Amortizarea în rate constante

Element principal: amortizare .

Amortizarea „franceză” prevede că ratele sunt amânate și că suma primită de debitor la început ( t = 0) este valoarea actuală a uneianuități în rate constante. Fiecare tranșă include o parte a principalului ( suma principalului) și a dobânzii aferente ( cota de dobândă ) calculate asupra capitalului rezidual nerambursat încă ( datorie reziduală ). Această metodă este o alternativă la metodele de calcul cu plată în avans și la metodele italiene și germane cu rate constante de principal și variabile.

Metoda de calcul a planului de rambursare

Trebuie spus că planul de amortizare „francez” sau „cu rată constantă” este fezabil atât în regimul dobânzii compuse, cât și, în anumite condiții, în regimul dobânzii simple. De departe cea mai utilizată metodă, care va fi și cea analizată aici, este cea care folosește regimul dobânzii compuse: prevede calcularea ratelor și a tuturor celorlalte componente ale planului conform regimului dobânzii compuse . Conform metodei franceze, ponderea dobânzii este mai mare în prima perioadă și scade în timpul amortizării, în timp ce, dimpotrivă, ponderea principalului este mai mică la început și crește progresiv (conform unei legi a progresiei geometrice care este tipic valorificării compuse). Din acest motiv, deprecierea franceză este numită și „ progresivă” .

Compoziția specifică a celor două porțiuni care alcătuiesc rata determină o rată constantă, adică o sumă care este întotdeauna aceeași pe întreaga durată a amortizării. Din acest motiv, deprecierea franceză este numită și „ rată constantă” .

Formula de actualizare care determină cuantumul ratei constante efectuează o distribuție a acțiunilor de capital cu valoare crescândă și cu dobânzi descrescătoare în conformitate cu regimul de calcul al dobânzii compuse care, potrivit unor autori, nu ar da naștere anatocismului ^[1] ^[2 ^] ^] . Cu toate acestea, deși argumentul pare a fi controversat din punct de vedere al jurisprudenței, potrivit unor autori, prezența dobânzii compuse în planul de amortizare francez (întocmit sub un regim de dobânzi compuse) este ușor de demonstrat din punct de vedere matematic , întrucât dobânda pentru fiecare tranșă este determinată prin încorporarea în datoria reziduală a dobânzii deja plătite în perioadele anterioare și, în consecință, dacă regimul compus este utilizat pentru calcularea ratei, dobânda compusă este inevitabilă ^[3] . Prezența dobânzii compuse în ipoteci depinde de fapt de regimul financiar utilizat pentru întocmirea planului de amortizare. Utilizarea regimului de capitalizare compus generează fenomenul anatocist, deoarece este caracterizat de legi financiare divizibile, spre deosebire de regimul de capitalizare simplu care nu generează anatocism, deoarece este caracterizat de legi financiare aditive (și, prin urmare, nu divizibile). ^[4] Structura planului de rată constantă implementat în regimul dobânzii compuse (care este cel utilizat în mod normal) va fi analizat mai jos,

Formula care determină valoarea ratei este următoarea:

$(1)\ R=C{\frac {i}{1-1/(1+i)^{n}}}$ ${\ displaystyle (1) \ R = C {\ frac {i} {1-1 / (1 + i) ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle (1) \ R = C {\ frac {i} {1-1 / (1 + i) ^ {n}}}}$

unde R este rata, C capitalul inițial, i rata dobânzii la capitalul rezidual și n numărul de rate. Rata dobânzii, de obicei anuală, trebuie raportată în cele din urmă la aceeași frecvență cu ratele (de exemplu, dacă lunar trebuie împărțită la 12, dacă semestrial la 2 și așa mai departe).

La fiecare scadență este, de asemenea, posibilă recalcularea ratei prin setarea C egală cu datoria reziduală și n egală cu numărul de rate nedatorite încă. În acest fel, se va obține întotdeauna aceeași rată constantă calculată la început.

Pentru actualizarea ratelor trebuie respectată constrângerea de echivalență financiară, care în acest caz este echivalentă cu scrierea următoarelor:

$S=\sum _{k=1}^{n}C_{k}$ ${\ displaystyle S = \ sum _ {k = 1} ^ {n} C_ {k}}$ ${\ displaystyle S = \ sum _ {k = 1} ^ {n} C_ {k}}$

unde este:

S este capitalul împrumutat,
$C_{k}$ ${\ displaystyle C_ {k}}$ $C_ {k}$ este suma principală aferentă ratei a k-a
n numărul de rate

Având în vedere că suma actualizată a principalului $C_{k}$ ${\ displaystyle C_ {k}}$ $C_ {k}$ Și

$R=C_{k}(1+i)^{(n-k+1)}$ ${\ displaystyle R = C_ {k} (1 + i) ^ {(n-k + 1)}}$ ${\ displaystyle R = C_ {k} (1 + i) ^ {(n-k + 1)}}$

unde este:

R este suma ratei,
i rata nominală a dobânzii pentru perioada respectivă,
indicele k curge de la prima tranșă la a n-a ,
n-k + 1 este numărul de rate care nu sunt încă scadente,

Avem asta:

$(2):S=\sum _{k=1}^{n}{\frac {R}{(1+i)^{(n-k+1)}}}$ ${\ displaystyle (2): S = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {R} {(1 + i) ^ {(n-k + 1)}}}}$ ${\ displaystyle (2): S = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {R} {(1 + i) ^ {(n-k + 1)}}}}$

Din această formulă, cunoscut capitalul împrumutat, rata nominală a dobânzii și numărul de rate, este posibil să se calculeze R.

$C_{k}$ ${\ displaystyle C_ {k}}$ $C_ {k}$ prin urmare corespunde cu suma principală a ratei a k-a :

$(3):C_{k}={\frac {R}{(1+i)^{(n-k+1)}}}$ ${\ displaystyle (3): C_ {k} = {\ frac {R} {(1 + i) ^ {(n-k + 1)}}}}$ ${\ displaystyle (3): C_ {k} = {\ frac {R} {(1 + i) ^ {(n-k + 1)}}}}$

Se poate deduce din (3) că următoarea relație se menține între o dimensiune și cea precedentă:

${\frac {C_{k}}{C_{k-1}}}=1+i$ ${\ displaystyle {\ frac {C_ {k}} {C_ {k-1}}} = 1 + i}$ ${\ displaystyle {\ frac {C_ {k}} {C_ {k-1}}} = 1 + i}$

Rezultă că fiecare capital social poate fi scris începând cu prima acțiune $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ :

$C_{k}=C_{k-1}(i+1)=...=C_{1}(1+i)^{k-1}$ ${\ displaystyle C_ {k} = C_ {k-1} (i + 1) = ... = C_ {1} (1 + i) ^ {k-1}}$ ${\ displaystyle C_ {k} = C_ {k-1} (i + 1) = ... = C_ {1} (1 + i) ^ {k-1}}$ cu k = 1, .., n .

Mai mult, din (3) este ușor de obținut (prin setarea k = n):

$C_{n}={\frac {R}{1+i}}$ ${\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {R} {1 + i}}}$ ${\ displaystyle C_ {n} = {\ frac {R} {1 + i}}}$

și setarea k = 1:

$C_{1}={\frac {R}{(1+i)^{n}}}$ ${\ displaystyle C_ {1} = {\ frac {R} {(1 + i) ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle C_ {1} = {\ frac {R} {(1 + i) ^ {n}}}}$

urmează pentru suma principală a ratei a k-a :

$C_{k}=C_{1}(1+i)^{k-1}={\frac {R}{(1+i)^{n}}}(1+i)^{k-1}={\frac {R}{(1+i)^{(n-k+1)}}}$ ${\ displaystyle C_ {k} = C_ {1} (1 + i) ^ {k-1} = {\ frac {R} {(1 + i) ^ {n}}} (1 + i) ^ {k -1} = {\ frac {R} {(1 + i) ^ {(nk + 1)}}}}$ ${\ displaystyle C_ {k} = C_ {1} (1 + i) ^ {k-1} = {\ frac {R} {(1 + i) ^ {n}}} (1 + i) ^ {k -1} = {\ frac {R} {(1 + i) ^ {(nk + 1)}}}}$ cu k = 1, 2, .., n .

În acest moment, formula datoriei reziduale și formula dobânzii din fiecare perioadă k pot fi scrise direct.

$D_{k}=\sum _{h=k+1}^{n}C_{h}=R\sum _{h=k+1}^{n}(1+i)^{-(n-h+1)}={\frac {R}{i}}\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{n-k}}}\right]$ ${\ displaystyle D_ {k} = \ sum _ {h = k + 1} ^ {n} C_ {h} = R \ sum _ {h = k + 1} ^ {n} (1 + i) ^ {- (nh + 1)} = {\ frac {R} {i}} \ left [1 - {\ frac {1} {(1 + i) ^ {nk}}} \ right]}$ ${\ displaystyle D_ {k} = \ sum _ {h = k + 1} ^ {n} C_ {h} = R \ sum _ {h = k + 1} ^ {n} (1 + i) ^ {- (nh + 1)} = {\ frac {R} {i}} \ left [1 - {\ frac {1} {(1 + i) ^ {nk}}} \ right]}$ cu k = 1, 2, .., n - 1

$I_{k}=R-C_{k}=R-{\frac {R}{(1+i)^{(n-k+1)}}}=R\left[1-{\frac {1}{(1+i)^{(n-k+1)}}}\right]$ ${\ displaystyle I_ {k} = R-C_ {k} = R - {\ frac {R} {(1 + i) ^ {(n-k + 1)}}} = R \ left [1 - {\ frac { 1} {(1 + i) ^ {(nk + 1)}}} \ right]}$ ${\ displaystyle I_ {k} = R-C_ {k} = R - {\ frac {R} {(1 + i) ^ {(n-k + 1)}}} = R \ left [1 - {\ frac { 1} {(1 + i) ^ {(nk + 1)}}} \ right]}$ cu k = 1, 2, .., n .

Rețineți că în orice perioadă se aplică

$\displaystyle R=C_{k}+iD_{k-1}$ ${\ displaystyle \ displaystyle R = C_ {k} + iD_ {k-1}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle R = C_ {k} + iD_ {k-1}}$ cu k = 1, 2, .., n .

Formula anterioară arată că rata $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este întotdeauna suma sumei principale pentru perioada respectivă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , acesta este $C_{k}$ ${\ displaystyle C_ {k}}$ $C_ {k}$ , plus dobânzi la datoria reziduală din perioada anterioară, adică $iD_{k-1}$ ${\ displaystyle iD_ {k-1}}$ ${\ displaystyle iD_ {k-1}}$ . Formula (3) a sumei principale $C_{h}$ ${\ displaystyle C_ {h}}$ ${\ displaystyle C_ {h}}$ de fapt se obține prin rezolvare

$C_{k}=R-iD_{k-1}=R-iC+i\sum _{h=1}^{k-1}C_{h}$ ${\ displaystyle C_ {k} = R-iD_ {k-1} = R-iC + i \ sum _ {h = 1} ^ {k-1} C_ {h}}$ ${\ displaystyle C_ {k} = R-iD_ {k-1} = R-iC + i \ sum _ {h = 1} ^ {k-1} C_ {h}}$

Partea dobânzii prevalează în prima jumătate a împrumutului, partea principală prevalează pe durata rămasă. Prin urmare, în absența unor clauze penale care limitează posibilitatea, rambursările anticipate, atât parțiale, cât și totale, cu ipoteci cu rată fixă, permit economii mai mari de dobânzi, întrucât în primii ani rambursarea dobânzilor este preponderentă în tranșă. Din formulele de mai sus este ușor să vedem cum la fiecare pas, datoria reziduală este redusă cu valoarea ratei și mărită cu partea de dobândă, care realizează valorificarea dobânzii.

Dobânda compusă, în relațiile de rambursare în rate care prevăd rate constituite din principal și dobândă, este o condiție intrinsecă care depinde de metodologia de elaborare a planului în sine. De fapt, acest lucru depinde de faptul că, de fiecare dată când se plătește o tranșă, datoria reziduală scade doar cu suma principală, astfel încât, indirect, partea de dobândă să fie capitalizată și în calculul porțiunii de dobândă a ratei următoare. De asemenea, este posibilă verificarea dobânzii compuse acumulate în planul de amortizare utilizând un instrument de calcul online ^[5]

Calculul dobânzii totale

Din (1) din paragraful anterior este posibil să se obțină dobânda totală în funcție de numărul de rate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , a capitalului inițial $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ și rata $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ ca:

$(4)\ I_{\Sigma }=n\cdot R-C=C\cdot \left[{\frac {n\cdot i}{1-(1+i)^{-n}}}-1\right]$ ${\ displaystyle (4) \ I _ {\ Sigma} = n \ cdot RC = C \ cdot \ left [{\ frac {n \ cdot i} {1- (1 + i) ^ {- n}}} - 1 \ dreapta]}$ ${\ displaystyle (4) \ I _ {\ Sigma} = n \ cdot RC = C \ cdot \ left [{\ frac {n \ cdot i} {1- (1 + i) ^ {- n}}} - 1 \ dreapta]}$

unde este $n\cdot R$ ${\ displaystyle n \ cdot R}$ ${\ displaystyle n \ cdot R}$ reprezintă suma totală rambursată, din care se scade capitalul inițial.

Tendința totală a dobânzii

Următoarele cifre reprezintă un exemplu de calcul al dobânzii totale și al ratei în funcție de numărul de rate considerate ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ) și capitalul inițial ( $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ), aplicând formulele (1) , (4) și luând în considerare un TAN de $5\%$ ${\ displaystyle 5 \%}$ ${\ displaystyle 5 \%}$ ( $i=41.67\%$ ${\ displaystyle i = 41,67 \%}$ ${\ displaystyle i = 41,67 \%}$ ).

În grafic, eticheta de pe puncte reprezintă rata constantă care trebuie rambursată periodic $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , axa x este capitala inițială $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , axa y este dobânda totală acumulată la sfârșitul perioadei de amortizare $I_{\Sigma }$ ${\ displaystyle I _ {\ Sigma}}$ ${\ displaystyle I _ {\ Sigma}}$ . Tabelul inferior prezintă datele utilizate pentru a genera graficul.

Calculul dobânzii totale și al ratei cu amortizarea în rate constante, deoarece numărul de rate totale și capitalul inițial variază. TAN 5,00%

Tendința totală a dobânzii, deoarece TAN și numărul de rate variază. Capital inițial constant: 10.000 EUR

Metode alternative de amortizare în rate cvasi-constante

Există ipoteci cu amortizare „franceză” , dar la o rată variabilă. În aceste cazuri, rata este recalculată pe măsură ce rata dobânzii se modifică și pe baza datoriei reziduale. Cu toate acestea, având în vedere cele de mai sus pentru calcularea ratei, aceasta este o denaturare a metodei de amortizare „franceză” , care se bazează pe un model matematic cu rată fixă. Această metodă de calcul al ratei variabile este frecvent utilizată în creditele ipotecare imobiliare, care, fiind pe termen lung prin natură, expun părțile la riscul fluctuațiilor ratei dobânzii.

Există, de asemenea, ipoteci cu rată constantă (calculate conform formulei de amortizare „franceză” ) și ipoteci cu rată variabilă. În aceste cazuri, durata amortizării nu este prestabilită, iar împrumutatul nu știe exact când va fi achitată datoria. Dacă ratele dobânzilor cresc, termenul împrumutului crește. În cea de-a doua metodă de calcul, în absența plafoanelor la rata dobânzii aplicate, ponderea porțiunii de dobândă poate atinge valoarea totală a ratei, făcând efectiv imprumutul nerecuperabil (rambursând niciodată principalul).

Notă

^ Dr. Umberto Tranfaglia și ing. Francesco Rossi, Amortizarea și anatocismul francez , pe cloudfinance.it , Cloud Finance. Adus la 18 iulie 2015 .
^ Dr. Walter Giacomo Caturano, DEPRECIATION FRANȚEZĂ : nu încalcă interdicția dobânzii compuse în conformitate cu articolul 1283 din Codul civil italian , pe expartecreditoris.it , ex parte creditoris. Adus la 18 iulie 2015 (arhivat din original la 22 iulie 2015) .
^ Dr. Antonio Aghilar, Amortizarea și anatocismul francez , pe verifichefinanziamenti.it . Adus la 15 septembrie 2018 .
^ Prof. Antonio Annibali, Anatocism în ipoteci , pe actuariale.eu , Atturiale.eu. Adus la 15 septembrie 2018 .
^ Instrument de calcul al software-ului anatocism ipotecar , pe calcanatocismousura.it .

Elemente conexe

Portalul companiilor : accesați intrările Wikipedia care au legătură cu companiile

[1] Dr. Umberto Tranfaglia și ing. Francesco Rossi, Amortizarea și anatocismul francez , pe cloudfinance.it , Cloud Finance. Adus la 18 iulie 2015 .

[2] Dr. Walter Giacomo Caturano, DEPRECIATION FRANȚEZĂ : nu încalcă interdicția dobânzii compuse în conformitate cu articolul 1283 din Codul civil italian , pe expartecreditoris.it , ex parte creditoris. Adus la 18 iulie 2015 (arhivat din original la 22 iulie 2015) .

[3] Dr. Antonio Aghilar, Amortizarea și anatocismul francez , pe verifichefinanziamenti.it . Adus la 15 septembrie 2018 .

[4] Prof. Antonio Annibali, Anatocism în ipoteci , pe actuariale.eu , Atturiale.eu. Adus la 15 septembrie 2018 .

[5] Instrument de calcul al software-ului anatocism ipotecar , pe calcanatocismousura.it .

[1]

[2

[3]

[4]

[5]