Suprafață parametrică

O parametrizare este o aplicație , mai exact o funcție vectorială , $\tau \colon V\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ tau \ colon V \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ tau \ colon V \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ infinit diferențiat în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ deschis și conectat . Pentru $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ Și $m=3$ ${\ displaystyle m = 3}$ ${\ displaystyle m = 3}$ imaginea acestei aplicații este o suprafață parametrizată.

O suprafață parametrică este o suprafață diferențiată reprezentată într-un sistem parametric de coordonate, cum ar fi:

1)\ \Sigma :{\begin{cases}x=\phi (u,v)\\y=\psi (u,v)\\z=\chi (u,v).\end{cases}}

{\ displaystyle 1) \ \ Sigma: {\ begin {cases} x = \ phi (u, v) \\ y = \ psi (u, v) \\ z = \ chi (u, v). \ end { cazuri}}}

{\ displaystyle 1) \ \ Sigma: {\ begin {cases} x = \ phi (u, v) \\ y = \ psi (u, v) \\ z = \ chi (u, v). \ end { cazuri}}}

Se spune că o suprafață este regulată dacă îndeplinește următoarele proprietăți:

$\phi (u,v),\psi (u,v),\chi (u,v)\in C^{1}(A)$ ${\ displaystyle \ phi (u, v), \ psi (u, v), \ chi (u, v) \ în C ^ {1} (A)}$ $\ phi (u, v), \ psi (u, v), \ chi (u, v) \ în C ^ {1} (A)$ , adică trebuie să fie funcții continue cu derivată continuă într-un set deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Matricea Iacobiană ${\frac {\partial (\phi ,\psi ,\chi )}{\partial (u,v)}}={\begin{bmatrix}\phi _{u}&\psi _{u}&\chi _{u}\\\phi _{v}&\psi _{v}&\chi _{v}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial (\ phi, \ psi, \ chi)} {\ partial (u, v)}} = {\ begin {bmatrix} \ phi _ {u} & \ psi _ {u} & \ chi _ {u} \\\ phi _ {v} & \ psi _ {v} & \ chi _ {v} \ end {bmatrix}}}$ ${\ frac {\ partial (\ phi, \ psi, \ chi)} {\ partial (u, v)}} = {\ begin {bmatrix} \ phi _ {u} & \ psi _ {u} & \ chi _ {u} \\\ phi _ {v} & \ psi _ {v} & \ chi _ {v} \ end {bmatrix}}$ , are un rang egal cu doi, adică derivatele nu se anulează niciodată reciproc în același punct. Această proprietate este echivalentă cu faptul că suma pătratelor minorilor de ordinul doi este pozitivă.

Corespondența dintre $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ este injectiv.

Linii coordonate

O suprafață este un obiect bidimensional care trăiește în spațiul tridimensional, din acest motiv punctele suprafeței sunt identificate prin trei variabile: pe măsură ce punctele variază $(u,v)$ ${\ displaystyle (u, v)}$ $(u, v)$ în domeniu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se găsesc punctele spațiului $(x,y,z)$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x, y, z)$ . Variabilele $tu, v$ ${\ displaystyle u, v}$ ${\ displaystyle u, v}$ se numesc parametri coordonați.

Dacă pe domeniu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este considerat un punct $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , două curbe vor trece prin ea: $u(t_{0})=u_{0},v(t_{0})=v_{0}$ ${\ displaystyle u (t_ {0}) = u_ {0}, v (t_ {0}) = v_ {0}}$ $u (t_ {0}) = u_ {0}, v (t_ {0}) = v_ {0}$ . În acest moment de la suprafață va exista un punct:

(x_{0},y_{0},z_{0})=(x(u_{0},v_{0}),y(u_{0},v_{0}),z(u_{0},v_{0})).

