Geometria diferențială a curbelor

În matematică , geometria diferențială a curbelor utilizează analiza matematică pentru a studia curbele în plan, în spațiu și mai general într-un spațiu euclidian .

Definiții

Definiții de bază

Același subiect în detaliu: Curba (matematică) .

O curbă este o funcție continuă $f\colon I\to \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle f \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle f \ colon I \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ , unde este $I\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ este o gamă de numere reale . De sine $I=[a,b]$ ${\ displaystyle I = [a, b]}$ ${\ displaystyle I = [a, b]}$ , cu $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ ${\ displaystyle a <b}$ , $f(a)$ ${\ displaystyle f (a)}$ ${\ displaystyle f (a)}$ se numește punctul de plecare e $f(b)$ ${\ displaystyle f (b)}$ ${\ displaystyle f (b)}$ punctul final, în timp ce variabila din acest interval este de obicei notată cu litera $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ iar notația este utilizată pentru funcție $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ . În sprijinul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ne referim la imaginea acelei funcții $\operatorname {Im} f$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} f}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} f}$ .

Asuma ca $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție diferențiată suficient de regulată sau o funcție care are derivate continue de un ordin suficient de ridicat; cere, de asemenea, ca prima sa derivată $f'(t)$ ${\ displaystyle f '(t)}$ $f '(t)$ este un vector care nu este niciodată zero pe întregul interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

Lungime și parametrizare

Același subiect în detaliu: Curba în spațiu .

O reparameterizare a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o altă curbă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ astfel încât:

g=f\circ p

{\ displaystyle g = f \ circ p}

g = f \ circ p

unde este $p\colon J\to I$ ${\ displaystyle p \ colon J \ to I}$ $p \ colon J \ to I$ este o bijecție diferențiată cu derivată întotdeauna pozitivă (și deci în creștere ) e $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este un interval de reali cu care ar putea coincide $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . În acest caz curbele $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , deși sunt descrise cu parametrizări diferite, acestea sunt concepute ca echivalente.

Lungimea unei curbe $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe un interval închis $I=[a,b]$ ${\ displaystyle I = [a, b]}$ $I = [a, b]$ este furnizat de:

L(f)=\int _{a}^{b}\vert f'(t)\vert dt

{\ displaystyle L (f) = \ int _ {a} ^ {b} \ vert f '(t) \ vert dt}

{\ displaystyle L (f) = \ int _ {a} ^ {b} \ vert f '(t) \ vert dt}

Lungimea unei curbe nu se modifică dacă este reparameterizată. În plus, este posibil să se definească abscisa curbiliniară ca:

L(t)=\int _{a}^{t}\vert f'(t)\vert dt

{\ displaystyle L (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ vert f '(t) \ vert dt}

{\ displaystyle L (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ vert f '(t) \ vert dt}

Exemplu

Luați în considerare că domeniul de definiție al curbei este de formă $[0,T]$ ${\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ și că un corp punctat $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ parcurge curba în timp ce timpul variabil $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ variază în intervalul de timp de la 0 la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ; de aceea avem un model cinematic al curbei. Lungimea curbei parcurse de corpuscul de la instant 0 la instant $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Și:

s(t)=\int _{0}^{t}\vert f'(u)\vert du

{\ displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ vert f '(u) \ vert du}

{\ displaystyle s (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ vert f '(u) \ vert du}

Funcția în continuă creștere $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ stabilește o bijecție între intervale $[0,T]$ ${\ displaystyle [0, T]}$ $[0, T]$ Și $[0,L]$ ${\ displaystyle [0, L]}$ $[0, L]$ și duce la o reparameterizare a curbei. Scris:

f(t)~=~f_{0}(s(t))

{\ displaystyle f (t) ~ = ~ f_ {0} (s (t))}

f (t) ~ = ~ f_ {0} (s (t))

se realizează așa-numita parametrizare a lungimii arcului $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ a curbei. Această parametrizare, în termeni cinematici, poate fi citită ca mișcarea unui corp asemănător unui punct care trece prin curbă cu o viteză constantă egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ :

\vert f_{0}'(s(t))\vert =1\qquad (\forall t\in I)

{\ displaystyle \ vert f_ {0} '(s (t)) \ vert = 1 \ qquad (\ forall t \ in I)}

\ vert f_ {0} '(s (t)) \ vert = 1 \ qquad (\ forall t \ in I)

Această parametrizare a curbei este singura care are viteza constantă egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Deși este adesea dificil de calculat, este util pentru a demonstra cu ușurință unele teoreme.

Sistem Frenet

Un sistem Frenet este un sistem de referință mobil al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ vectori ortonormali $\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)\,\!$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t) \, \!}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t), \ ldots, \ mathbf {e} _ {n} (t) \, \!}$ dependent de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , util pentru descrierea comportamentului local al curbei în $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ .

Să presupunem că derivatele $f'(t),\ldots ,f^{(n)}(t)\,\!$ ${\ displaystyle f '(t), \ ldots, f ^ {(n)} (t) \, \!}$ ${\ displaystyle f '(t), \ ldots, f ^ {(n)} (t) \, \!}$ formează o bază și, prin urmare, sunt liniar independenți . În acest caz, sistemul Frenet este definit pornind de la această bază prin intermediul procedurii de ortonormalizare Gram-Schmidt .

Curburile generalizate sunt definite ca:

\chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{|f'(t)|}}.

{\ displaystyle \ chi _ {i} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {i} '(t), \ mathbf {e} _ {i + 1} (t) \ rangle} {| f '(t) |}}.}

\ chi _ {i} (t) = {\ frac {\ langle {\ mathbf {e}} _ {i} '(t), {\ mathbf {e}} _ {{i + 1}} (t) \ rangle} {| f '(t) |}}.

Sistemul Frenet și curburile generalizate nu depind de parametrizarea aleasă.

2 dimensiuni

Cercul oscilant

În plan, primul vector Frenet $\mathbf {e} _{1}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ este vectorul tangent ${\hat {\mathbf {T} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ la curba valorii $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ parametrului, în timp ce vectorul $\mathbf {e} _{2}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} (t)}$ , numit vector unitate normal ${\hat {\mathbf {N} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ este vectorul normal a $\mathbf {e} _{1}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ și indică spre centrul cercului (are aceeași direcție ca raza).

Cercul oscilant este cercul tangent la $\mathbf {e} _{1}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} (t)}$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Cercul oscilant aproximează curba în jurul valorii $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ a parametrului „până la ordinea a doua”: adică are aceeași primă și a doua derivată a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în sens. Curbura :

k(t)=\chi _{1}(t)

{\ displaystyle k (t) = \ chi _ {1} (t)}

{\ displaystyle k (t) = \ chi _ {1} (t)}

indică deplasarea curbei de la linia dreaptă tangentă. Reciprocul, corespunzător razei cercului oscilant din $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , se numește raza de curbură :

r(t)={\frac {1}{k(t)}}

{\ displaystyle r (t) = {\ frac {1} {k (t)}}}

{\ displaystyle r (t) = {\ frac {1} {k (t)}}}

De exemplu, un cerc de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ are curbură constantă $k=1/r$ ${\ displaystyle k = 1 / r}$ ${\ displaystyle k = 1 / r}$ , în timp ce o linie dreaptă are curbură zero.

3 dimensiuni

Un sistem Frenet în trei dimensiuni și planul oscilant aferent evidențiat

În spațiul tridimensional, vectorii Frenet sunt numiți triade intrinseci , în timp ce curburile generalizate se numesc curbură și torsiune .

Versor tangent

Versorul tangent ${\hat {\mathbf {T} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}}}$ este primul vector Frenet $\mathbf {e} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}}$ ${\ mathbf e} _ {1}$ , care este definit ca:

{\hat {\mathbf {T} }}=\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {f'(t)}{|f'(t)|}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} = \ mathbf {e} _ {1} (t) = {\ frac {f '(t)} {| f' (t) |}}}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} = \ mathbf {e} _ {1} (t) = {\ frac {f '(t)} {| f' (t) |}}}

Prin urmare, va fi posibilă rescrierea derivatei în funcție de lungimea arcului:

f'(t)=(L)'{\hat {\mathbf {T} }}

{\ displaystyle f '(t) = (L)' {\ hat {\ mathbf {T}}}}

{\ displaystyle f '(t) = (L)' {\ hat {\ mathbf {T}}}}

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este parametrizat în funcție de lungimea arcului, aceasta ia o valoare unitară, astfel încât relația este pur și simplu redusă la

{\hat {\mathbf {T} }}=f'(t)

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} = f '(t)}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} = f '(t)}

Din relațiile anterioare obținem o relație suplimentară între raportul dintre lungimea arcului și unitatea vectorială tangentă, de fapt:

{\frac {\mathrm {d} f'}{\mathrm {d} L}}={\hat {\mathbf {T} }}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f '} {\ mathrm {d} L}} = {\ hat {\ mathbf {T}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f '} {\ mathrm {d} L}} = {\ hat {\ mathbf {T}}}}

Versor normal

Vectorul unitar normal ${\hat {\mathbf {N} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}}}$ este al doilea vector Frenet care măsoară cât diferă curba de o linie dreaptă; este definit ca:

{\hat {\mathbf {N} }}=\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)}{|{\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)|}},\quad {\overline {\mathbf {e} }}_{2}(t)=f''(t)-\langle f''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \ \mathbf {e} _{1}(t)

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}} = \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) } {| {\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) |}}, \ quad {\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) = f '' ( t) - \ langle f '' (t), \ mathbf {e} _ {1} (t) \ rangle \ \ mathbf {e} _ {1} (t)}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {N}}} = \ mathbf {e} _ {2} (t) = {\ frac {{\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) } {| {\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) |}}, \ quad {\ overline {\ mathbf {e}}} _ {2} (t) = f '' ( t) - \ langle f '' (t), \ mathbf {e} _ {1} (t) \ rangle \ \ mathbf {e} _ {1} (t)}

Există o relație care leagă versorul normal de lungimea arcului:

{\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} L}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}f'}{\mathrm {d} L^{2}}}=k(t){\hat {\mathbf {N} }}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {\ mathbf {T}}}} {\ mathrm {d} L}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} f '} {\ mathrm {d} L ^ {2}}} = k (t) {\ hat {\ mathbf {N}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ hat {\ mathbf {T}}}} {\ mathrm {d} L}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} f '} {\ mathrm {d} L ^ {2}}} = k (t) {\ hat {\ mathbf {N}}}}

Vectororii tangenți și normali generează un plan, numit planul osculant al curbei în acest punct $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Versor binormal

Vectorul unitar binormal ${\hat {\mathbf {B} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}}}$ este al treilea vector Frenet $\mathbf {e} _{3}(t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} (t)}$ , care este ortogonală cu planul osculant, definit cu produsul vector pur și simplu ca:

{\hat {\mathbf {B} }}=\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} = \ mathbf {e} _ {3} (t) = \ mathbf {e} _ {1} (t) \ times \ mathbf {e} _ {2 } (t)}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {B}}} = \ mathbf {e} _ {3} (t) = \ mathbf {e} _ {1} (t) \ times \ mathbf {e} _ {2 } (t)}

Curbură și torsiune

Prima curbură generalizată $\chi _{1}(t)$ ${\ displaystyle \ chi _ {1} (t)}$ $\ chi _ {1} (t)$ se numește pur și simplu curbura lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , și este dat de

k(t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{|f^{'}(t)|}}

{\ displaystyle k (t) = \ chi _ {1} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {1} '(t), \ mathbf {e} _ {2} (t) \ rangle} {| f ^ {'} (t) |}}}

{\ displaystyle k (t) = \ chi _ {1} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {1} '(t), \ mathbf {e} _ {2} (t) \ rangle} {| f ^ {'} (t) |}}}

A doua curbură generalizată $\chi _{2}(t)$ ${\ displaystyle \ chi _ {2} (t)}$ $\ chi _ {2} (t)$ se numește torsiune și măsoară cât de departe curba iese din planul osculant.

\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{|f'(t)|}}

{\ displaystyle \ tau (t) = \ chi _ {2} (t) = {\ frac {\ langle \ mathbf {e} _ {2} '(t), \ mathbf {e} _ {3} (t ) \ rangle} {| f '(t) |}}}

\ tau (t) = \ chi _ {2} (t) = {\ frac {\ langle {\ mathbf {e}} _ {2} '(t), {\ mathbf {e}} _ {3} ( t) \ rangle} {| f '(t) |}}

Reciprocitatea curburii la punct $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este raza de curbură $\rho (t)=\left[k(t)\right]^{-1}$ ${\ displaystyle \ rho (t) = \ left [k (t) \ right] ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ rho (t) = \ left [k (t) \ right] ^ {- 1}}$ ; în plus, o curbă are torsiune zero dacă și numai dacă este o curbă plană .

Formule Frenet-Serret

Formulele Frenet-Serret sunt ecuații diferențiale obișnuite de ordinul întâi, a căror soluție este sistemul Frenet care descrie curba. Coeficienții ecuației diferențiale sunt dați de curburile generalizate $\chi _{i}$ ${\ displaystyle \ chi _ {i}}$ $\ chi _ {i}$ .

2 dimensiuni

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&k(t)\\-k(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} 0 & k (t) \\ - k (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} 0 & k (t) \\ - k (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ end {bmatrix}}}

3 dimensiuni

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&k(t)&0\\-k(t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ mathbf {e} _ {3} '( t) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & k (t) & 0 \\ - k (t) & 0 & \ tau (t) \\ 0 & - \ tau (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ mathbf {e} _ {3} (t) \ \\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\ mathbf {e} _ {2}' (t) \\\ mathbf {e} _ {3} '( t) \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & k (t) & 0 \\ - k (t) & 0 & \ tau (t) \\ 0 & - \ tau (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\ mathbf {e} _ {2} (t) \\\ mathbf {e} _ {3} (t) \ \\ end {bmatrix}}}

n dimensiuni (formula generală)

{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\\\vdots \\\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\dots &0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&\dots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\\\vdots \\\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\\\ vdots \\\\\ mathbf {e} _ {n}' (t) \\\ end { bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & \ chi _ {1} (t) & \ dots & 0 \\ - \ chi _ {1} (t) & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & 0 & \ chi _ {n-1} (t) \\ 0 & \ dots & - \ chi _ {n-1} (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\\\ vdots \\\\\ mathbf {e} _ {n} (t) \\\ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} '(t) \\\\\ vdots \\\\\ mathbf {e} _ {n}' (t) \\\ end { bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & \ chi _ {1} (t) & \ dots & 0 \\ - \ chi _ {1} (t) & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & 0 & \ chi _ {n-1} (t) \\ 0 & \ dots & - \ chi _ {n-1} (t) & 0 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ mathbf {e} _ {1} (t) \\\\\ vdots \\\\\ mathbf {e} _ {n} (t) \\\ end {bmatrix}}}

Proprietățile curburilor

Curbele determină curba. În mod formal, dăruiește $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ funcții:

\chi _{i}\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n},\ i=1,\ldots ,n

{\ displaystyle \ chi _ {i} \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}, \ i = 1, \ ldots, n}

\ chi _ {i} \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {n}, \ i = 1, \ ldots, n

suficient de diferențiat, cu:

\chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1

{\ displaystyle \ chi _ {i} (t)> 0 {\ mbox {,}} 1 \ leq i \ leq n-1}

\ chi _ {i} (t)> 0 {\ mbox {,}} 1 \ leq i \ leq n-1

există o singură curbă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ având acele curburi, cu excepția traducerilor și a altor izometrii ale spațiului euclidian.

Descriere prin zone și colțuri

Același subiect în detaliu: Viteza unghiulară și viteza areolară .

În geometria diferențială a curbelor, viteza unghiulară și viteza areolară sunt viteza cu care raza vectorială a unui punct care se deplasează de-a lungul unei curbe mătură un unghi și, respectiv, o suprafață . Cei doi vectori sunt paraleli și au aceeași direcție ca vectorul binormal.

Bibliografie

( EN ) Erwin Kreyszig, Geometrie diferențială , Publicații Dover, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9 . Capitolul II este un tratament clasic al teoriei curbelor în 3 dimensiuni.
E. Cesàro Lecții de geometrie intrinsecă (1896)

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică