Coeficientul multinomial

Coeficientul multinomial este o extensie a coeficientului binomial . Pentru un număr întreg negativ $n,$ ${\ displaystyle n,}$ $n,$ și un vector întreg negativ $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf k$ de obicei una ( $\|\mathbf {k} \|_{1}$ ${\ displaystyle \ | \ mathbf {k} \ | _ {1}}$ $\ | {\ mathbf k} \ | _ {1}$ ) egal cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , coeficientul multinomial este definit ca

{n \choose \mathbf {k} }:={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{r}k_{i}!}},

{\ displaystyle {n \ choose \ mathbf {k}}: = {\ frac {n!} {\ prod _ {i = 1} ^ {r} k_ {i}!}},}

{n \ choose {\ mathbf k}}: = {\ frac {n!} {\ prod _ {{i = 1}} ^ {r} k_ {i}!}},

și este întotdeauna un număr natural .

( ${\prod _{i=1}^{r}}$ ${\ displaystyle {\ prod _ {i = 1} ^ {r}}}$ ${\ displaystyle {\ prod _ {i = 1} ^ {r}}}$ este simbolul producției ).

Teorema multinomială

Ca generalizare a teoremei binomiale, așa-numita teoremă multinomială susține:

(x_{1}+\ldots +x_{r})^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n \choose k_{1},\ldots ,k_{r}}\cdot \prod _{i=1}^{r}x_{i}^{k_{i}},

{\ displaystyle (x_ {1} + \ ldots + x_ {r}) ^ {n} = \ sum _ {k_ {1} + \ ldots + k_ {r} = n} {n \ alege k_ {1}, \ ldots, k_ {r}} \ cdot \ prod _ {i = 1} ^ {r} x_ {i} ^ {k_ {i}},}

(x_ {1} + \ ldots + x_ {r}) ^ {n} = \ sum _ {{k_ {1} + \ ldots + k_ {r} = n}} {n \ alege k_ {1}, \ ldots, k_ {r}} \ cdot \ prod _ {{i = 1}} ^ {r} x_ {i} ^ {{k_ {i}}},

adică

{\bigg (}\sum _{i=1}^{r}x_{i}{\bigg )}^{n}=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}{n!\cdot \prod _{i=1}^{r}{\frac {x_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}},

{\ displaystyle {\ bigg (} \ sum _ {i = 1} ^ {r} x_ {i} {\ bigg)} ^ {n} = \ sum _ {k_ {1} + \ ldots + k_ {r} = n} {n! \ cdot \ prod _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {x_ {i} ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}}},}

{\ bigg (} \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} x_ {i} {\ bigg)} ^ {n} = \ sum _ {{k_ {1} + \ ldots + k_ {r} = n}} {n! \ cdot \ prod _ {{i = 1}} ^ {r} {\ frac {x_ {i} ^ {{k_ {i}}}} {k_ {i}!}}} ,

unde este $\sum _{k_{1}+\ldots +k_{r}=n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k_ {1} + \ ldots + k_ {r} = n}}$ $\ sum _ {{k_ {1} + \ ldots + k_ {r} = n}}$ indică suma tuturor posibilelor erruple a căror sumă a elementelor corespunde exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

O formă mai compactă a formulei anterioare folosește notația multi-index și contracția tensorului :

x^{n}=\sum _{k=n}n!{\frac {\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }}{\mathbf {k} !}},

{\ displaystyle x ^ {n} = \ sum _ {k = n} n! {\ frac {\ mathbf {x} ^ {\ mathbf {k}}} {\ mathbf {k}!}},}

x ^ {n} = \ sum _ {{k = n}} n! {\ frac {{\ mathbf x} ^ {{{\ mathbf k}}}} {{\ mathbf k}!}},

cu regulile unitare :

k=\sum _{i=1}^{r}k_{i}=\left\|\mathbf {k} \right\|_{1},

{\ displaystyle k = \ sum _ {i = 1} ^ {r} k_ {i} = \ left \ | \ mathbf {k} \ right \ | _ {1},}

k = \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} k_ {i} = \ left \ | {\ mathbf k} \ right \ | _ {1},

x=\sum _{i=1}^{r}x_{i}=\left\|\mathbf {x} \right\|_{1},

{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {r} x_ {i} = \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {1},}

x = \ sum _ {{i = 1}} ^ {r} x_ {i} = \ left \ | {\ mathbf x} \ right \ | _ {1},

Și:

\mathbf {x} ^{\mathbf {k} }=(x_{1}^{k_{1}},x_{2}^{k_{2}},\ldots ,x_{r}^{k_{r}})\in \mathbb {R} ^{r}.

{\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ mathbf {k}} = (x_ {1} ^ {k_ {1}}, x_ {2} ^ {k_ {2}}, \ ldots, x_ {r} ^ {k_ {r}}) \ in \ mathbb {R} ^ {r}.}

{\ mathbf {x}} ^ {{{\ mathbf k}}} = (x _ {{1}} ^ {{k _ {{1}}}}, x _ {{2}} ^ {{k _ {{2}}}}, \ ldots, x _ {{r}} ^ {{k _ {{r}}}}) \ in \ mathbb {R} ^ {r}.

Aplicații

Coeficientul multinomial este egal cu numărul de moduri în care pot fi puse $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ obiecte din $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cutii, astfel încât $k_{1}$ ${\ displaystyle k_ {1}}$ $k_1$ articolele se potrivesc în prima cutie, $k_{2}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$ $k_2$ în al doilea și așa mai departe.

Mai mult, coeficientul multinomial dă numărul de permutări ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ obiecte, dintre care $k_{1}$ ${\ displaystyle k_ {1}}$ $k_1$ egali unul cu celălalt, $k_{2}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$ $k_2$ egali unul cu altul și așa mai departe, oricine fiind capabil $k_{i}$ ${\ displaystyle k_ {i}}$ $k_ {i}$ fie egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , și având astfel $\sum _{i=1}^{r}k_{i}=n$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {r} k_ {i} = n}$ $\ sum _ {{i = 1}} ^ {r} k_ {i} = n$ .

Coeficientul multinomial este, de asemenea, utilizat în definiția variabilei aleatoare multinomiale :

P(\mathbf {x} =\mathbf {k} )={n \choose \mathbf {k} }\cdot \prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}},

{\ displaystyle P (\ mathbf {x} = \ mathbf {k}) = {n \ alege \ mathbf {k}} \ cdot \ prod _ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {k_ { }},}

P ({\ mathbf x} = {\ mathbf k}) = {n \ alege {\ mathbf k}} \ cdot \ prod _ {{i = 1}} ^ {r} p_ {i} ^ {{k_ { }}},

o variabilă discretă aleatorie .

Exemplu

Există mai multe modalități de a împărți câte 10 cărți la fiecare 3 jucători, punând 2 deoparte, toate luate dintr-un pachet de 32 de cărți (ca în jocul tradițional german de cărți skat ). Câte sunt aceste căi?

{32 \choose 10,10,10,2}={\frac {32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!}}=2.753.294.408.504.640

{\ displaystyle {32 \ choose 10,10,10,2} = {\ frac {32!} {10! \ cdot 10! \ cdot 10! \ cdot 2!}} = 2.753.294.408.504.640}

{32 \ choose 10,10,10,2} = {\ frac {32!} {10! \ Cdot 10! \ Cdot 10! \ Cdot 2!}} = 2.753.294.408.504.640

Elemente conexe

linkuri externe

( EN )Coeficient multinomial , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică