Curbura principală

În geometria diferențială , în orice punct de pe o suprafață diferențiată în spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ sunt asociate două curburi principale : acestea sunt maximul și minimul curburii unei curbe conținute în suprafață și care trece prin punct.

Curbura Gaussiană și curbura medie sunt obținute respectiv ca produs și ca medie aritmetică a celor două curburi principale.

Definiție

Curbura unei curbe într-un punct este reciprocă a razei cercului oscilant în acest punct.

Este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un punct dintr-o suprafață diferențiată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cuprins în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ , Și ${\vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ un normal la suprafața aleasă în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Fiecare plan care conține normalul se intersectează $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ aproape de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ într-o curbă $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . Curbura de $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ are și un semn: acest lucru este pozitiv dacă curba se rotește în aceeași direcție ca ${\vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ (adică dacă cercul oscilant este față de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe aceeași parte ca ${\vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ) și negativ în caz contrar.

Fiecare transportator ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ a unității de lungime a planului tangent în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ definește planul care trece ${\vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ Și ${\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ . Vectorii tangenți cu lungimea unității formează un cerc $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , curbura este deci o funcție

f\colon C\to \mathbb {R} .

{\ displaystyle f \ colon C \ to \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle f \ colon C \ to \ mathbb {R}.}

Atâta timp cât $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este compact și funcția este continuă , aceasta are un maxim și un minim ( teorema Weierstrass ). Valorile maxime și minime sunt curburile principale ale suprafeței $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Proprietate

Direcțiile principale într-un cilindru. Curburile sunt

k_{1}=0

{\ displaystyle k_ {1} = 0}

{\ displaystyle k_ {1} = 0}

(în verde) e

k_{2}>0

{\ displaystyle k_ {2}> 0}

{\ displaystyle k_ {2}> 0}

(in albastru).

Direcții principale ortogonale

Dacă curburile principale sunt distincte, adică dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este constant , punctul maxim este asumat pe două direcții opuse ale $C.$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ , precum și punctul minim. Direcțiile principale sunt cele două linii ale planului tangente la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ conținând respectiv punctele minime și maxime. Acestea sunt, de asemenea, ortogonale , după cum a demonstrat Euler în 1760.

Exemple de suprafețe în care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este constantă și, prin urmare, direcțiile principale nu sunt definite sunt planul și sfera. În acest caz funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este constant zero (în plan) sau o valoare $k>0$ ${\ displaystyle k> 0}$ $k> 0$ (sfera).

Planuri ortogonale

Punct de șa cu planuri normale în direcțiile curburilor principale

Planul tangent în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ iar planurile normale la cele două direcții principale (dacă sunt definite) formează un set de trei planuri ortogonale în perechi.

Curbură gaussiană și medie

Produsul celor două curburi principale $k_{1}k_{2}$ ${\ displaystyle k_ {1} k_ {2}}$ ${\ displaystyle k_ {1} k_ {2}}$ este curbura gaussiană a suprafeței în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Media aritmetică $(k_{1}+k_{2})/2$ ${\ displaystyle (k_ {1} + k_ {2}) / 2}$ ${\ displaystyle (k_ {1} + k_ {2}) / 2}$ este curbura medie . Ambele mărimi sunt importante în studierea geometriei diferențiale a unei suprafețe.

Dependența de normal

Dacă normalul este ales în direcția opusă, funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și deci principalele curburi $k_{1}$ ${\ displaystyle k_ {1}}$ $k_1$ Și $k_{2}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$ $k_2$ schimbă semnul. Direcțiile principale nu se schimbă (sunt schimbate), curbura Gaussiană nu se schimbă, în timp ce cea medie își schimbă semnul.

Tipul punctelor

Există câteva adjective care descriu curburile principale ale unui punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Un punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și:

eliptice dacă curburile principale au același semn. În acest caz, suprafața este convexă într-un cartier al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ;
parabolică dacă o curbură principală este zero.
hiperbolice dacă curburile principale au semne opuse.
ombilical dacă curburile principale coincid. În acest caz, direcțiile principale nu sunt definite și se înțelege că toate direcțiile sunt principale.

Un punct este eliptic, parabolic sau hiperbolic dacă curbura Gauss este pozitivă, zero sau respectiv negativă.

Exemple

Suprafețe cu curbură constantă

Linii de curbură într-un sferoid .

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o sferă de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ sau un plan, toate punctele sunt ombilicale și cu curburi majore peste tot $1/r$ ${\ displaystyle 1 / r}$ ${\ displaystyle 1 / r}$ (în sferă) sau 0 (în plan).

Avionul și cilindrul

Într-un cilindru cu rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , toate punctele sunt parabolice și au curburi majore $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ Și $1/r$ ${\ displaystyle 1 / r}$ ${\ displaystyle 1 / r}$ . Cu toate acestea, curbura Gauss este întotdeauna zero în fiecare punct, ca și în plan: rularea unei foi de hârtie își schimbă curburile principale, dar nu curbura Gaussiană. Acesta este un efect al faptului că curbura Gauss este intrinsecă (depinde doar de suprafață) în timp ce curburile principale sunt extrinseci (depinde de modul în care suprafața este plasată în spațiu).

Linii de curbură

O linie de curbură într-o suprafață este o curbă care este în orice punct tangentă la o direcție principală. Exact două linii de curbură trec local pentru fiecare punct non-ombilical.

Bibliografie

( EN ) Manfredo do Carmo, Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor , 1976, ISBN 0-13-212589-7 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN )Main Curvature , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică