Universul Grothendieck

În matematică , în special în teoria axiomatică a mulțimilor , un univers Grothendieck este un set U astfel încât:

Dacă x este un element al lui U și y este un element al lui x atunci y este, de asemenea, un element al lui U.
Dacă x și y sunt elemente ale lui U, atunci { x , y } este un element al lui U.
Dacă x este un element al lui U , atunci P (x) , mulțimea părților lui x , este un element al lui U.
Dacă x este un element al lui U atunci uniunea $\bigcup x$ ${\ displaystyle \ bigcup x}$ ${\ displaystyle \ bigcup x}$ este un element al U.

Un univers Grothendieck este un set în care toate operațiile de seturi pot fi efectuate (De fapt, un nenumărat univers Grothendieck oferă un model de teorie de seturi cu relația naturală de apartenență ∈). De exemplu, să încercăm următoarea propoziție:

Propunerea 1.: De sine $x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ Și $y\subseteq x$ ${\ displaystyle y \ subseteq x}$ ${\ displaystyle y \ subseteq x}$ asa de $y\in U$ ${\ displaystyle y \ în U}$ ${\ displaystyle y \ în U}$ .
Demonstrație.: $y\in P(x)$ ${\ displaystyle y \ în P (x)}$ ${\ displaystyle y \ în P (x)}$ atâta timp cât $y\subseteq x$ ${\ displaystyle y \ subseteq x}$ ${\ displaystyle y \ subseteq x}$ . $P(x)\in U$ ${\ displaystyle P (x) \ în U}$ ${\ displaystyle P (x) \ în U}$ atâta timp cât $x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ , asa de $y\in U$ ${\ displaystyle y \ în U}$ ${\ displaystyle y \ în U}$ .

În mod similar, fiecare univers Grothendieck U se dovedește că conține:

Toate singletele fiecăruia dintre elementele sale,
Toate produsele din toate familiile de elemente din U indexate după elementele din U ,
Toate uniunile disjuncte ale familiilor de elemente din U indexate de elemente din U ,
Toate intersecțiile tuturor familiilor de elemente ale lui U indexate de elementele lui U ,
Toate funcțiile dintre două elemente ale lui U și
Toate subseturile lui U a căror cardinalitate este un element al lui U.

Ideea universurilor se datorează lui Alexander Grothendieck , care a folosit-o ca metodă de evitare a orelor de geometrie algebrică .

Bibliografie

Nicolas Bourbaki , Michael Artin , Alexandre Grothendieck , Jean-Louis Verdier , Univers , Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Note de curs în matematică 269 ) , Berlin, Springer-Verlag , 1972, pp. 185-217.

Elemente conexe

Teoria mulțimilor Tarski-Grothendieck