Matricea Hessian

În analiza matematică , matricea hessiană a unei funcții de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabilele cu valori într-un câmp scalar, numită și matricea lui Hesse sau pur și simplu Hessian, este matricea pătrată $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ a derivatelor parțiale a doua funcție. Numele se datorează lui Otto Hesse .

Definiție

Având în vedere o funcție reală de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile reale $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ , Dacă există toate derivatele sale parțiale , atunci definește matricea Hessiană a funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ matricea $\operatorname {H} f(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ operatorname {H} f (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ operatorname {H} f (\ mathbf {x})}$ dat de:

\operatorname {H} f={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}},\qquad (\operatorname {H} f)_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},

{\ displaystyle \ operatorname {H} f = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} și {\ frac {\ partial ^ { 2} f} {\ partial x_ {1} \, \ partial x_ {2}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} \, \ partial x_ { n}}} \\\\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} \, \ partial x_ {1}}} și {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} \, \ partial x_ {n}}} \\\\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} \, \ partial x_ {1}}} & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} \, \ partial x_ {2}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} ^ {2 }}} \ end {bmatrix}}, \ qquad (\ operatorname {H} f) _ {ij} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ { j}}},}

{\ displaystyle \ operatorname {H} f = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} și {\ frac {\ partial ^ { 2} f} {\ partial x_ {1} \, \ partial x_ {2}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} \, \ partial x_ { n}}} \\\\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} \, \ partial x_ {1}}} și {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} \, \ partial x_ {n}}} \\\\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} \, \ partial x_ {1}}} & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} \, \ partial x_ {2}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} ^ {2 }}} \ end {bmatrix}}, \ qquad (\ operatorname {H} f) _ {ij} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ { j}}},}

care este asociat cu „ operatorul :

\operatorname {H} _{ij}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.

{\ displaystyle \ operatorname {H} _ {ij} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ {j}}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {H} _ {ij} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ {j}}}.}

Hessianul de fapt îl reprezintă pe Jacobianul gradientului , sintetic:

\operatorname {H} =\operatorname {J} \cdot \nabla .

{\ displaystyle \ operatorname {H} = \ operatorname {J} \ cdot \ nabla.}

{\ displaystyle \ operatorname {H} = \ operatorname {J} \ cdot \ nabla.}

Derivate mixte și simetrie Hessian

Același subiect în detaliu: Teorema lui Schwarz .

Elementele din afara diagonalei principale nell'hessiana sunt derivate funcție mixtă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Cu ipoteze adecvate, urmează următoarea teoremă:

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right).

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right).}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial y}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right).}

Această egalitate este, de asemenea, scrisă ca:

\partial _{xy}f=\partial _{yx}f.

{\ displaystyle \ partial _ {xy} f = \ partial _ {yx} f.}

{\ displaystyle \ partial _ {xy} f = \ partial _ {yx} f.}

În termeni formali: dacă toate derivatele secundare ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Sunt continue într-o regiune $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , apoi Hessianul din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Este o matrice simetrică în fiecare punct al $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ . Veridicitatea acestei afirmații este cunoscută sub numele de teorema lui Schwarz.

Puncte critice și discriminante

Dacă gradientul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este nul la un moment dat $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ aparținând domeniului funcției, atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Are un punct critic . Hessianul decisiv (Hessian a spus pur și simplu) în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ De asemenea, se spune că este discriminatoriu $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ . Dacă acest determinant este zero atunci $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Se numește un punct critic degenerat al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . În alte puncte se numește nedegenerat.

Testați pentru a doua derivată

Următorul criteriu poate fi aplicat într-un punct critic $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ nu degenerat:

dacă Hessian este o matrice definitivă pozitivă în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Are un minim local în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ ;

dacă Hessian este o matrice definitivă negativă în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Are un maxim local în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ ;

dacă Hessian are cel puțin două valori proprii de semn opus atunci $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Este un punct de șa pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

În caz contrar, testul este neconcludent. Rețineți că pentru hessienii semidefiniti pozitivi și semidefiniti negativi testul este neconcludent. Deci, putem vedea mai multe din punctul de vedere al teoriei Morse .

Luând în considerare ceea ce tocmai s-a spus, testul pentru a doua derivată pentru funcțiile uneia și a două variabile este simplu.

Într-o variabilă, Hessian conține doar o secundă derivată :

dacă acest lucru este pozitiv atunci $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un minim local, dacă acest lucru este negativ atunci $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un maxim local;

dacă acesta este zero, atunci testul este neconcludent.

În două variabile, poate fi utilizat decisiv, deoarece este produsul valorilor proprii:

dacă acest lucru este pozitiv, atunci valorile proprii sunt ambele pozitive sau ambele negative;

dacă acest lucru este negativ, atunci cele două valori proprii au un semn diferit;

dacă acesta este zero, testul celei de-a doua derivate este neconcludent.

Funcții cu valoare vectorială

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în schimb este o funcție cu valoare vectorială, adică dacă

f\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n},}

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n},}

atunci vectorul celei de-a doua derivate parțiale nu este o matrice , ci un tensor de rangul 3.

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis Due , Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-2675-0 .
(EN) Binmore și Davies, Concepte și metode de calcul, Cambridge University Press, 2007, p. 190.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, matricea Hessian , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy