Curbura medie

În geometria diferențială , curbura medie $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ a unei suprafețe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o măsură a curburii suprafeței într-un punct.

Curbura medie este definită ca media aritmetică a curburilor principale din punct. Este o cantitate care, spre deosebire de curbura Gaussiană (definită ca produsul acestora), măsoară curbura extrinsecă a suprafeței: adică este dependentă de modul în care suprafața este plasată în spațiu.

Suprafețele cu curbură medie zero sunt numite suprafețe minime și apar în natură, de exemplu, prin scufundarea unui cadru metalic de formă arbitrară în apă cu săpun.

Definiție

Este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ o suprafață în spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ . Suprafața trebuie să fie suficient de netedă pentru a putea fi definite curburile principale .

Curburile principale

Curbura medie a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ intr-un loc $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este media aritmetică $(k_{1}+k_{2})/2$ ${\ displaystyle (k_ {1} + k_ {2}) / 2}$ ${\ displaystyle (k_ {1} + k_ {2}) / 2}$ a curburilor principale $k_{1}$ ${\ displaystyle k_ {1}}$ $k_1$ Și $k_{2}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$ $k_2$ în sens.

Dacă indicăm cu $R_{1}=1/k_{1}$ ${\ displaystyle R_ {1} = 1 / k_ {1}}$ ${\ displaystyle R_ {1} = 1 / k_ {1}}$ Și $R_{2}=1/k_{2}$ ${\ displaystyle R_ {2} = 1 / k_ {2}}$ ${\ displaystyle R_ {2} = 1 / k_ {2}}$ razele corespunzătoare curburilor principale , atunci putem scrie că:

H={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {R_{1}+R_{2}}{2R_{1}R_{2}}}

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} \ right) = { \ frac {R_ {1} + R_ {2}} {2R_ {1} R_ {2}}}}

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} \ right) = { \ frac {R_ {1} + R_ {2}} {2R_ {1} R_ {2}}}}

adică inversa curburii medii este egală cu media armonică a razelor principale de curbură. Mai mult, putem rescrie curbura medie în termeni de cea gaussiană (K) :

H={\frac {1}{2}}(R_{1}+R_{2})K

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} (R_ {1} + R_ {2}) K}

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} (R_ {1} + R_ {2}) K}

Hessian

Curbura medie poate fi definită mai concret în felul următor. Cu o singură rotație , suprafața poate fi transformată astfel încât planul să fie tangent la $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este orizontală. Aproape $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , suprafața este graficul unei funcții

f:A\to \mathbb {R}

{\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle f: A \ to \ mathbb {R}}

definit pe un set deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ . Prin urmare $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ are coordonate $(x,y,f(x,y))$ ${\ displaystyle (x, y, f (x, y))}$ ${\ displaystyle (x, y, f (x, y))}$ . Deoarece planul tangent este orizontal, această funcție are gradient zero. Curbura medie în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este deci definit ca urma lui Hessian din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ . Pentru ca această definiție să aibă sens, funcția trebuie să fie diferențiată cel puțin de două ori: Hessianul este de fapt matricea simetrică $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ dată de derivatele secundare parțiale ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Semn

În ambele definiții, semnul curburii medii depinde de alegerea unei suprafețe normale în punct.

Exemple

Curbură constantă

Planul și sfera de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ au curburi principale constante $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ pentru fiecare punct, cu $k=0$ ${\ displaystyle k = 0}$ $k = 0$ in avion $k=1/r$ ${\ displaystyle k = 1 / r}$ ${\ displaystyle k = 1 / r}$ în sfera. Prin urmare, aceste suprafețe au o curbură medie constantă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Sus și cilindru

Planul și cilindrul au amândouă o curbură gaussiană , dar au curburi medii diferite. Planul are o curbură medie zero, în timp ce cilindrul are o rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ are curburi direcționale $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ Și $1/r$ ${\ displaystyle 1 / r}$ ${\ displaystyle 1 / r}$ iar curbura sa medie este deci $1/(2r)$ ${\ displaystyle 1 / (2r)}$ ${\ displaystyle 1 / (2r)}$ .

Laminarea unei foi de hârtie își schimbă forma în spațiu (prin urmare curburile extrinseci, cum ar fi curbura medie), dar curbura Gauss rămâne neschimbată (care depinde de metrica intrinsecă , adică doar de prima formă fundamentală , adică de tensorul metric pe suprafață).

Exemplu punctual

Paraboloidul hiperbolic

f(x,y)=x^{2}-y^{2}

{\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} -y ^ {2}}

{\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} -y ^ {2}}

are curbura medie zero la origine.

Functia

f(x,y)=ax^{2}+by^{2}

{\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + de ^ {2}}

{\ displaystyle f (x, y) = ax ^ {2} + de ^ {2}}

are gradient $(2ax,2by)$ ${\ displaystyle (2ax, 2by)}$ ${\ displaystyle (2ax, 2by)}$ . Gradientul este zero în origine și, prin urmare, curbura medie a graficului $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ este urma lui Hessian. Hessianul este

{\begin{pmatrix}2a&0\\0&2b\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2a și 0 \\ 0 & 2b \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 2a și 0 \\ 0 & 2b \ end {pmatrix}}}

iar urmele sale sunt $2(a+b)$ ${\ displaystyle 2 (a + b)}$ ${\ displaystyle 2 (a + b)}$ . Curbura medie a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ este deci $2(a+b)$ ${\ displaystyle 2 (a + b)}$ ${\ displaystyle 2 (a + b)}$ . De exemplu, acest lucru este nul în prezența unui punct de șa , unde $a+b=0$ ${\ displaystyle a + b = 0}$ ${\ displaystyle a + b = 0}$ .

Cu toate acestea, această metodă de calcul al curburii funcționează numai în $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ , unde gradientul dispare.

Bibliografie

( EN ) Manfredo do Carmo, Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor , 1976, ISBN 0-13-212589-7 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică