Teorema lui Zsigmondy

În numărul teoretic , teorema Zsigmondy lui, numit după Karl Zsigmondy, afirmă că , dacă a> b> 0 sunt nter prime între ele , atunci pentru fiecare număr întreg n ≥ 1, există un număr prim p (numit prim împărțitorul primitiv) , care împarte un ⁿ - b ⁿ , dar nu împarte a ^k - b ^k pentru toate numerele întregi pozitive k < n , cu următoarele excepții:

n = 1, a - b = 1; a ⁿ - b ⁿ = 1 care nu are divizori primi
n = 2, cu a + b fiind puterea a două ; deoarece a² - b² = (a + b) (a ¹ - b ¹ ) și fiind a - b divizibil cu 2, a² - b² nu poate conține divizori primi în afară de a - b
n = 6, a = 2, b = 1; deoarece a ⁶ - b ⁶ = 63 = 3²7

Această teoremă o generalizează pe cea a lui Bang, care afirmă că dacă n > 1 și n nu este egal cu 6, atunci 2 ⁿ - 1 are un divizor prim care nu împarte 2 ^k - 1 pentru fiecare k < n .

În mod similar, un ⁿ + b ⁿ are cel puțin un divizor primitiv primit cu excepția 2 ³ + 1 ³ = 9.

Teorema lui Zsigmondy este adesea utilă, în special în teoria grupurilor, pentru a demonstra că diferite grupuri au ordine distincte, cu excepția cazului în care se știe că sunt aceleași. ^[1]

Istorie

Teorema a fost descoperită de Zsigmondy în timp ce lucra la Viena din 1895 până în 1925

Generalizări

Este $(a_{n})_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ o secvență de numere întregi altele decât 0. Mulțimea Zsigmondy asociată cu secvența este mulțimea

${\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:p\not \in a_{n}\}.$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) = \ {n \ geq 1: p \ not \ in a_ {n} \}.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) = \ {n \ geq 1: p \ not \ in a_ {n} \}.}$

Asta e tot $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ care nu conțin $p$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ (divizori primi primitivi) pentru $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ .

Adică setul de indici $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât orice divizare cu un număr prim de $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ divizează, de asemenea $a_{m}$ ${\ displaystyle a_ {m}}$ ${\ displaystyle a_ {m}}$ pentru $m<n$ ${\ displaystyle m <n}$ $m <n$ . Astfel, teorema lui Zsigmondy implică faptul că ${\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a ^ {n} -b ^ {n}) \ subset \ {1,2,6 \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a ^ {n} -b ^ {n}) \ subset \ {1,2,6 \}}$ , iar teorema lui Carmichael afirmă că setul Zsigmondy al secvenței Fibonacci este $\{1,2,6,12\}$ ${\ displaystyle \ {1,2,6,12 \}}$ ${\ displaystyle \ {1,2,6,12 \}}$ , iar cea a succesiunii Pell este $\{1\}$ ${\ displaystyle \ {1 \}}$ ${\ displaystyle \ {1 \}}$ . În 2001, Bilu, Hanrot și Voutier ^{[2] au} demonstrat că, în general, dacă $(a_{n})_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ atunci este o secvență a lui Lucas sau o succesiune a lui Lehmer ${\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) \ subseteq \ {1 \ leq n \ leq 30 \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (a_ {n}) \ subseteq \ {1 \ leq n \ leq 30 \}}$ . Secvențele lui Lucas și Lehmer sunt exemple de secvențe de divizibilitate .

Se mai știe că dacă $(W_{n})_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle (W_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (W_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ este o secvență eliptică de divizibilitate , apoi mulțimea Zsigmondy ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (W_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (W_ {n})}$ s-a terminat. ^[3] Cu toate acestea, rezultatul este ineficient, în sensul că dovada oferă o limită superioară explicită pentru cel mai mare element din ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (W_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (W_ {n})}$ , deși este posibil să se dea o limită superioară efectivă pentru numărul de elemente din ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (W_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} (W_ {n})}$ . ^[4]

Numerele lui Mersenne

Un caz specific al teoremei are în vedere $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ -alea ediție a Mersenne $M_{r}=2^{r}-1$ ${\ displaystyle M_ {r} = 2 ^ {r} -1}$ ${\ displaystyle M_ {r} = 2 ^ {r} -1}$ , deci fiecare număr $M_{2}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$ $M_ {2}$ , $M_{3}$ ${\ displaystyle M_ {3}}$ $M_ {3}$ , $M_{4}$ ${\ displaystyle M_ {4}}$ $M_ {4}$ , ... are un număr prim în factorizare care nu este prezent în factorizarea unui element anterior al secvenței, cu excepția $M_{6}$ ${\ displaystyle M_ {6}}$ ${\ displaystyle M_ {6}}$ . De exemplu $M_{1}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$ $M_ {1}$ , $M_{2}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$ $M_ {2}$ , $M_{3}$ ${\ displaystyle M_ {3}}$ $M_ {3}$ , ... au factorii 3, 7, 5, 31, (1), 127, 17, 73, 11, 23 (89), ... care nu apar înainte $M_{n}$ ${\ displaystyle M_ {n}}$ $M_n$ . Acești factori sunt numiți uneori numere Zsigmondy ${\mathcal {Z}}_{s}(n,2,1)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {s} (n, 2,1)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {s} (n, 2,1)}$ .

Notă

^ E.Artin, Ordinele grupurilor liniare , în Comunicări despre matematică pură și aplicată , vol. 8, nr. 3.
^ Y. Bilu, G. Hanrot, PM Voutier, Existența divizorilor primitivi ai numerelor Lucas și Lehmer, J. Reine Angew. Matematica. 539 (2001), 75-122
^ JH Silverman, criteriul lui Wieferich și abc -conjectura, J. Number Theory 30 (1988), 226-237
^ P. Ingram, JH Silverman, Estimări uniforme pentru divizorii primitivi în secvențe de divizibilitate eliptice, teoria numerelor, analiză și 'geometrie , Springer-Verlag, 2010, 233-263.

Bibliografie

K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste , în Journal Monatshefte für Mathematik , vol. 3, nr. 1.
Th. Schmid, Karl Zsigmondy , în Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , vol. 36.
Moshe Roitman, On Zsigmondy Primes , în Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 125, nr. 7.
Walter Feit, On Large Zsigmondy Primes , în Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 102, nr. 1.
Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward, Secvențe de recurență , Providence, RI , American Mathematical Society, 2003, pp. 103-104, ISBN 0-8218-3387-1 .
Ribenboim, P, Cartea mică a primelor mari , New York, Springer-Verlag, 1991, p. 27 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Teorema lui Zsigmondy , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] E.Artin, Ordinele grupurilor liniare , în Comunicări despre matematică pură și aplicată , vol. 8, nr. 3.

[2] Y. Bilu, G. Hanrot, PM Voutier, Existența divizorilor primitivi ai numerelor Lucas și Lehmer, J. Reine Angew. Matematica. 539 (2001), 75-122

[3] JH Silverman, criteriul lui Wieferich și abc -conjectura, J. Number Theory 30 (1988), 226-237

[4] P. Ingram, JH Silverman, Estimări uniforme pentru divizorii primitivi în secvențe de divizibilitate eliptice, teoria numerelor, analiză și 'geometrie , Springer-Verlag, 2010, 233-263.

[1]

[2] au

[3]

[4]