Disjuncție exclusivă

Disjuncția exclusivă „o” (simboluri obișnuite: ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ sau XOR ) este o conexiune logică (sau operator) care returnează TRUE ( V ) ca ieșire dacă și numai dacă intrările sunt diferite între ele. Dacă intrările sunt egale (VV sau FF) se returnează FALSE ( F ).

Operatorul logic este indicat de simbolul prefix J și de operatorii de infix XOR , EOR , EXOR , ⊻ , ⊕ , ↮ și ≢ .

Tabelul adevărului
LA	B.	LA ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ B.
V.	V.	F.
V.	F.	V.
F.	V.	V.
F.	F.	F.

Definiție

În italiană și în alte limbi, trebuie acordată o atenție deosebită semnificației cuvântului o . Excluderea sau a două propoziții A și B înseamnă A sau B , dar nu ambele. La fel ca în expresia „Voi merge la cinema sau la mare”, se presupune că nu le puteți face pe amândouă. Cu toate acestea, în logică, cuvântul „sau” se referă la disjuncția logică incluzivă , care returnează ADEVĂRAT chiar dacă ambele clauze de pornire sunt ADEVĂRATE.

Mai formal, exclusivul sau este un operator logic. Operațiunea returnează TRUE dacă și numai dacă, doar unul dintre operanzii săi este TRUE. OR exclusiv între două propoziții A și B este de obicei scris A xor B , unde „XOR” reprezintă traducerea în engleză a „exclusive OR”, „eXclusive OR” sau A ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ B, citindu-l aut , în latină (spre deosebire de vel , disjuncție inclusivă ).

XOR se aplică la două variabile.

O poartă logică, numită XOR, este un circuit logic compus din trei porți logice și două NU (negații).

LA	B.	LA ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ B.
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Observați diferența față de o poartă logică SAU, prin aceea că a patra combinație într-o poartă logică SAU ar fi 1.

Formula (A XOR B) este deci echivalentă cu a spune: $(A\land \neg B)\lor (\neg A\land B)$ ${\ displaystyle (A \ land \ neg B) \ lor (\ neg A \ land B)}$ ${\ displaystyle (A \ land \ neg B) \ lor (\ neg A \ land B)}$ , adică (A ȘI! B) SAU (! A ȘI B).

Dacă prima teoremă a lui De Morgan și apoi a doua sunt aplicate în ordine, obținem și noi

{\begin{aligned}A{\text{ }}XOR{\text{ }}B=(A{\text{ }}AND{\text{ }}!B){\text{ }}OR{\text{ }}(!A{\text{ }}AND{\text{ }}B)\\[6pt]=(!A{\text{ }}OR{\text{ }}B){\text{ }}NAND{\text{ }}(A{\text{ }}OR{\text{ }}!B)\\[6pt]=(A{\text{ }}NAND{\text{ }}!B){\text{ }}NAND{\text{ }}(!A{\text{ }}NAND{\text{ }}B)\\[6pt]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A {\ text {}} XOR {\ text {}} B = (A {\ text {}} ȘI {\ text {}}! B) {\ text {}} SAU {\ text {}} (! A {\ text {}} ȘI {\ text {}} B) \\ [6pt] = (! A {\ text {}} SAU {\ text {}} B) {\ text {}} NAND {\ text {}} (A {\ text {}} SAU {\ text {}}! B) \\ [6pt] = (A {\ text {}} NAND {\ text {}} ! B) {\ text {}} NAND {\ text {}} (! A {\ text {}} NAND {\ text {}} B) \\ [6pt] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A {\ text {}} XOR {\ text {}} B = (A {\ text {}} ȘI {\ text {}}! B) {\ text {}} SAU {\ text {}} (! A {\ text {}} ȘI {\ text {}} B) \\ [6pt] = (! A {\ text {}} SAU {\ text {}} B) {\ text {}} NAND {\ text {}} (A {\ text {}} SAU {\ text {}}! B) \\ [6pt] = (A {\ text {}} NAND {\ text {}} ! B) {\ text {}} NAND {\ text {}} (! A {\ text {}} NAND {\ text {}} B) \\ [6pt] \ end {align}}}

Prima dintre cele trei expresii obținute pentru XOR reprezintă prima formă canonică obținută cu maxtermin OR sau cu mintermin AND ȘI. Ultima expresie este utilă, în faza de proiectare, în electronica digitală pentru a obține operația XOR atunci când sunt disponibile doar porțile logice NAND și NU.

În informatică , operația „b XOR 1” poate fi utilizată pentru a modifica valoarea bitului b. În acest caz, îndeplinește aceeași funcție ca operatorul NOT (~ b).

Proprietate - Disjuncție și conjuncție exclusive

Începând de la aceleași propoziții simple P și Q, tabelele de adevăr ale celor două propoziții compuse P ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ (P. $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ Q) și P $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ (P. ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ Q) sunt egale (așa cum se arată în tabelul de mai jos), putem concluziona că cele două propoziții compuse sunt echiveridice, adică echivalente logic:

P. ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ (P. $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ Q) = P $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ (P. ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ Q)

Tabelul adevărului
P.	Î	(P. $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ Q)	(P. ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ Q)	P. ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ (P. $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ Q)	P. $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ (P. ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ Q)
V.	V.	V.	F.	F.	F.
V.	F.	F.	V.	V.	V.
F.	V.	F.	V.	F.	F.
F.	F.	F.	F.	F.	F.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu disjuncție exclusivă

linkuri externe

( EN ) Disjuncție exclusivă , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portal electronic

Portal IT

Portalul de matematică

V · D · M Conectori logici
Tautologie( $\top$ ${\ displaystyle \ top}$ $\top$ )
Neconjuncție ( $\uparrow$ ${\ displaystyle \ uparrow}$ $\ Săgeata în sus$ ) · Implicare inversă ( $\leftarrow$ ${\ displaystyle \ leftarrow}$ $\ sageata stanga$ ) · Implicare ( $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ ) · Disjuncție inclusiv ( $\lor$ ${\ displaystyle \ lor}$ $\ lor$ )
Negare ( $\neg$ ${\ displaystyle \ neg}$ $\ neg$ ) · Disjuncție exclusivă ( ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ ) · Implicare dublă ( $\leftrightarrow$ ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ $\ leftrightarrow$ ) · Propunere
Nedisjuncție inclusivă ( $\downarrow$ ${\ displaystyle \ downarrow}$ $\ sageata in jos$ ) · Neimplicare ( $\nrightarrow$ ${\ displaystyle \ nrightarrow}$ $\ nrightarrow$ ) · Implicare non-inversă ( $\nleftarrow$ ${\ displaystyle \ nleftarrow}$ $\ nstânga$ ) · Conjuncție ( $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ )
Contradicție ( $\bot$ ${\ displaystyle \ bot}$ $\ bot$ )