Cinematica relativistă

Teoria relativității lui Albert Einstein a schimbat total modul de a vedea fizica clasică la începutul anilor 1900 . Intuițiile sale au dus la construirea primului model de relativitate specială (sau specială) care, la rândul său, va duce la fundamentarea relativității generale . Aici va fi examinat studiul mișcării unui corp supus unei forțe constante.

Relativitate specială sau restrânsă

Odată cu restrângerea validității ecuațiilor dinamicii newtoniene , a fost necesar să rescriem cele mai elementare ecuații ale acesteia pentru a putea descrie fenomene mai complexe, anterior de neconceput, la viteze comparabile cu cea a luminii .

Să ne imaginăm că suntem un observator al unei nave spațiale și că, de exemplu, datorită unui motor puternic de ardere al antimateriei, poate călători în spațiu.

Cunoscând ecuațiile fizicii clasice, nu am putea obține niciodată o lege orară care să satisfacă condiția de ardere „nimic nu merge mai repede decât lumina ”. De aceea, aici vom construi un model pur cinematic al unui corp supus unei forțe constante. Să ne reamintim principiul dinamicii, cu modificarea relativistă aplicată:

F={\frac {dP}{dt}}

{\ displaystyle F = {\ frac {dP} {dt}}}

F = \ frac {dP} {dt}

P=\gamma m_{0}v

{\ displaystyle P = \ gamma m_ {0} v}

{\ displaystyle P = \ gamma m_ {0} v}

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}

unde este:

$F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este forța acționantă
$v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este viteza instantanee a corpului
$m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ este masa de repaus a corpului
$P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este impulsul sau quadrimpulse
$c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii

Legile mișcării sunt după cum urmează

a(t)={\frac {a_{0}}{\left(1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}

{\ displaystyle a (t) = {\ frac {a_ {0}} {\ left (1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} \ dreapta) ^ {\ frac {3} {2}}}}}

{\ displaystyle a (t) = {\ frac {a_ {0}} {\ left (1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} \ dreapta) ^ {\ frac {3} {2}}}}}

v(t)={\frac {a_{0}t}{\sqrt {1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}

{\ displaystyle v (t) = {\ frac {a_ {0} t} {\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}}

{\ displaystyle v (t) = {\ frac {a_ {0} t} {\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}}

s(t)={\frac {c^{2}}{a_{0}}}\cdot \left({\sqrt {1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1\right)

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0}}} \ cdot \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}} - 1 \ dreapta)}

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0}}} \ cdot \ left ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}} - 1 \ dreapta)}

Demonstrație

Vom discuta despre un sistem pur cinematografic $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ ca constante și într-adevăr, vom folosi raportul lor ${\frac {F}{m_{0}}}=a_{0}$ ${\ displaystyle {\ frac {F} {m_ {0}}} = a_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ frac {F} {m_ {0}}} = a_ {0}}$ , adică cu $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ accelerația inițială a fost impresionată de corp și, prin urmare, nu depinde de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Să începem cu derivatul în $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ a impulsului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$

P=\gamma m_{0}v

{\ displaystyle P = \ gamma m_ {0} v}

{\ displaystyle P = \ gamma m_ {0} v}

{\frac {dP}{dt}}=m_{0}v{\frac {d\gamma }{dt}}+m_{0}\gamma {\frac {dv}{dt}}\Rightarrow {\frac {dP}{dt}}=m_{0}v{\frac {d\gamma }{dt}}+m_{0}\gamma a

{\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = m_ {0} v {\ frac {d \ gamma} {dt}} + m_ {0} \ gamma {\ frac {dv} {dt}} \ Rightarrow {\ frac {dP} {dt}} = m_ {0} v {\ frac {d \ gamma} {dt}} + m_ {0} \ gamma a}

{\ displaystyle {\ frac {dP} {dt}} = m_ {0} v {\ frac {d \ gamma} {dt}} + m_ {0} \ gamma {\ frac {dv} {dt}} \ Rightarrow {\ frac {dP} {dt}} = m_ {0} v {\ frac {d \ gamma} {dt}} + m_ {0} \ gamma a}

F=\gamma m_{0}a+m_{0}v{\frac {d\gamma }{dt}}\Rightarrow F=m_{0}(\gamma a+v{\frac {d\gamma }{dt}})

{\ displaystyle F = \ gamma m_ {0} a + m_ {0} v {\ frac {d \ gamma} {dt}} \ Rightarrow F = m_ {0} (\ gamma a + v {\ frac {d \ gamma} {dt}})}

{\ displaystyle F = \ gamma m_ {0} a + m_ {0} v {\ frac {d \ gamma} {dt}} \ Rightarrow F = m_ {0} (\ gamma a + v {\ frac {d \ gamma} {dt}})}

Aflăm apoi diferențialul $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ , dar în $d v$ ${\ displaystyle dv}$ $dv$ pentru a vă putea integra ulterior:

d\gamma ={\frac {v}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{3}dv

{\ displaystyle d \ gamma = {\ frac {v} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {3} dv}

{\ displaystyle d \ gamma = {\ frac {v} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {3} dv}

și înlocuiți

F=m_{0}(\gamma a+v{\frac {v}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{3}\cdot {\frac {dv}{dt}})

{\ displaystyle F = m_ {0} (\ gamma a + v {\ frac {v} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {3} \ cdot {\ frac {dv} {dt}}) }

{\ displaystyle F = m_ {0} (\ gamma a + v {\ frac {v} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {3} \ cdot {\ frac {dv} {dt}}) }

adică

F=m_{0}(\gamma a+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{3}\cdot a)

{\ displaystyle F = m_ {0} (\ gamma a + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {3} \ cdot a)}

{\ displaystyle F = m_ {0} (\ gamma a + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {3} \ cdot a)}

apoi colectăm $a\gamma$ ${\ displaystyle a \ gamma}$ ${\ displaystyle a \ gamma}$

F=\gamma m_{0}a(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{2})\Rightarrow a_{0}=a\gamma (1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{2})

{\ displaystyle F = \ gamma m_ {0} a (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2}) \ Rightarrow a_ {0} = a \ gamma (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2})}

{\ displaystyle F = \ gamma m_ {0} a (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2}) \ Rightarrow a_ {0} = a \ gamma (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2})}

ne împărțim la $m_{0}$ ${\ displaystyle m_ {0}}$ $m_ {0}$ și înlocuiți variabila $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ cu ${\frac {dv}{dt}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dv} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dv} {dt}}}$

a_{0}dt=dv\gamma (1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{2})

{\ displaystyle a_ {0} dt = dv \ gamma (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2})}

{\ displaystyle a_ {0} dt = dv \ gamma (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2})}

acum ne putem integra

\int _{0}^{t}a_{0}dt=\int _{0}^{t}\gamma (1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{2})dv

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} a_ {0} dt = \ int _ {0} ^ {t} \ gamma (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2} }} \ cdot \ gamma ^ {2}) dv}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} a_ {0} dt = \ int _ {0} ^ {t} \ gamma (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2} }} \ cdot \ gamma ^ {2}) dv}

a_{0}t=v(t)\cdot \gamma (t)

{\ displaystyle a_ {0} t = v (t) \ cdot \ gamma (t)}

{\ displaystyle a_ {0} t = v (t) \ cdot \ gamma (t)}

acum exprimăm totul în funcție de v (t)

a_{0}t={\frac {v(t)}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}}}}\Rightarrow a_{0}^{2}t^{2}={\frac {v^{2}(t)}{1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}}}

{\ displaystyle a_ {0} t = {\ frac {v (t)} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}}}} \ Rightarrow a_ {0} ^ {2} t ^ {2} = {\ frac {v ^ {2} (t)} {1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}} }}}}

{\ displaystyle a_ {0} t = {\ frac {v (t)} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}}}} \ Rightarrow a_ {0} ^ {2} t ^ {2} = {\ frac {v ^ {2} (t)} {1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}} }}}}

(1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}})a_{0}^{2}t^{2}=v^{2}(t)\Rightarrow a_{0}^{2}t^{2}-{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}\cdot v^{2}(t)-v^{2}(t)=0\Rightarrow v^{2}(t)({\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}+1)=a_{0}^{2}t^{2}

{\ displaystyle (1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}) a_ {0} ^ {2} t ^ {2} = v ^ {2} (t) \ Rightarrow a_ {0} ^ {2} t ^ {2} - {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot v ^ {2} ( t) -v ^ {2} (t) = 0 \ Rightarrow v ^ {2} (t) ({\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} +1) = a_ {0} ^ {2} t ^ {2}}

{\ displaystyle (1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}) a_ {0} ^ {2} t ^ {2} = v ^ {2} (t) \ Rightarrow a_ {0} ^ {2} t ^ {2} - {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot v ^ {2} ( t) -v ^ {2} (t) = 0 \ Rightarrow v ^ {2} (t) ({\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} +1) = a_ {0} ^ {2} t ^ {2}}

in concluzie

v(t)={\frac {a_{0}t}{\sqrt {1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}

{\ displaystyle v (t) = {\ frac {a_ {0} t} {\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}}

{\ displaystyle v (t) = {\ frac {a_ {0} t} {\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}}

pentru a obține legea orară va fi suficient să se integreze $v(t)$ ${\ displaystyle v (t)}$ $v (t)$ în $d t$ ${\ displaystyle dt}$ $dt$ în timp ce pentru a avea tendința de accelerație, va fi necesar să se realizeze derivata

a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)

{\ displaystyle a (t) = {\ frac {d} {dt}} v (t)}

{\ displaystyle a (t) = {\ frac {d} {dt}} v (t)}

s(t)=\int v(t)dt

{\ displaystyle s (t) = \ int v (t) dt}

{\ displaystyle s (t) = \ int v (t) dt}

iar rezultatele respective sunt

a(t)={\frac {a_{0}}{(1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}

{\ displaystyle a (t) = {\ frac {a_ {0}} {(1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}) ^ { \ frac {3} {2}}}}}

{\ displaystyle a (t) = {\ frac {a_ {0}} {(1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}) ^ { \ frac {3} {2}}}}}

s(t)={\frac {c^{2}}{a_{0}}}\cdot ({\sqrt {1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1)

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0}}} \ cdot ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2 }} {c ^ {2}}}}} - 1)}

{\ displaystyle s (t) = {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0}}} \ cdot ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2 }} {c ^ {2}}}}} - 1)}

Generalizarea legilor clasice

Aceste formule sunt valabile pentru orice perioadă de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ cu toate acestea, ele nu pot contrazice ceea ce susține fizica newtoniană. Aceste legi trebuie să fie valabile pentru t foarte mici, de aceea vom arăta că aceste legi sunt un caz particular al celor obținute din dinamica relativistă. Pentru a face acest lucru, folosim expansiunile seriei lui Taylor în 0 și vom obține următoarele rezultate

\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {a_{0}}{(1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}=a_{0}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {a_ {0}} {(1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}} }) ^ {\ frac {3} {2}}}} = a_ {0}}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {a_ {0}} {(1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}} }) ^ {\ frac {3} {2}}}} = a_ {0}}

\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {a_{0}t}{\sqrt {1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}=a_{0}t

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {a_ {0} t} {\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ { 2}}}}}} = a_ {0} t}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {a_ {0} t} {\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ { 2}}}}}} = a_ {0} t}

\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {c^{2}}{a_{0}}}\cdot ({\sqrt {1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1)={\frac {1}{2}}a_{0}t^{2}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0}}} \ cdot ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}} - 1) = {\ frac {1} {2}} a_ {0} t ^ {2}}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0}}} \ cdot ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}} - 1) = {\ frac {1} {2}} a_ {0} t ^ {2}}

În schimb, confirmăm că aceste ecuații sunt valabile, deoarece au o limită de $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ pentru valori de $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ foarte mare, adică $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$

\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{(1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}=0

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {0}} {(1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2} }}) ^ {\ frac {3} {2}}}} = 0}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {0}} {(1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2} }}) ^ {\ frac {3} {2}}}} = 0}

\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}t}{\sqrt {1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}=c

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {0} t} {\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = c}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {0} t} {\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = c}

\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {c^{2}}{a_{0}}}\cdot ({\sqrt {1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1)=\infty

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0}}} \ cdot ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2 } t ^ {2}} {c ^ {2}}}}} - 1) = \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0}}} \ cdot ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ {2 } t ^ {2}} {c ^ {2}}}}} - 1) = \ infty}

Conturile se adaugă: accelerarea este o funcție a lui t care are o asimptotă orizontală în 0, în timp ce $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ are o asimptotă oblică cu panta egală cu c

\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {s(t)}{t}}=>

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {s (t)} {t}} =>}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {s (t)} {t}} =>}

\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {c^{2}}{a_{0}t}}\cdot ({\sqrt {1+{\frac {a_{0}^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1)=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {c^{2}}{a_{0}t}}\cdot ({\frac {a_{0}t}{c}}-1)=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {c^{2}}{a_{0}t}}\cdot {\frac {a_{0}t}{c}}=c

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0} t}} \ cdot ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ { 2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}} - 1) = \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0} t}} \ cdot ({\ frac {a_ {0} t} {c}} - 1) = \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0} t}} \ cdot {\ frac {a_ {0} t} {c}} = c}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0} t}} \ cdot ({\ sqrt {1 + {\ frac {a_ {0} ^ { 2} t ^ {2}} {c ^ {2}}}}} - 1) = \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0} t}} \ cdot ({\ frac {a_ {0} t} {c}} - 1) = \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {c ^ {2}} {a_ {0} t}} \ cdot {\ frac {a_ {0} t} {c}} = c}

Forța variabilă

Să examinăm acum cazul în care forța la care este supus corpul nostru nu este constantă în timp, ci variază. Aceasta înseamnă că nu ne mai putem referi la a $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ , dar va trebui să găsim o nouă magnitudine pentru a ne referi la care vom găsi că este munca efectuată în deplasare.

Pașii anteriori se aplică până în acest moment:

F=\gamma m_{0}a(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{2})

{\ displaystyle F = \ gamma m_ {0} a (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2})}

{\ displaystyle F = \ gamma m_ {0} a (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2})}

Să continuăm

Fdt=\gamma m_{0}(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{2})dv

{\ displaystyle Fdt = \ gamma m_ {0} (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2}) dv}

{\ displaystyle Fdt = \ gamma m_ {0} (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2}) dv}

În acest moment, prin integrare am obține un impuls instantaneu în stânga egalității și întrucât aceasta din urmă este o cantitate care nu este ușor de măsurat, ca să nu mai vorbim că rezultatul ne spune doar ceea ce știam deja despre impuls, este convenabil să utilizați o altă cantitate:

$I(t)=m_{0}\gamma (t)v(t)$ ${\ displaystyle I (t) = m_ {0} \ gamma (t) v (t)}$ ${\ displaystyle I (t) = m_ {0} \ gamma (t) v (t)}$

Prin urmare, operăm după cum urmează, folosind diferențialul de spațiu în loc de cel al timpului, schimbându-l prin intermediul relației cu viteza $v={\frac {ds}{dt}}=>dt={\frac {ds}{v}}$ ${\ displaystyle v = {\ frac {ds} {dt}} => dt = {\ frac {ds} {v}}}$ ${\ displaystyle v = {\ frac {ds} {dt}} => dt = {\ frac {ds} {v}}}$

Fds=\gamma m_{0}v(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{2})dv

{\ displaystyle Fds = \ gamma m_ {0} v (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2}) dv}

{\ displaystyle Fds = \ gamma m_ {0} v (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2}) dv}

În acest moment, prin integrare, obținem următoarele egalități

\int _{0}^{t}Fds=m_{0}\cdot \int _{0}^{t}\gamma v(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\cdot \gamma ^{2})dv

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} Fds = m_ {0} \ cdot \ int _ {0} ^ {t} \ gamma v (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2}) dv}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} Fds = m_ {0} \ cdot \ int _ {0} ^ {t} \ gamma v (1 + {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ cdot \ gamma ^ {2}) dv}

L(t)=m_{0}(\int _{0}^{t}\gamma vdv+{\frac {1}{c^{2}}}\int _{0}^{t}v^{3}\cdot \gamma ^{3}dv)

{\ displaystyle L (t) = m_ {0} (\ int _ {0} ^ {t} \ gamma vdv + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {t } v ^ {3} \ cdot \ gamma ^ {3} dv)}

{\ displaystyle L (t) = m_ {0} (\ int _ {0} ^ {t} \ gamma vdv + {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {t } v ^ {3} \ cdot \ gamma ^ {3} dv)}

cunoscând definiția Muncii $dL=Fds$ ${\ displaystyle dL = Fds}$ ${\ displaystyle dL = Fds}$

Rezolvăm integralele separat și obținem următoarele rezultate:

$\int _{0}^{t}\gamma vdv=c^{2}\cdot (1-{\frac {1}{\gamma }})$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} \ gamma vdv = c ^ {2} \ cdot (1 - {\ frac {1} {\ gamma}})}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} \ gamma vdv = c ^ {2} \ cdot (1 - {\ frac {1} {\ gamma}})}$
$\int _{0}^{t}\gamma ^{3}v^{3}dv=c^{4}(\gamma +{\frac {1}{\gamma }}-2)$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} \ gamma ^ {3} v ^ {3} dv = c ^ {4} (\ gamma + {\ frac {1} {\ gamma}} - 2)}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} \ gamma ^ {3} v ^ {3} dv = c ^ {4} (\ gamma + {\ frac {1} {\ gamma}} - 2)}$

Prin înlocuire

{\frac {L(t)}{m_{0}}}=c^{2}\cdot (1-{\frac {1}{\gamma }})+c^{2}\cdot (\gamma +{\frac {1}{\gamma }}-2)

{\ displaystyle {\ frac {L (t)} {m_ {0}}} = c ^ {2} \ cdot (1 - {\ frac {1} {\ gamma}}) + c ^ {2} \ cdot (\ gamma + {\ frac {1} {\ gamma}} - 2)}

{\ displaystyle {\ frac {L (t)} {m_ {0}}} = c ^ {2} \ cdot (1 - {\ frac {1} {\ gamma}}) + c ^ {2} \ cdot (\ gamma + {\ frac {1} {\ gamma}} - 2)}

{\frac {L(t)}{m_{0}}}=c^{2}\cdot (1-{\frac {1}{\gamma }}+\gamma +{\frac {1}{\gamma }}-2)

{\ displaystyle {\ frac {L (t)} {m_ {0}}} = c ^ {2} \ cdot (1 - {\ frac {1} {\ gamma}} + \ gamma + {\ frac {1 } {\ gamma}} - 2)}

{\ displaystyle {\ frac {L (t)} {m_ {0}}} = c ^ {2} \ cdot (1 - {\ frac {1} {\ gamma}} + \ gamma + {\ frac {1 } {\ gamma}} - 2)}

{\frac {L(t)}{m_{0}}}=c^{2}\cdot (\gamma -1)

{\ displaystyle {\ frac {L (t)} {m_ {0}}} = c ^ {2} \ cdot (\ gamma -1)}

{\ displaystyle {\ frac {L (t)} {m_ {0}}} = c ^ {2} \ cdot (\ gamma -1)}

Deci, exprimăm totul în funcție de $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$

{\frac {L(t)}{m_{0}c^{2}}}+1=\gamma =>(1+L(t)/m_{0}c^{2})^{2}={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {L (t)} {m_ {0} c ^ {2}}} + 1 = \ gamma => (1 + L (t) / m_ {0} c ^ {2}) ^ {2} = {\ frac {1} {1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {L (t)} {m_ {0} c ^ {2}}} + 1 = \ gamma => (1 + L (t) / m_ {0} c ^ {2}) ^ {2} = {\ frac {1} {1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}}}}

(1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}})\cdot (1+L(t)/m_{0}c^{2})^{2}=1=>1-{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}={\frac {1}{(1+L(t)/m_{0}c^{2})^{2}}}

{\ displaystyle (1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}) \ cdot (1 + L (t) / m_ {0} c ^ {2}) ^ { 2} = 1 => 1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}} = {\ frac {1} {(1 + L (t) / m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}}}}

{\ displaystyle (1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}}) \ cdot (1 + L (t) / m_ {0} c ^ {2}) ^ { 2} = 1 => 1 - {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}} = {\ frac {1} {(1 + L (t) / m_ {0} c ^ {2}) ^ {2}}}}

{\frac {v^{2}(t)}{c^{2}}}=1-{\frac {1}{(1+{\frac {L(t)}{m_{0}c^{2}}})^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}} = 1 - {\ frac {1} {(1 + {\ frac {L (t)} {m_ {0 } c ^ {2}}}) ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2} (t)} {c ^ {2}}} = 1 - {\ frac {1} {(1 + {\ frac {L (t)} {m_ {0 } c ^ {2}}}) ^ {2}}}}

v(t)=c{\sqrt {1-{\frac {1}{(1+{\frac {L(t)}{m_{0}c^{2}}})^{2}}}}}

{\ displaystyle v (t) = c {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {(1 + {\ frac {L (t)} {m_ {0} c ^ {2}}}) ^ {2 }}}}}}

{\ displaystyle v (t) = c {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {(1 + {\ frac {L (t)} {m_ {0} c ^ {2}}}) ^ {2 }}}}}}

Folosind seria lui Taylor pentru $t\rightarrow 0,L\rightarrow 0$ ${\ displaystyle t \ rightarrow 0, L \ rightarrow 0}$ ${\ displaystyle t \ rightarrow 0, L \ rightarrow 0}$

v(t)={\sqrt {2{\frac {L(t)}{m_{0}}}}}=>{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}(t)=L(t)

{\ displaystyle v (t) = {\ sqrt {2 {\ frac {L (t)} {m_ {0}}}}} => {\ frac {1} {2}} m_ {0} v ^ { 2} (t) = L (t)}

{\ displaystyle v (t) = {\ sqrt {2 {\ frac {L (t)} {m_ {0}}}}} => {\ frac {1} {2}} m_ {0} v ^ { 2} (t) = L (t)}

Și, de fapt, munca noastră exercitată asupra corpului este cea utilizată exclusiv pentru deplasare și, prin urmare, este transformată în energie cinetică . De asemenea, putem verifica cu ușurință dacă limita de $v(t)$ ${\ displaystyle v (t)}$ $v (t)$ pentru $t\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ : asta înseamnă că pentru câtă energie furnizăm unui corp, dacă încercăm să o transformăm totul în energie cinetică, am obține întotdeauna viteze mai apropiate de $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ și niciodată mai sus.

Notă

Atenție, studiul tratat aici implică un spațiu-timp care nu este curbat prin surse destabilizatoare, cum ar fi mase sau câmpuri de orice fel.

În plus, cantitățile vectoriale tratate au fost considerate aplicate de-a lungul unei direcții egale.

Elemente conexe

Surse

„Evoluția fizicii” Vol 3A - GP Parodi, M. Ostili, G.Mochi Onori
Studii personale

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica