & {\ frac {1} {2}} G_ {u} \\ {\ frac {1} {2}} E_ {v} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {u} & F & G \ end {vmatrix}} \ right \ rbrace. \ End {align}}$

După ce am exprimat $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ prin intermediul $ȘI, F., G.$ ${\ displaystyle E, F, G}$ $E, F, G$ și derivatele lor prima și a doua (care sunt funcții invariante pentru izometrii), se poate concluziona că chiar $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este invariant sub izometrii.

Notă

^ Anna Gori, cursul de geometrie 4, Universitatea din Milano , pe mat.unimi.it , 2016.
^ Theorema Egregium a lui Gauss , la mathworld.wolfram.com , Wolfram Mathworld. Adus la 30 septembrie 2013 .
^ Gauss , p. 24 .
^ Caddeo, Gray , p. 535 .

Bibliografie

Renzo Caddeo și Alfred Gray, Curbe și suprafețe , vol. 1, Cagliari, CUEC, 2001, pp. 533-535, ISBN 88-8467-022-5 .
Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas , Gottingen, Typis Dieterichianis, 1827.

Elemente conexe

Suprafață parametrică

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Anna Gori, cursul de geometrie 4, Universitatea din Milano , pe mat.unimi.it , 2016.

[2] Theorema Egregium a lui Gauss , la mathworld.wolfram.com , Wolfram Mathworld. Adus la 30 septembrie 2013 .

[3] Gauss , p. 24 .

[4] Caddeo, Gray , p. 535 .

[1]

[2]

[3]

[4]