Teorema lui Wigner

Teorema lui Wigner este o teoremă, formulată și demonstrată pentru prima dată de fizicianul-matematician maghiar Eugene Paul Wigner la Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektrum ( 1931 ), care stabilește că pentru fiecare transformare a simetriei din spațiul Hilbert de acolo este un operator unitar sau antiunitar, determinat numai până la un factor de fază.

Introducere

Invarianții joacă un rol foarte important în fizică , fiind acele cantități care, indiferent de sistemul de referință observat, rămân neschimbate. Odată cu apariția fizicii cuantice , importanța lor a crescut, de asemenea, în special în formularea unei teorii relativiste a câmpului cuantic. În acest context, unul dintre cele mai importante instrumente în studiul invarianților este teorema lui Wigner, un instrument de importanță fundamentală pentru întreaga dezvoltare a teoriei cuantice.

În special, Wigner a fost interesat de determinarea proprietăților transformărilor care păstrează probabilitatea de tranziție între două stări cuantice diferite. El, de fapt, postează ${\bar {\phi }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}}}$ funcția de undă pentru al doilea observator, unde primul observă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , presupune că egalitatea

|\langle \psi |\phi \rangle |=|\langle {\bar {\psi }}|{\bar {\phi }}\rangle |

{\ displaystyle | \ langle \ psi | \ phi \ rangle | = | \ langle {\ bar {\ psi}} | {\ bar {\ phi}} \ rangle |}

{\ displaystyle | \ langle \ psi | \ phi \ rangle | = | \ langle {\ bar {\ psi}} | {\ bar {\ phi}} \ rangle |}

trebuie să se aplice tuturor funcțiilor $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . În cele din urmă, fără a lua în considerare transformările care implică o inversare a timpului, constatăm că operatorul $\operatorname {O} _{R}$ ${\ displaystyle \ operatorname {O} _ {R}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {O} _ {R}}$ , astfel încât ${\bar {\phi }}=O_{R}\phi$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} = O_ {R} \ phi}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}} = O_ {R} \ phi}$ , trebuie să fie unitar și, prin urmare, liniar . Ulterior s-a arătat că, având în vedere toate posibilitățile, operatorul poate fi și anti-unitar și, prin urmare, anti- liniar . Consecința acestui fapt este că ambele descrieri ale celor doi observatori sunt, din punct de vedere fizic, absolut echivalente. În practică, așa cum am menționat, unde primul observă $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , al doilea va observa ${\bar {\phi }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ phi}}}$ , în timp ce operatorul $\operatorname {H}$ ${\ displaystyle \ operatorname {H}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {H}}$ din primul va fi, pentru al doilea $\operatorname {O} _{R}\operatorname {H} {\operatorname {O} _{R}}^{-1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {O} _ {R} \ operatorname {H} {\ operatorname {O} _ {R}} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {O} _ {R} \ operatorname {H} {\ operatorname {O} _ {R}} ^ {- 1}}$ .

Evident, toate acestea implică conceptul de transformare a simetriei , adică o transformare a coordonatelor unui anumit sistem fizic în coordonatele unui alt sistem de referință . Prin urmare, în cursul acestui articol vom defini mai întâi razele vectorilor și apoi vom da o definiție a transformării simetriei și, în final, o afirmație formală a teoremei lui Wigner.

Razele vectorilor

Este ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ un spațiu Hilbert complex cu vectori $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ , ... Produsul intern $\langle \psi |\varphi \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ psi | \ varphi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ psi | \ varphi \ rangle}$ a doi vectori $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ , $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ are simetrie hermitiană , adică

\langle \psi |\varphi \rangle ={\overline {\langle \varphi |\psi \rangle }}

{\ displaystyle \ langle \ psi | \ varphi \ rangle = {\ overline {\ langle \ varphi | \ psi \ rangle}}}

{\ displaystyle \ langle \ psi | \ varphi \ rangle = {\ overline {\ langle \ varphi | \ psi \ rangle}}}

Prin raza , sau mai precis raza vectorilor , definim setul tuturor vectorilor formei $\tau |\psi _{0}\rangle$ ${\ displaystyle \ tau | \ psi _ {0} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ tau | \ psi _ {0} \ rangle}$ , unde este $|\psi _{0}\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {0} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {0} \ rangle}$ este un vector fixat în ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ Și $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ un scalar de modul 1 . De sine $|\psi _{0}\rangle$ ${\ displaystyle | \ psi _ {0} \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {0} \ rangle}$ este un vector unitar, de asemenea, raza ${\mathcal {R}}_{\psi _{0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {0}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {0}}}$ se va numi unitar.

{\mathcal {R}}_{\psi _{0}}=\{|\psi \rangle \;{\rm {t.c.}}\;|\psi \rangle =\tau |\psi _{0}\rangle ,\;|\tau |=1\}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {0}} = \ {| \ psi \ rangle \; {\ rm {tc}} \; | \ psi \ rangle = \ tau | \ psi _ {0} \ rangle, \; | \ tau | = 1 \}}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {0}} = \ {| \ psi \ rangle \; {\ rm {tc}} \; | \ psi \ rangle = \ tau | \ psi _ {0} \ rangle, \; | \ tau | = 1 \}}

Deoarece există o corespondență 1-la-1 între stările cuantice și razele vectoriale, vom vorbi despre probabilitățile de tranziție , sau mai general despre probabilitățile dintre raze în loc de cea dintre stările cuantice.

Prin urmare, luând orice rază ${\mathcal {R}}_{\psi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ , un vector $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ aparținând acestuia se va numi reprezentant al razei ${\mathcal {R}}_{\psi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ . Probabilitatea de tranziție dintr-un stat ${\mathcal {R}}_{\psi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ catre unul ${\mathcal {R}}_{\varphi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}$ echivalentă cu $|\langle \psi |\varphi \rangle |^{2}$ ${\ displaystyle | \ langle \ psi | \ varphi \ rangle | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | \ langle \ psi | \ varphi \ rangle | ^ {2}}$ , unde este $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ Și $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ sunt reprezentanți ai respectiv ${\mathcal {R}}_{\psi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ Și ${\mathcal {R}}_{\varphi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}$ . Aceasta sugerează următoarea definiție pentru produsul a două raze:

{\mathcal {R}}_{\psi }\cdot {\mathcal {R}}_{\varphi }=|\langle \psi |\varphi \rangle |,\qquad {\rm {con}}\;|\psi \rangle \in {\mathcal {R}}_{\psi },\,|\varphi \rangle \in {\mathcal {R}}_{\varphi }

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {\ varphi} = | \ langle \ psi | \ varphi \ rangle |, \ qquad {\ rm {con} } \; | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} _ {\ psi}, \, | \ varphi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {\ varphi} = | \ langle \ psi | \ varphi \ rangle |, \ qquad {\ rm {con} } \; | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} _ {\ psi}, \, | \ varphi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}

care este independent de alegerea reprezentanților $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ Și $|\varphi \rangle$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$ : o rază ${\mathcal {R}}_{\psi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ de fapt, este determinat exclusiv de unul dintre reprezentanții săi.

Mai mult, prin norma de rază definim:

|{\mathcal {R}}_{\psi }|=({\mathcal {R}}_{\psi }\cdot {\mathcal {R}}_{\psi })^{\frac {1}{2}}=\||\psi \rangle \|

{\ displaystyle | {\ mathcal {R}} _ {\ psi} | = ({\ mathcal {R}} _ {\ psi} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {\ psi}) ^ {\ frac {1} {2}} = \ || \ psi \ rangle \ |}

{\ displaystyle | {\ mathcal {R}} _ {\ psi} | = ({\ mathcal {R}} _ {\ psi} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {\ psi}) ^ {\ frac {1} {2}} = \ || \ psi \ rangle \ |}

în timp ce definim distanța dintre raze , expresia:

d({\mathcal {R}}_{\psi },{\mathcal {R}}_{\varphi })={\sqrt {2(1-{\mathcal {R}}_{\psi }\cdot {\mathcal {R}}_{\varphi })}}

{\ displaystyle d ({\ mathcal {R}} _ {\ psi}, {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}) = {\ sqrt {2 (1 - {\ mathcal {R}} _ {\ psi} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {\ varphi})}}}

{\ displaystyle d ({\ mathcal {R}} _ {\ psi}, {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}) = {\ sqrt {2 (1 - {\ mathcal {R}} _ {\ psi} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {\ varphi})}}}

Proprietate

Produsul razelor ${\mathcal {R}}_{\psi }\cdot {\mathcal {R}}_{\varphi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}$ este continuă în ambii factori în raport cu metrica $d({\mathcal {R}}_{\psi },{\mathcal {R}}_{\varphi })$ ${\ displaystyle d ({\ mathcal {R}} _ {\ psi}, {\ mathcal {R}} _ {\ varphi})}$ ${\ displaystyle d ({\ mathcal {R}} _ {\ psi}, {\ mathcal {R}} _ {\ varphi})}$ .
Pentru scalari reali negativi $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ :

{\mathcal {R}}_{\rho \psi }=\{\rho |\psi \rangle \},\;{\rm {con}}\;|\psi \rangle \in {\mathcal {R}}_{\psi }

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ rho \ psi} = \ {\ rho | \ psi \ rangle \}, \; {\ rm {with}} \; | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ rho \ psi} = \ {\ rho | \ psi \ rangle \}, \; {\ rm {with}} \; | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}

În general fiecare rază ${\mathcal {R}}_{\psi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ poate fi exprimat sub forma:

{\mathcal {R}}_{\psi }=\rho {\mathcal {R}}_{e},\qquad {\rm {con}}\;|{\mathcal {R}}_{e}|=1,\;\rho \geqslant 0

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi} = \ rho {\ mathcal {R}} _ {e}, \ qquad {\ rm {con}} \; | {\ mathcal {R}} _ {e} | = 1, \; \ rho \ geqslant 0}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi} = \ rho {\ mathcal {R}} _ {e}, \ qquad {\ rm {con}} \; | {\ mathcal {R}} _ {e} | = 1, \; \ rho \ geqslant 0}

$n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ raze ${\mathcal {R}}_{\psi _{1}},\ldots ,{\mathcal {R}}_{\psi _{n}},{\mathcal {R}}_{\psi _{n+1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {1}}, \ ldots, {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {n}}, {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {n + 1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {1}}, \ ldots, {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {n}}, {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {n + 1}}}$ sunt independenți dacă primii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ raze ${\mathcal {R}}_{\psi _{1}},\ldots ,{\mathcal {R}}_{\psi _{n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {1}}, \ ldots, {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {n}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {1}}, \ ldots, {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {n}}}$ sunt independenți și dacă există o rază ${\mathcal {R}}_{\varphi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ varphi}}$ care este ortogonală cu cea dintâi $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și nu ortogonală la ${\mathcal {R}}_{\psi _{n+1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {n + 1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi _ {n + 1}}}$ .

Transformări de simetrie

Folosind conceptul de rază a vectorilor, pentru transformarea simetriei $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ vom defini o corespondență între razele unitare ${\mathcal {R}}_{e_{1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e_ {1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e_ {1}}}$ , ${\mathcal {R}}_{e_{2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e_ {2}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e_ {2}}}$ , ... al spațiului Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ iar razele unitare ${\mathcal {R}}_{e'_{1}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e '_ {1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e '_ {1}}}$ , ${\mathcal {R}}_{e'_{2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e '_ {2}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e '_ {2}}}$ , ... al spațiului Hilbert ${\mathcal {H}}'$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} '}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} '}$ astfel încât următoarele proprietăți să fie îndeplinite:

$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este definit pentru fiecare unitate de rază ${\mathcal {R}}_{e}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e}}$ în ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ , cu ${\mathcal {R}}_{e'}=T{\mathcal {R}}_{e}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e '} = T {\ mathcal {R}} _ {e}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e '} = T {\ mathcal {R}} _ {e}}$ este o rază unitară de ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ ;
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ păstrează probabilitatea:

|\langle e_{1}|e_{2}\rangle |^{2}=|\langle e'_{1}|e'_{2}\rangle |^{2}

{\ displaystyle | \ langle e_ {1} | e_ {2} \ rangle | ^ {2} = | \ langle e '_ {1} | e' _ {2} \ rangle | ^ {2}}

{\ displaystyle | \ langle e_ {1} | e_ {2} \ rangle | ^ {2} = | \ langle e '_ {1} | e' _ {2} \ rangle | ^ {2}}

care în notare pe raze poate fi scris mai simplu ca

{\mathcal {R}}_{e'_{1}}\cdot {\mathcal {R}}_{e'_{2}}={\mathcal {R}}_{e_{1}}\cdot {\mathcal {R}}_{e_{2}}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e '_ {1}} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {e' _ {2}} = {\ mathcal {R}} _ {e_ {1 }} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {e_ {2}}}

{\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {e '_ {1}} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {e' _ {2}} = {\ mathcal {R}} _ {e_ {1 }} \ cdot {\ mathcal {R}} _ {e_ {2}}}

Teorema lui Wigner: enunț

Pentru fiecare transformare de simetrie $T:{\mathcal {R}}\rightarrow {\mathcal {R}}$ ${\ displaystyle T: {\ mathcal {R}} \ rightarrow {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle T: {\ mathcal {R}} \ rightarrow {\ mathcal {R}}}$ între razele unui spațiu Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ și astfel încât să păstrăm probabilitatea de tranziție , putem defini un operator $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pe spațiul Hilbert ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ astfel încât, dacă $|\psi \rangle \in {\mathcal {R}}_{\psi }$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ , asa de $U|\psi \rangle \in {\mathcal {R}}'_{\psi }$ ${\ displaystyle U | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} '_ {\ psi}}$ ${\ displaystyle U | \ psi \ rangle \ in {\ mathcal {R}} '_ {\ psi}}$ , cu ${\mathcal {R}}_{\psi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ raza statului $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ , ${\mathcal {R}}'_{\psi }=T{\mathcal {R}}_{\psi }$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} '_ {\ psi} = T {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} '_ {\ psi} = T {\ mathcal {R}} _ {\ psi}}$ si cu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ unitar și liniar :

\langle U\psi |U\varphi \rangle =\langle \psi |\varphi \rangle ,\qquad U|\alpha \psi +\beta \varphi \rangle =\alpha U|\psi \rangle +\beta U|\varphi \rangle

{\ displaystyle \ langle U \ psi | U \ varphi \ rangle = \ langle \ psi | \ varphi \ rangle, \ qquad U | \ alpha \ psi + \ beta \ varphi \ rangle = \ alpha U | \ psi \ rangle + \ beta U | \ varphi \ rangle}

{\ displaystyle \ langle U \ psi | U \ varphi \ rangle = \ langle \ psi | \ varphi \ rangle, \ qquad U | \ alpha \ psi + \ beta \ varphi \ rangle = \ alpha U | \ psi \ rangle + \ beta U | \ varphi \ rangle}

sau cu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ anti-unitar și anti liniar:

\langle U\psi |U\varphi \rangle =\langle \varphi |\psi \rangle ,\qquad U|\alpha \psi +\beta \varphi \rangle =\alpha ^{*}U|\psi \rangle +\beta ^{*}U|\varphi \rangle

{\ displaystyle \ langle U \ psi | U \ varphi \ rangle = \ langle \ varphi | \ psi \ rangle, \ qquad U | \ alpha \ psi + \ beta \ varphi \ rangle = \ alpha ^ {*} U | \ psi \ rangle + \ beta ^ {*} U | \ varphi \ rangle}

{\ displaystyle \ langle U \ psi | U \ varphi \ rangle = \ langle \ varphi | \ psi \ rangle, \ qquad U | \ alpha \ psi + \ beta \ varphi \ rangle = \ alpha ^ {*} U | \ psi \ rangle + \ beta ^ {*} U | \ varphi \ rangle}

În plus $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ se determină doar până la un factor de fază.

Una dintre cele mai importante implicații ale teoremei lui Wigner este deci cea dată de un grup de simetrie $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , reprezentările sale vor fi reprezentări proiective , adică aplicații care asociază fiecărui element al grupului o rază de operatori unitari, înțeleasă ca un set de operatori unitari care diferă între ei printr-un factor de fază.

Bibliografie

EPWigner, Theory Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra , Academic Press Inc., New York, 1959
U. Uhlhorn , Reprezentarea transformărilor de simetrie în mecanica cuantică , Arkiv f¨or Fysik, 23 , n.30 (1963), p. 307
V.Bargmann , Nota teoremei lui Wigner privind operațiile de simetrie , Journal of Mathematical Physics, vol. 5 , nr.7 (1964), pagina 862
S.Weinberg , Teoria cuantică a câmpurilor , vol. 1, Universitatea Cambridge Press, 1995
Set de probleme 10 : teorema de reprezentare a simetriei lui Wigner (pdf), din cursul teoretic relativ relativist al câmpului cuantic al MIT
Mouchet, Amaury. „O dovadă alternativă a teoremei lui Wigner asupra transformărilor cuantice bazate pe analiza elementară complexă”. Physics Letters A 377 (2013) 2709-2711. hal.archives-ouvertes.fr:hal-00807644

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica