Aproximare Kochański

În matematică , aproximarea Kochański permite obținerea unei valori aproximative a lui π pornind de la o construcție geometrică particulară. Își ia numele de la matematicianul iezuit religios și polonez Adam Adamandy Kochański , care l-a propus pentru prima dată în tratatul său Observationes Cyclometricæ ad facilitandam Praxin accommodatae din 1685, dedicat problemei rectificării circumferinței ^[1] ^[2] .

Clădiri

Construcția lui Kochański, așa cum apare în Observațiile ciclometrice .

Următoarea construcție este versiunea originală care apare în tratatul lui Kochański și oferă o soluție la problema rectificării unui cerc de unitate, prin determinarea geometrică a unui segment de lungime aproximativ egal cu π (adică semicercul unui cerc de unitate).

Construiește un semicerc $B. C. D.$ ${\ displaystyle BCD}$ ${\ displaystyle BCD}$ a razei unității centrată în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și înscrie-l în dreptunghi $B. G. H. D.$ ${\ displaystyle BGHD}$ ${\ displaystyle BGHD}$ . Desenați raza $LA ȘI$ ${\ displaystyle AE}$ $AE$ care se formează în raport cu raza $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ un unghi de $60^{\circ }$ ${\ displaystyle 60 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle 60 ^ {\ circ}}$ , și extindeți-l până când segmentul este interceptat $B. G.$ ${\ displaystyle BG}$ ${\ displaystyle BG}$ în sens $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . În cele din urmă, este prelungit $D. H.$ ${\ displaystyle DH}$ ${\ displaystyle DH}$ a unui segment $H. L$ ${\ displaystyle HL}$ ${\ displaystyle HL}$ de lungime egală cu diametrul semicircumferinței.

Lungimea segmentului $THE L$ ${\ displaystyle IL}$ $THE$ este o aproximare a lui π: de fapt, uitându-ne la $THE L$ ${\ displaystyle IL}$ $THE$ ca ipotenuza triunghiului dreptunghiular $THE K. L$ ${\ displaystyle IKL}$ ${\ displaystyle IKL}$ și aplicând teorema lui Pitagora avem că: ^[2]

{\begin{aligned}IL&={\sqrt {IK^{2}+KL^{2}}}={\sqrt {2^{2}+\left[\left(1-\tan {30^{\circ }}\right)+2\right]^{2}}}\\&={\sqrt {4+\left(3-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}=3,141533...\approx \pi .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} IL & = {\ sqrt {IK ^ {2} + KL ^ {2}}} = {\ sqrt {2 ^ {2} + \ left [\ left (1- \ tan {30 ^ {\ circ}} \ right) +2 \ right] ^ {2}}} \\ & = {\ sqrt {4+ \ left (3 - {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}} \ right) ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {40} {3}} - 2 {\ sqrt {3}}}} = 3.141533 ... \ approx \ pi. \ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} IL & = {\ sqrt {IK ^ {2} + KL ^ {2}}} = {\ sqrt {2 ^ {2} + \ left [\ left (1- \ tan {30 ^ {\ circ}} \ right) +2 \ right] ^ {2}}} \\ & = {\ sqrt {4+ \ left (3 - {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}} \ right) ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {40} {3}} - 2 {\ sqrt {3}}}} = 3.141533 ... \ approx \ pi. \ sfârșit {aliniat}}}

Construcție alternativă

O construcție alternativă.

Construiți un cerc cu raza unității centrată în $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , și definiți un sistem de referință cu axa de ordonate care trece prin diametrul vertical și originea plasată în punct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Acum desenează cercul centrat la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și de rază unitară; va intersecta primul cerc în acest punct $C\left(-{\frac {\sqrt {3}}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$ ${\ displaystyle C \ left (- {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle C \ left (- {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right)}$ . Desenați cercul centrat la $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ de unitate de rază, care va intersecta cel de-al doilea cerc în acest punct $D\left(-{\frac {\sqrt {3}}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)$ ${\ displaystyle D \ left (- {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}, - {\ frac {1} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle D \ left (- {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}, - {\ frac {1} {2}} \ right)}$ . Segmentul care se conectează $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ intersectează axa absciselor care trece prin $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în sens $E\left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}},0\right)$ ${\ displaystyle E \ left (- {\ frac {\ sqrt {3}} {3}}, 0 \ right)}$ ${\ displaystyle E \ left (- {\ frac {\ sqrt {3}} {3}}, 0 \ right)}$ . În cele din urmă construiți punctul $F\left(3-{\frac {\sqrt {3}}{3}},0\right)$ ${\ displaystyle F \ left (3 - {\ frac {\ sqrt {3}} {3}}, 0 \ right)}$ ${\ displaystyle F \ left (3 - {\ frac {\ sqrt {3}} {3}}, 0 \ right)}$ astfel încât să fie 3 din $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ în direcția pozitivă a abscisei.

Lungimea segmentului $B. F.$ ${\ displaystyle BF}$ ${\ displaystyle BF}$ obținută din această construcție geometrică este o aproximare a valorii lui π, corectată până la a patra zecimală. Într-adevăr, observând $B. F.$ ${\ displaystyle BF}$ ${\ displaystyle BF}$ ca ipotenuza triunghiului dreptunghiular $B. LA F.$ ${\ displaystyle BAF}$ ${\ displaystyle BAF}$ și aplicând teorema lui Pitagora avem:

BF={\sqrt {2^{2}+\left(3-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}=3,141533...\approx \pi .

{\ displaystyle BF = {\ sqrt {2 ^ {2} + \ left (3 - {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}} \ right) ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {40} {3}} - 2 {\ sqrt {3}}}} = 3.141533 ... \ approx \ pi.}

{\ displaystyle BF = {\ sqrt {2 ^ {2} + \ left (3 - {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}} \ right) ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {40} {3}} - 2 {\ sqrt {3}}}} = 3.141533 ... \ approx \ pi.}

^[3] ^[4]

Notă

^ Adam Adamandy Kochanski, Observationses Cyclometricæ ad facilitandam Praxin accommodatae , vol. 4, 1685, pp. 394-398.
^ ^A ^b (EN) Henryk Fuks, aproximările lui Adam Adamandy Kochański despre π: reconstrucția algoritmului (PDF) pe arxiv.org. Adus pe 19 iunie 2014 .
^ (EN) Eric W. Weisstein, Aproximarea lui Kochanski , în Mathworld, Wolfram Research. Adus pe 19 iunie 2014 .
^ (EN) EW Weisstein, Kochansky's Approximation , în CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, ediția a II-a, Boca Raton, CRC Press, 2003 [1999], p. 1645, ISBN 1-58488-347-2 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Aproximarea Kochański

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, aproximare Kochański , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Adam Adamandy Kochanski, Observationses Cyclometricæ ad facilitandam Praxin accommodatae , vol. 4, 1685, pp. 394-398.

[fuks-2] A ^b (EN) Henryk Fuks, aproximările lui Adam Adamandy Kochański despre π: reconstrucția algoritmului (PDF) pe arxiv.org. Adus pe 19 iunie 2014 .

[3] (EN) Eric W. Weisstein, Aproximarea lui Kochanski , în Mathworld, Wolfram Research. Adus pe 19 iunie 2014 .

[4] (EN) EW Weisstein, Kochansky's Approximation , în CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, ediția a II-a, Boca Raton, CRC Press, 2003 [1999], p. 1645, ISBN 1-58488-347-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]