Lanțul Steiner

Un lanț Steiner închis cu 12 cercuri. Cercurile negre care alcătuiesc lanțul sunt tangente la circumferințele interioare și exterioare.

Un lanț Steiner , în geometrie , este o serie de cercuri tangente la două cercuri date și care nu se intersectează. Fiecare cerc care alcătuiește lanțul este, de asemenea, tangent la cercul anterior și următor din lanț. Un lanț Steiner este definit închis atunci când primul și ultimul cerc sunt tangente unul cu celălalt. Cele două circumferințe necesare construcției lanțului nu trebuie să se intersecteze, dar aceasta este singura cerință: cercul mai mic poate fi complet intern sau extern cercului mare. În aceste cazuri, centrele cercurilor care formează lanțul se află pe o elipsă și, respectiv, pe o hiperbolă .

Lanțurile Steiner poartă numele matematicianului elvețian Jakob Steiner , care le-a definit în secolul al XIX-lea și a descoperit multe dintre proprietățile lor. De asemenea, i se atribuie formularea porismului lui Steiner ^[1] . afirmă că dacă există cel puțin un lanț închis de n cercuri pentru o pereche de cercuri α și β , atunci există altele infinite cu același număr de cercuri. ^[2]

Lanțuri închise, deschise și multi-ciclice

De obicei, lanțurile Steiner sunt considerate închise , adică cu primul și ultimul cerc tangente între ele. Cu toate acestea, sunt luate în considerare și lanțurile deschise , în care primul și ultimul cerc nu sunt tangente, ci se suprapun. Lanțurile multiciclice , pe de altă parte, înconjoară cercul interior de mai multe ori înainte de a se închide.

Lanțuri Steiner în coroane circulare și criteriile de fezabilitate ale acestora

Un lanț Steiner într-un inel. Cercurile exterioare și interioare au raza R și respectiv r , în timp ce cercurile lanțului au raza ρ .

Cel mai simplu tip de lanț Steiner este cel care, format dintr-o serie de n cercuri de dimensiuni egale, este între două cercuri concentrice, dintre care cel mai mic are raza r și cel mai mare R. Lanțul Steiner astfel creat este, prin urmare, inclus în coroana circulară prezentă între cele două cercuri de construcție. Din motive de simetrie, unghiul 2θ dintre centrele cercurilor lanțului este egal cu 360 ° / n : în plus, deoarece fiecare cerc al lanțului este tangent cu cel anterior și următor, distanța dintre centrele a două cercurile coincid cu suma razelor lor și, în special, pentru a dubla raza lor ρ .
Bisectoarea unghiului 2θ generează două triunghiuri dreptunghiulare, ambele cu un unghi θ egal cu 180 ° / n . Pentru proprietățile triunghiurilor dreptunghiulare, sinusul lui θ poate fi exprimat ca raportul dintre catetul opus acestuia (adică raza uneia dintre circumferințele lanțului) și hipotenuză, formată din suma lui ρ și r :

\sin \theta ={\frac {\rho }{r+\rho }}

{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ rho} {r + \ rho}}}

{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ rho} {r + \ rho}}}

θ poate fi determinat pornind de la n , deci singura necunoscută din ecuația de mai sus este ρ , raza cercurilor lanțului Steiner:

\rho ={\frac {r\sin \theta }{1-\sin \theta }}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {r \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {r \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}}}

Prin construcție, raza exterioară R poate fi, prin urmare, determinată ca r + 2 ρ . Ecuațiile anterioare oferă un criteriu de fezabilitate pentru un lanț Steiner pornind de la două cercuri concentrice date. Posibilitatea realizării unui lanț Steiner închis de n cercuri necesită ca raportul dintre razele externe și interne R / r ale cercurilor de construcție să fie exact egal cu:

{\frac {R}{r}}=1+{\frac {2\sin \theta }{1-\sin \theta }}={\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}=\left[\sec \theta +\tan \theta \right]^{2}

{\ displaystyle {\ frac {R} {r}} = 1 + {\ frac {2 \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}} = {\ frac {1+ \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}} = \ left [\ sec \ theta + \ tan \ theta \ right] ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {R} {r}} = 1 + {\ frac {2 \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}} = {\ frac {1+ \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}} = \ left [\ sec \ theta + \ tan \ theta \ right] ^ {2}}

Definind distanța inversă a două cercuri concentrice ca logaritm natural al raportului dintre razele celor două cercuri (cu raza mai mare în numărător):

\delta =\ln {\frac {R}{r}}

{\ displaystyle \ delta = \ ln {\ frac {R} {r}}}

{\ displaystyle \ delta = \ ln {\ frac {R} {r}}}

prin urmare, este posibil să se definească un criteriu valid indiferent de razele cercurilor concentrice date:

\delta =2\ln \left(\sec \theta +\tan \theta \right)=2\ln \left(\sec {\frac {180^{\circ }}{n}}+\tan {\frac {180^{\circ }}{n}}\right)

{\ displaystyle \ delta = 2 \ ln \ left (\ sec \ theta + \ tan \ theta \ right) = 2 \ ln \ left (\ sec {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} + \ tan {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} \ right)}

{\ displaystyle \ delta = 2 \ ln \ left (\ sec \ theta + \ tan \ theta \ right) = 2 \ ln \ left (\ sec {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} + \ tan {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}} \ right)}

În cele din urmă, criteriul poate fi aplicat și lanțurilor multiciclice fără a pierde generalitatea. Dacă un lanț Steiner multiciclic format din n cercuri se înfășoară în jurul său de m ori înainte de închidere, unghiul subtins între două cercuri Steiner consecutive poate fi determinat ca

\theta ={\frac {m}{n}}180^{\circ }.

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {m} {n}} 180 ^ {\ circ}.}

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {m} {n}} 180 ^ {\ circ}.}

^[2]

Lanțuri Steiner și inversare circulară

Problema lanțurilor Steiner poate fi abordată cu instrumentul de inversare circulară . De fapt, există întotdeauna o inversare circulară adecvată care permite transportul oricărei perechi de cercuri fără puncte comune în două cercuri concentrice distincte. Inversia circulară păstrează însă punctele de tangență și proprietățile de ortogonalitate ale cercurilor. Din acest motiv, dacă lanțul se închide în cazul concentric, atunci se închide și în cazul generic la care se întoarce aplicând din nou inversiunea circulară, care este și o involuție .

Generalizări

Cea mai simplă generalizare a unui lanț Steiner este cea care permite cercurilor de construcție să fie tangente între ele sau să se intersecteze. În primul caz suntem în prezența unui lanț de Pappus , care are un număr infinit de cercuri.

Sferele lui Soddy sau gulerul lui Soddy sunt o generalizare tridimensională a unui lanț Steiner închis cu șase cercuri. Centrele celor șase sfere care alcătuiesc lanțul se deplasează pe aceeași elipsă, la fel ca și centrele lanțului Steiner corespunzător. Suprafața care învelește sferele gulerului lui Soddy este o ciclidă Dupin , suprafața inversă a unui tor . Cele șase sfere nu sunt doar tangente la sferele interioare și exterioare, ci și la alte două sfere centrate deasupra și sub planul centrelor.

Notă

^ Definiția porismului în Vocabularul Treccani
^ ^a ^b ( EN ) HSM Coxeter , SL Greitzer, Geometry Revisited ( PDF ), în New Mathematical Library , vol. 19, The Mathematical Association of America, 1967, 124-125. Adus pe 21 aprilie 2017 .

Bibliografie

Marcel Berger , Geometry I , Springer , 1987, ISBN 978-3-540-11658-5 .
Maria Dedò , Transformări geometrice. Cu o introducere în modelul Poincaré , Zanichelli , 1996, ISBN 978-8808162601 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Lanțul lui Steiner

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Steiner Chain în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Porismul lui Steiner în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Definiția porismului în Vocabularul Treccani

[geometry-2] ( EN ) HSM Coxeter , SL Greitzer, Geometry Revisited ( PDF ), în New Mathematical Library , vol. 19, The Mathematical Association of America, 1967, 124-125. Adus pe 21 aprilie 2017 .

[1]

[2]