Operator Weingarten

În matematică și mai precis în geometria diferențială , operatorul Weingarten este o transformare liniară construită dintr-o suprafață conținută în spațiul tridimensional.

Definiție

De sine $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ este o suprafață netedă și ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ un câmp de versori normali pe această suprafață, forma sau operatorul Weingarten este o hartă liniară într-un punct P :

W_{P}:T(\Sigma )\longrightarrow T(\Sigma )

{\ displaystyle W_ {P}: T (\ Sigma) \ longrightarrow T (\ Sigma)}

{\ displaystyle W_ {P}: T (\ Sigma) \ longrightarrow T (\ Sigma)}

astfel încât un operator este asociat cu fiecare curbă u în punctul P de pe suprafață:

W_{P}(u)=-{\frac {\partial {\hat {n}}}{\partial u}}

{\ displaystyle W_ {P} (u) = - {\ frac {\ partial {\ hat {n}}} {\ partial u}}}

{\ displaystyle W_ {P} (u) = - {\ frac {\ partial {\ hat {n}}} {\ partial u}}}

Este de fapt un endomorfism al planului tangent și este autoadjunct , adică:

W_{P}(u)\cdot v=u\cdot W_{P}(v)

{\ displaystyle W_ {P} (u) \ cdot v = u \ cdot W_ {P} (v)}

{\ displaystyle W_ {P} (u) \ cdot v = u \ cdot W_ {P} (v)}

este deci reprezentată printr-o matrice : invarianții acestei matrice (și deci a operatorului Weingarten) au o semnificație geometrică semnificativă pentru caracteristicile suprafețelor.

Curbura suprafeței

Datorită operatorului Weingarten putem exprima a doua formă diferențială a lui Gauss ca:

II_{G}=W_{P}(u)\cdot v

{\ displaystyle II_ {G} = W_ {P} (u) \ cdot v}

{\ displaystyle II_ {G} = W_ {P} (u) \ cdot v}

În acest moment este posibil să se definească curburile principale ale suprafeței într-un punct P ca valori proprii ale operatorului Weingarten și, în corespondență cu acestea, găsim principalele direcții ale suprafeței care sunt vectorii proprii .

Mai mult, urma operatorului Weingarten este exact curbura medie a suprafeței în acel moment:

H(P)={\frac {1}{2}}\cdot tr(W_{P})

{\ displaystyle H (P) = {\ frac {1} {2}} \ cdot tr (W_ {P})}

{\ displaystyle H (P) = {\ frac {1} {2}} \ cdot tr (W_ {P})}

iar determinantul său este tocmai curbura gaussiană a suprafeței:

K(P)=det(W_{P})=|W_{P}|

{\ displaystyle K (P) = det (W_ {P}) = | W_ {P} |}

{\ displaystyle K (P) = det (W_ {P}) = | W_ {P} |}

Operator formular

Operatorul Weingarten este un operator de formă dat prin definiție:

W_{P}=I_{G}^{-1}\cdot II_{G}

{\ displaystyle W_ {P} = I_ {G} ^ {- 1} \ cdot II_ {G}}

{\ displaystyle W_ {P} = I_ {G} ^ {- 1} \ cdot II_ {G}}

astfel încât problema valorii proprii:

(II_{G}-k\cdot I_{G}){\vec {w}}=0

{\ displaystyle (II_ {G} -k \ cdot I_ {G}) {\ vec {w}} = 0}

{\ displaystyle (II_ {G} -k \ cdot I_ {G}) {\ vec {w}} = 0}

unde este $I_{G}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle I_ {G} = {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle I_ {G} = {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}}$ Și $II_{G}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle II_ {G} = {\ begin {bmatrix} L&M \\ M&N \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle II_ {G} = {\ begin {bmatrix} L&M \\ M&N \ end {bmatrix}}}$ , k este valoarea proprie e ${\vec {w}}$ ${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ $\ vec w$ vectorul propriu corespunzător; are soluții dacă determinantul este anulat: