Axiomele Kolmogorov

Axiomele lui Kolmogorov sunt o parte fundamentală a teoriei probabilității lui Andrey Kolmogorov . În ele, probabilitatea P a unui eveniment E, notată ca $P(E)$ ${\ displaystyle P (E)}$ $P (E)$ , este definit pentru a satisface aceste axiome. Axiomele sunt descrise mai jos.

Aceste axiome pot fi rezumate după cum urmează: Fie (Ω, F , P ) un spațiu mensural cu P (Ω) = 1. Atunci (Ω, F , P ) este spațiul de probabilitate, cu spațiul de probă Ω, spațiul de eveniment F și măsura probabilității P.

O abordare alternativă la formalizarea probabilității, propusă de unii bayezieni, este dată de teorema lui Cox .

Axiome

Prima axiomă

Probabilitatea unui eveniment este un număr real non-negativ:

P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F

{\ displaystyle P (E) \ in \ mathbb {R}, P (E) \ geq 0 \ qquad \ forall E \ in F}

{\ displaystyle P (E) \ in \ mathbb {R}, P (E) \ geq 0 \ qquad \ forall E \ in F}

unde este $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este spațiul evenimentelor. Rezultă că $P(E)$ ${\ displaystyle P (E)}$ $P (E)$ este întotdeauna finit, spre deosebire de teoria mai generală a măsurii . Teorie care atribuie probabilitate negativă în raport cu prima axiomă.

A doua axiomă

Probabilitatea întregului spațiu eșantion este de 1 (ipoteza măsurii unității)

P(\Omega )=1.

{\ displaystyle P (\ Omega) = 1.}

{\ displaystyle P (\ Omega) = 1.}

A treia axiomă

Orice secvență numărabilă de seturi disjuncte (sinonim cu evenimente care se exclud reciproc ) $E_{1},E_{2},\ldots$ ${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ ldots}$ satisface

P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).

{\ displaystyle P \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} P (E_ {i}).}

{\ displaystyle P \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} E_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} P (E_ {i}).}

Unii autori consideră doar spații de probabilitate pur aditive , caz în care este necesară doar o algebră setată, mai degrabă decât o σ-algebră .

Urmări

Din axiomele lui Kolmogorov se pot deduce alte reguli utile pentru calcularea probabilităților.

Probabilitatea setului gol

P(\varnothing )=0.

{\ displaystyle P (\ varnothing) = 0.}

{\ displaystyle P (\ varnothing) = 0.}

In unele cazuri, $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ nu este singurul eveniment cu probabilitate 0.

Monotonie

\quad {\text{se}}\quad A\subseteq B\quad {\text{allora}}\quad P(A)\leq P(B).

{\ displaystyle \ quad {\ text {if}} \ quad A \ subseteq B \ quad {\ text {then}} \ quad P (A) \ leq P (B).}

{\ displaystyle \ quad {\ text {if}} \ quad A \ subseteq B \ quad {\ text {then}} \ quad P (A) \ leq P (B).}

Dacă A este un subset al lui B sau egal cu B, atunci probabilitatea lui A este mai mică sau egală cu probabilitatea lui B.

Intervalul de definiție

Din proprietatea monotoniei rezultă imediat că

0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.

{\ displaystyle 0 \ leq P (E) \ leq 1 \ qquad \ forall E \ în F.}

{\ displaystyle 0 \ leq P (E) \ leq 1 \ qquad \ forall E \ în F.}

Consecințe ulterioare

O altă proprietate importantă este:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

{\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B).}

{\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B).}

Aceasta se numește legea suplimentară a probabilității sau regula sumei. Adică, probabilitatea ca A sau B să se întâmple , este suma probabilităților că A se va întâmpla și că B se va întâmpla, minus probabilitatea ca atât A cât și B să se întâmple . Dovada acestui lucru este:

In primul loc,

P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)

{\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B \ setminus A)}

{\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B \ setminus A)}

(pentru a treia Axiomă)

Prin urmare,

P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))

{\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B \ setminus (A \ cap B))}}

{\ displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B \ setminus (A \ cap B))}}

(deoarece

B\setminus A=B\setminus (A\cap B)

{\ displaystyle B \ setminus A = B \ setminus (A \ cap B)}

{\ displaystyle B \ setminus A = B \ setminus (A \ cap B)}

).

ȘI,

P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)

{\ displaystyle P (B) = P (B \ setminus (A \ cap B)) + P (A \ cap B)}

{\ displaystyle P (B) = P (B \ setminus (A \ cap B)) + P (A \ cap B)}

scăderea $P(B\setminus (A\cap B))$ ${\ displaystyle P (B \ setminus (A \ cap B))}}$ ${\ displaystyle P (B \ setminus (A \ cap B))}}$ din ambele ecuații obținem rezultatul dorit.

O extindere a legii suplimentare la orice număr de seturi este principiul includerii-excluderii .

Apelarea B ca complement A ^c din A în legea suplimentară pe care o obținem

P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)

{\ displaystyle P \ left (A ^ {c} \ right) = P (\ Omega \ setminus A) = 1-P (A)}

{\ displaystyle P \ left (A ^ {c} \ right) = P (\ Omega \ setminus A) = 1-P (A)}

Adică, probabilitatea ca un eveniment să nu se întâmple (sau complementul evenimentului) este 1 minus probabilitatea ca acesta să se întâmple.

Exemplu simplu: aruncare de monede

Luați în considerare întoarcerea unei singure monede și presupuneți că iese fie capete (T), fie cozi (C) (dar nu ambele). Nu presupune că moneda este echilibrată.

Putem defini:

\Omega =\{H,T\}

{\ displaystyle \ Omega = \ {H, T \}}

{\ displaystyle \ Omega = \ {H, T \}}

F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}

{\ displaystyle F = \ {\ varnothing, \ {H \}, \ {T \}, \ {H, T \} \}}

{\ displaystyle F = \ {\ varnothing, \ {H \}, \ {T \}, \ {H, T \} \}}

Axiomele lui Kolmogorov implică faptul că:

P(\varnothing )=0

{\ displaystyle P (\ varnothing) = 0}

{\ displaystyle P (\ varnothing) = 0}

Probabilitatea de a nu avea capete sau cozi este 0.

P(\{H,T\}^{c})=0

{\ displaystyle P (\ {H, T \} ^ {c}) = 0}

{\ displaystyle P (\ {H, T \} ^ {c}) = 0}

Probabilitatea unui cap sau coadă este 1.

P(\{H\})+P(\{T\})=1

{\ displaystyle P (\ {H \}) + P (\ {T \}) = 1}

{\ displaystyle P (\ {H \}) + P (\ {T \}) = 1}

Suma probabilității capetelor și crucilor este 1.

Elemente conexe

Lecturi suplimentare

Morris H. DeGroot , Probabilitate și statistici , Reading, Addison-Wesley, 1975, pp. 12–16, ISBN 0-201-01503-X . Morris H. DeGroot , Probabilitate și statistici , Reading, Addison-Wesley, 1975, pp. 12–16, ISBN 0-201-01503-X . Morris H. DeGroot , Probabilitate și statistici , Reading, Addison-Wesley, 1975, pp. 12–16, ISBN 0-201-01503-X .
James R. McCord și Richard M. Moroney, Axiomatic Probability , în Introducere în teoria probabilităților , New York, Macmillan, 1964, pp. 13 - 28.

linkuri externe

Calcularea probabilității Kolmogorov , Enciclopedia Stanford a filosofiei.
Definiția formală a probabilității în sistemul Mizar și ^{[ link rupt ]} au demonstrat oficial acest lucru.