{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (x (u_ {0}, v_ {0}), y (u_ {0}, v_ {0}), z (u_ {0}, v_ {0})).}

{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (x (u_ {0}, v_ {0}), y (u_ {0}, v_ {0}), z (u_ {0}, v_ {0})).}

Acesta este:

2)\ {\begin{cases}x=\phi (u_{0},v_{0})\\y=\psi (u_{0},v_{0})\\z=\chi (u_{0},v_{0}).\end{cases}}

{\ displaystyle 2) \ {\ begin {cases} x = \ phi (u_ {0}, v_ {0}) \\ y = \ psi (u_ {0}, v_ {0}) \\ z = \ chi (u_ {0}, v_ {0}). \ end {cases}}}

{\ displaystyle 2) \ {\ begin {cases} x = \ phi (u_ {0}, v_ {0}) \\ y = \ psi (u_ {0}, v_ {0}) \\ z = \ chi (u_ {0}, v_ {0}). \ end {cases}}}

Deci , să se gândească la obtinerea de tangente și normalele la acest punct. Mai întâi stabilim o valoare a parametrilor de coordonată și apoi cealaltă, vom obține o familie de curbe, care se numesc linii de coordonate (care pot fi și ortogonale):

3)\ {\begin{cases}\phi (u,v_{0}),\psi (u,v_{0}),\chi (u,v_{0})\\\phi (u_{0},v),\psi (u_{0},v),\chi (u_{0},v).\end{cases}}

{\ displaystyle 3) \ {\ begin {cases} \ phi (u, v_ {0}), \ psi (u, v_ {0}), \ chi (u, v_ {0}) \\\ phi (u_ {0}, v), \ psi (u_ {0}, v), \ chi (u_ {0}, v). \ End {cases}}}

{\ displaystyle 3) \ {\ begin {cases} \ phi (u, v_ {0}), \ psi (u, v_ {0}), \ chi (u, v_ {0}) \\\ phi (u_ {0}, v), \ psi (u_ {0}, v), \ chi (u_ {0}, v). \ End {cases}}}

Din acestea putem deriva vectorii tangenți care derivă:

4)\ {\begin{cases}{\vec {T}}_{u}=\{\phi _{u}(u,v_{0}),\psi _{u}(u,v_{0}),\chi _{u}(u,v_{0})\}\\{\vec {T}}_{v}=\{\phi _{v}(u_{0},v),\psi _{v}(u_{0},v),\chi _{v}(u_{0},v)\}\end{cases}}

{\ displaystyle 4) \ {\ begin {cases} {\ vec {T}} _ {u} = \ {\ phi _ {u} (u, v_ {0}), \ psi _ {u} (u, v_ {0}), \ chi _ {u} (u, v_ {0}) \} \\ {\ vec {T}} _ {v} = \ {\ phi _ {v} (u_ {0}, v), \ psi _ {v} (u_ {0}, v), \ chi _ {v} (u_ {0}, v) \} \ end {cases}}}

4) \ {\ begin {cases} {\ vec T} _ {u} = \ {\ phi _ {u} (u, v_ {0}), \ psi _ {u} (u, v_ {0}) , \ chi _ {u} (u, v_ {0}) \} \\ {\ vec T} _ {v} = \ {\ phi _ {v} (u_ {0}, v), \ psi _ { v} (u_ {0}, v), \ chi _ {v} (u_ {0}, v) \} \ end {cases}}

și vectori normali:

5)\ {\vec {n}}=\pm {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}.

{\ displaystyle 5) \ {\ vec {n}} = \ pm {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}.}

{\ displaystyle 5) \ {\ vec {n}} = \ pm {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}.}

Se dau versori normali:

6)\ {\hat {n}}=\pm {\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}}{\sqrt {({\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v})^{2}}}}.

{\ displaystyle 6) \ {\ hat {n}} = \ pm {\ frac {{\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}} {\ sqrt {( {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}) ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle 6) \ {\ hat {n}} = \ pm {\ frac {{\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}} {\ sqrt {( {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}) ^ {2}}}}.}

Planul tangent

O suprafață regulată parametrică admite întotdeauna un plan tangent la un punct $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})$ dat de:

7)\ {\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\\phi _{u}(u_{0},v_{0})&\psi _{u}(u_{0},v_{0})&\chi _{u}(u_{0},v_{0})\\\phi _{v}(u_{0},v_{0})&\psi _{v}(u_{0},v_{0})&\chi _{v}(u_{0},v_{0})\end{vmatrix}}=0.

{\ displaystyle 7) \ {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & y-y_ {0} & z-z_ {0} \\\ phi _ {u} (u_ {0}, v_ {0} ) & \ psi _ {u} (u_ {0}, v_ {0}) & \ chi _ {u} (u_ {0}, v_ {0}) \\\ phi _ {v} (u_ {0} , v_ {0}) & \ psi _ {v} (u_ {0}, v_ {0}) & \ chi _ {v} (u_ {0}, v_ {0}) \ end {vmatrix}} = 0 .}

{\ displaystyle 7) \ {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & y-y_ {0} & z-z_ {0} \\\ phi _ {u} (u_ {0}, v_ {0} ) & \ psi _ {u} (u_ {0}, v_ {0}) & \ chi _ {u} (u_ {0}, v_ {0}) \\\ phi _ {v} (u_ {0} , v_ {0}) & \ psi _ {v} (u_ {0}, v_ {0}) & \ chi _ {v} (u_ {0}, v_ {0}) \ end {vmatrix}} = 0 .}

Planul tangent la o suprafață parametrică este un subspațiu vectorial de dimensiunea 2. Acest plan are proprietatea de a conține vectorii tangenți la toate curbele situate pe suprafață și care trec prin punctul considerat.

Ipoteza regularității suprafeței parametrice implică existența unui plan tangent în fiecare punct al suprafeței. Vorbim despre un plan tangent în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ la $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , altfel notat cu $T_{P}S$ ${\ displaystyle T_ {P} S}$ ${\ displaystyle T_ {P} S}$ .

Planul tangent este independent de parametrizarea utilizată.

Prima formă diferențială a lui Gauss

În acest moment putem lua în considerare problema modului în care sunt reprezentate curbele trasate pe suprafață $2)$ ${\ displaystyle 2)}$ ${\ displaystyle 2)}$ , adică calculul ariei unei suprafețe este fundamental pentru proprietățile metrice ale suprafeței. Pentru a face acest lucru, luăm vectorul tangent al planului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , în sens $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ : $u'(t_{0}),v'(t_{0})$ ${\ displaystyle u '(t_ {0}), v' (t_ {0})}$ $u '(t_ {0}), v' (t_ {0})$ . Acestui vector îi corespunde un vector tangent la suprafață $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ :

u'(t_{0})\cdot T_{u}+v'(t_{0})\cdot T_{v}.

{\ displaystyle u '(t_ {0}) \ cdot T_ {u} + v' (t_ {0}) \ cdot T_ {v}.}

{\ displaystyle u '(t_ {0}) \ cdot T_ {u} + v' (t_ {0}) \ cdot T_ {v}.}

Cum schimbați lungimea acestui vector pe suprafață? Construim diferențialul vector:

8)\ ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial u}}du+{\frac {\partial z}{\partial v}}dv\right)^{2}.

{\ displaystyle 8) \ ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial u}} du + { \ frac {\ partial x} {\ partial v}} dv \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial y} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial y} { \ partial v}} dv \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial z} {\ partial v}} dv \ right ) ^ {2}.}

{\ displaystyle 8) \ ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial u}} du + { \ frac {\ partial x} {\ partial v}} dv \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial y} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial y} { \ partial v}} dv \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial u}} du + {\ frac {\ partial z} {\ partial v}} dv \ right ) ^ {2}.}

Acum trebuie să facem pătratele cu înlocuirea: ${\frac {\partial x}{\partial u}}du=\phi _{u}(u,v)du$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} du = \ phi _ {u} (u, v) du}$ ${\ frac {\ partial x} {\ partial u}} du = \ phi _ {u} (u, v) du$ și așa mai departe pentru toate derivatele, obținem prima formă diferențială a lui Gauss:

9)\ ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2},

{\ displaystyle 9) \ ds ^ {2} = Edu ^ {2} + 2Fdudv + Gdv ^ {2},}

{\ displaystyle 9) \ ds ^ {2} = Edu ^ {2} + 2Fdudv + Gdv ^ {2},}

unde este:

$10)\ E=\|T_{u}\|^{2}=\phi _{u}^{2}+\psi _{u}^{2}+\chi _{u}^{2},$ ${\ displaystyle 10) \ E = \ | T_ {u} \ | ^ {2} = \ phi _ {u} ^ {2} + \ psi _ {u} ^ {2} + \ chi _ {u} ^ {2},}$ ${\ displaystyle 10) \ E = \ | T_ {u} \ | ^ {2} = \ phi _ {u} ^ {2} + \ psi _ {u} ^ {2} + \ chi _ {u} ^ {2},}$

$10)\ F=\langle T_{u},T_{v}\rangle =\phi _{u}\cdot \phi _{v}+\psi _{u}\cdot \psi _{v}+\chi _{u}\cdot \chi _{v},$ ${\ displaystyle 10) \ F = \ langle T_ {u}, T_ {v} \ rangle = \ phi _ {u} \ cdot \ phi _ {v} + \ psi _ {u} \ cdot \ psi _ {v } + \ chi _ {u} \ cdot \ chi _ {v},}$ ${\ displaystyle 10) \ F = \ langle T_ {u}, T_ {v} \ rangle = \ phi _ {u} \ cdot \ phi _ {v} + \ psi _ {u} \ cdot \ psi _ {v } + \ chi _ {u} \ cdot \ chi _ {v},}$

$10)\ G=\|T_{v}\|^{2}=\phi _{v}^{2}+\psi _{v}^{2}+\chi _{v}^{2}.$ ${\ displaystyle 10) \ G = \ | T_ {v} \ | ^ {2} = \ phi _ {v} ^ {2} + \ psi _ {v} ^ {2} + \ chi _ {v} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle 10) \ G = \ | T_ {v} \ | ^ {2} = \ phi _ {v} ^ {2} + \ psi _ {v} ^ {2} + \ chi _ {v} ^ {2}.}$

Am fi putut obține același rezultat luând produsul dot : ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}}$ ${\ vec u} \ cdot {\ vec v}$ .

Se numește prima formă fundamentală și este notată cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , restricția asupra produsului punct al $E^{3}$ ${\ displaystyle E ^ {3}}$ ${\ displaystyle E ^ {3}}$ pe $T_{P}S$ ${\ displaystyle T_ {P} S}$ ${\ displaystyle T_ {P} S}$ . Atunci lungimea unui segment de pe suprafață este:

11)\ \mathrm {Lung} (x(u(t_{1}),v(t_{2}))y,z)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {Eu'^{2}+2Fu'v'+Gv'^{2}}}\ dt.

{\ displaystyle 11) \ \ mathrm {Lungime} (x (u (t_ {1}), v (t_ {2})) y, z) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2} } {\ sqrt {Eu '^ {2} + 2Fu'v' + Gv '^ {2}}} \ dt.}

{\ displaystyle 11) \ \ mathrm {Lung} (x (u (t_ {1}), v (t_ {2})) y, z) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2} } {\ sqrt {Eu '^ {2} + 2Fu'v' + Gv '^ {2}}} \ dt.}

Acum ne întrebăm cum se transformă un element de suprafață $d S.$ ${\ displaystyle dS}$ ${\ displaystyle dS}$ :

$12)\ dS=|T_{u}\cdot du\times T_{v}\cdot dv|=|T_{u}\times T_{v}|dudv$ ${\ displaystyle 12) \ dS = | T_ {u} \ cdot du \ times T_ {v} \ cdot dv | = | T_ {u} \ times T_ {v} | dudv}$ $12) \ dS = | T_ {u} \ cdot du \ times T_ {v} \ cdot dv | = | T_ {u} \ times T_ {v} | dudv$

Prin pătratul 12), obținem 10). Deci elementul de suprafață este transformat:

13)\ dS={\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv,

{\ displaystyle 13) \ dS = {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ dudv,}

{\ displaystyle 13) \ dS = {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ dudv,}

unde este $I_{G}=EG-F^{2}$ ${\ displaystyle I_ {G} = EG-F ^ {2}}$ $I_ {G} = EG-F ^ {2}$ este prima formă pătratică a lui Gauss sau prima formă diferențială a lui Gauss.

Din aceasta este posibil să se calculeze aria unei suprafețe:

Area(\Sigma )=\iint _{A}dS=\iint _{A}{\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv

{\ displaystyle Area (\ Sigma) = \ iint _ {A} dS = \ iint _ {A} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ dudv}

Area (\ Sigma) = \ iint _ {{A}} dS = \ iint _ {{A}} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ dudv

și, de asemenea, orice integrală de suprafață:

I=\iint _{A}f(x,y,z)dS=\iint _{A}F(x(u,v),y(u,v),z(u,v)){\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv.

{\ displaystyle I = \ iint _ {A} f (x, y, z) dS = \ iint _ {A} F (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ dudv.}

{\ displaystyle I = \ iint _ {A} f (x, y, z) dS = \ iint _ {A} F (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ dudv.}

Din aceste două ultime observații despre calculul integralelor, vedem că prima formă diferențială a lui Gauss este un factor determinant:

\det {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}=EG-F^{2}

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = EG-F ^ {2}}

{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = EG-F ^ {2}}

și întrucât coeficienții nu sunt altceva decât coeficienții unei metrici la suprafață, atunci această matrice este un tensor metric.

A doua formă diferențială a lui Gauss

A doua formă pătratică este o proprietate intrinsecă a suprafeței și reprezintă proprietățile sale de curbură. Poate fi derivat direct din prima formă diferențială a lui Gauss și din vectorii tangenți și normali.

Așa să fie ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ vectorul unitar normal care poate fi obținut din vectorul normal:

{\vec {n}}=\pm {\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}\Longrightarrow {\hat {n}}=\pm {\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}}{\sqrt {({\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v})^{2}}}}.

{\ displaystyle {\ vec {n}} = \ pm {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v} \ Longrightarrow {\ hat {n}} = \ pm { \ frac {{\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}} {\ sqrt {({\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec { T}} _ {v}) ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle {\ vec {n}} = \ pm {\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v} \ Longrightarrow {\ hat {n}} = \ pm { \ frac {{\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}} {\ sqrt {({\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec { T}} _ {v}) ^ {2}}}}.}

Din prima formă diferențială a lui Gauss:

{\hat {n}}=\pm {\frac {{\vec {T}}_{u}\times {\vec {T}}_{v}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}.

{\ displaystyle {\ hat {n}} = \ pm {\ frac {{\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle {\ hat {n}} = \ pm {\ frac {{\ vec {T}} _ {u} \ times {\ vec {T}} _ {v}} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}.}

Apoi coeficienții celei de-a doua forme diferențiale a lui Gauss:

{\vec {T}}_{uu}\cdot {\hat {n}}=L

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {uu} \ cdot {\ hat {n}} = L}

{\ vec T} _ {{uu}} \ cdot {\ hat n} = L

{\vec {T}}_{uv}\cdot {\hat {n}}=M

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {uv} \ cdot {\ hat {n}} = M}

{\ vec T} _ {{uv}} \ cdot {\ hat n} = M

{\vec {T}}_{vv}\cdot {\hat {n}}=N

{\ displaystyle {\ vec {T}} _ {vv} \ cdot {\ hat {n}} = N}

{\ vec T} _ {{vv}} \ cdot {\ hat n} = N

Din care obținem a doua formă diferențială (sau pătratică) a lui Gauss:

II_{G}=L(du)^{2}+2Mdudv+N(dv)^{2}.

{\ displaystyle II_ {G} = L (du) ^ {2} + 2Mdudv + N (dv) ^ {2}.}

{\ displaystyle II_ {G} = L (du) ^ {2} + 2Mdudv + N (dv) ^ {2}.}

Deci, le putem face explicite:

L={\frac {\begin{vmatrix}x_{uu}&x_{u}&x_{v}\\y_{uu}&y_{u}&y_{v}\\z_{uu}&z_{u}&z_{v}\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}

{\ displaystyle L = {\ frac {\ begin {vmatrix} x_ {uu} & x_ {u} & x_ {v} \\ y_ {uu} & y_ {u} & y_ {v} \\ z_ {uu} & z_ {u} & z_ {v} \ end {vmatrix}} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}}

L = {\ frac {{\ begin {vmatrix} x _ {{uu}} & x_ {u} & x_ {v} \\ y _ {{uu}} & y_ {u} & y_ {v} \\ z _ {{uu}} & z_ {u} & z_ {v} \ end {vmatrix}}} {{\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}}

M={\frac {\begin{vmatrix}x_{uv}&x_{u}&x_{v}\\y_{uv}&y_{u}&y_{v}\\z_{uv}&z_{u}&z_{v}\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}

{\ displaystyle M = {\ frac {\ begin {vmatrix} x_ {uv} & x_ {u} & x_ {v} \\ y_ {uv} & y_ {u} & y_ {v} \\ z_ {uv} & z_ {u} & z_ {v} \ end {vmatrix}} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}}

M = {\ frac {{\ begin {vmatrix} x _ {{uv}} & x_ {u} & x_ {v} \\ y _ {{uv}} & y_ {u} & y_ {v} \\ z _ {{uv}} & z_ {u} & z_ {v} \ end {vmatrix}}} {{\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}}

N={\frac {\begin{vmatrix}x_{vv}&x_{u}&x_{v}\\y_{vv}&y_{u}&y_{v}\\z_{vv}&z_{u}&z_{v}\end{vmatrix}}{\sqrt {EG-F^{2}}}}.

{\ displaystyle N = {\ frac {\ begin {vmatrix} x_ {vv} & x_ {u} & x_ {v} \\ y_ {vv} & y_ {u} & y_ {v} \\ z_ {vv} & z_ {u} & z_ {v} \ end {vmatrix}} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}.}

{\ displaystyle N = {\ frac {\ begin {vmatrix} x_ {vv} & x_ {u} & x_ {v} \\ y_ {vv} & y_ {u} & y_ {v} \\ z_ {vv} & z_ {u} & z_ {v} \ end {vmatrix}} {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}.}

Curburi normale

Se numește curbura normală a suprafeței $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ intr-un loc $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în direcția liniei $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ și linia $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ respectiv, funcția:

k(P,u)=I\!I_{G}\left({\frac {u}{\|u\|}},{\frac {u}{\|u\|}}\right)

{\ displaystyle k (P, u) = I \! I_ {G} \ left ({\ frac {u} {\ | u \ |}}, {\ frac {u} {\ | u \ |}} \ dreapta)}

k (P, u) = I \! I_ {G} \ left ({\ frac {u} {\ | u \ |}}, {\ frac {u} {\ | u \ |}} \ right)

k(P,v)=I\!I_{G}\left({\frac {v}{\|v\|}},{\frac {v}{\|v\|}}\right).

{\ displaystyle k (P, v) = I \! I_ {G} \ left ({\ frac {v} {\ | v \ |}}, {\ frac {v} {\ | v \ |}} \ dreapta).}

{\ displaystyle k (P, v) = I \! I_ {G} \ left ({\ frac {v} {\ | v \ |}}, {\ frac {v} {\ | v \ |}} \ dreapta).}

Curburile principale și curbura Gaussiană

Același subiect în detaliu: Operator Weingarten .

Cele două valori, maximă și minimă, ale curburii normale corespunzătoare celor două direcții ale planului tangent (urmând cele două versoare normale) se numesc curburi principale. Indicând cu $k_{1}(P),k_{2}(P)$ ${\ displaystyle k_ {1} (P), k_ {2} (P)}$ $k_ {1} (P), k_ {2} (P)$ principalele curburi ale unei suprafețe într-un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , atunci se numește curbură gaussiană sau curbură totală:

K(P)=k_{1}(P)\ k_{2}(P)

{\ displaystyle K (P) = k_ {1} (P) \ k_ {2} (P)}

K (P) = k_ {1} (P) \ k_ {2} (P)

și definim și curbura medie:

H(P)={\frac {k_{1}(P)+k_{2}(P)}{2}}.

{\ displaystyle H (P) = {\ frac {k_ {1} (P) + k_ {2} (P)} {2}}.}

{\ displaystyle H (P) = {\ frac {k_ {1} (P) + k_ {2} (P)} {2}}.}

În ceea ce privește curbura Gaussiană, este în general dificil să se găsească cele două direcții conform cărora curburile principale sunt valori maxime și minime. Criteriul este oferit de utilizarea operatorului Weingarten .

Urmări

Din formele diferențiale ale lui Gauss putem obține o mulțime de informații despre caracteristicile geometrice ale suprafețelor parametrice:

Curbura curbelor de pe suprafață rezultă din teorema Meusnier și operatorul Weingarten .
Curbura suprafeței urmează din teorema lui Gauss egregium .
Teorema lui Dupin .

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 4129864-0

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică