Teoria mulțimilor Tarski-Grothendieck

Teoria mulțimilor Tarski-Grothendieck ( TG ) este o teorie axiomatică a mulțimilor numită după matematicienii Alfred Tarski și Alexander Grothendieck . Se caracterizează prin Axioma Tarski și este o extensie neconservatoare a teoriei mulțimilor lui Zermelo - Fraenkel .

Axiome

Primele axiome ale lui TG sunt aceleași ca și omologii lor ZF:

Cuantificatorii logici variază numai pe seturi; Orice este un set (aceeași ontologie ca ZFC ).
Axioma extensionalității : două seturi sunt identice dacă și numai dacă au aceleași elemente.
Axioma setului gol : Există un set din care niciun alt set nu este un element.
Axioma regularității : Niciun set nu este un element în sine și lanțurile circulare de apartenență nu sunt posibile.
Axioma de înlocuire : imaginea unei funcții este un set.

După cum sa spus deja, axioma care caracterizează teoria este următoarea:

Axioma lui Tarski (adaptare din Tarski 1939 ^[1] ): Pentru fiecare set $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ există un set ${\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ mathcal {U}}$ astfel încât

$x\in {\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {U}}}$ .
Pentru fiecare $y\in {\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle y \ in {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle y \ in {\ mathcal {U}}}$ fiecare subset de $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este un element al ${\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ mathcal {U}}$ .
Pentru fiecare $y\in {\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle y \ in {\ mathcal {U}}}$ ${\ displaystyle y \ in {\ mathcal {U}}}$ ansamblul părților din $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este un element al ${\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ mathcal {U}}$ .
Fiecare subset de ${\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ mathcal {U}}$ a cărei cardinalitate este mai mică decât cea a ${\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ mathcal {U}}$ este un element al ${\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ mathcal {U}}$ .

Aceasta din urmă implică axioma cuplului , axioma puterii setate , axioma uniunii , axioma infinitului și axioma alegerii ^[2] ^[3] ; prin urmare, face TG mult mai puternic decât ZFC.

Blass, Andreas, Dimitriou, IM și Löwe, Benedikt (2007) „ Cardinali inaccesibili fără axioma alegerii ” , Fundamenta Mathematicae 194: 179-89.
( FR ) Nicolas Bourbaki , Univers , în Michael Artin , Alexandre Grothendieck , Jean-Louis Verdier , eds. (editat de), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Note de curs în matematică 269 ) , Berlin; New York, Springer-Verlag , 1972, pp. 185-217. Adus la 24 ianuarie 2012 (arhivat din original la 26 august 2003) .
Patrick Suppes (1960) Teoria setului axiomatic . Van Nostrand. Reeditare Dover, 1972.
Alfred Tarski ,Über unerreichbare Kardinalzahlen ( PDF ), în Fundamenta Mathematicae , vol. 30, 1938, pp. 68–89.
Alfred Tarski ,Despre subseturile bine ordonate ale oricărui set ( PDF ), în Fundamenta Mathematicae , vol. 32, 1939, pp. 176–183.

Trybulec, Andrzej, 1989, „ Tarski - Grothendieck Set Theory ”, Jurnalul de matematică formalizată .
Metamath : „ Pagina de pornire Proof Explorer ” . Derulați în jos la „Axioma lui Grothendieck”.
PlanetMath : „ Axioma lui Tarski ”