Controlul în liniarizarea feedback-ului

Controlul liniarizării feedback-ului este o tehnică de bază utilizată în controlul sistemelor neliniare . Această abordare constă în transformarea unui sistem neliniar într-un sistem liniar echivalent, grație unei schimbări de variabile și a unei intrări special alese. Liniarizarea feedback-ului poate fi aplicată acelor sisteme neliniare care pot fi rescrise în următoarea formă

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = f (x) + g (x) u \ qquad & (1) \\ y & = h (x) \ qquad \ qquad \ qquad & (2) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} & = f (x) + g (x) u \ qquad & (1) \\ y & = h (x) \ qquad \ qquad \ qquad & (2) \ end {align}}}

unde este $x\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ este vectorul de stare, $u\in \mathbb {R} ^{p}$ ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ este vectorul de intrare e $y\in \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$ este vectorul de ieșire. Scopul este de a dezvolta un vector de intrare

u=a(x)+b(x)v

{\ displaystyle u = a (x) + b (x) v}

{\ displaystyle u = a (x) + b (x) v}

ceea ce face funcția intrare-ieșire liniară între noua intrare $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ și ieși $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . În acest moment poate fi aplicată o strategie clasică de control pentru sistemele liniare.

Rețineți că, spre deosebire de tehnicile clasice de liniarizare, cum ar fi expansiunea Taylor , care aproximează o funcție neliniară la una liniară într-un anumit vecinătate, liniarizarea feedback-ului transformă exact sistemul buclă închisă într-un sistem liniar.

Liniarizarea feedback-ului sistemelor SISO

Luați în considerare cazul de liniarizare a feedback-ului unui sistem cu o singură intrare și o singură ieșire ( SISO ). Rezultatele obținute pot fi însă extinse cu ușurință în cazul sistemelor cu intrări multiple și ieșiri multiple ( MIMO ). Deci, în acest caz, $u\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u \ in \ mathbb {R}}$ Și $y\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$ . Scopul este de a găsi o transformare a coordonatelor $z=T(x)$ ${\ displaystyle z = T (x)}$ ${\ displaystyle z = T (x)}$ care aduce sistemul (1) în așa-numita formă normală:

{\dot {z}}=Az+bv

{\ displaystyle {\ dot {z}} = Az + bv}

{\ displaystyle {\ dot {z}} = Az + bv}

cu

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}{\mbox{ and }}b={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 0 \ end {bmatrix}} {\ mbox {and}} b = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ \ vdots \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 0 \ end {bmatrix}} {\ mbox {and}} b = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ \ vdots \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}

grație unei legi a controlului formei

u=a(x)+b(x)v

{\ displaystyle u = a (x) + b (x) v}

{\ displaystyle u = a (x) + b (x) v}

.

Pentru a se asigura că sistemul transformat este o reprezentare echivalentă a sistemului original, transformarea trebuie să fie un difeomorfism . Adică, transformarea nu trebuie să fie numai inversabilă (bijectivă), ci atât transformarea cât și inversul acesteia trebuie să fie netede, astfel încât diferențialitatea în sistemul de coordonate original să fie păstrată în noul sistem. În practică, transformarea poate fi, de asemenea, doar local diferită, dar, desigur, liniarizarea rezultată va avea loc numai local.

Înainte de a rezolva această problemă, trebuie introduse o serie de instrumente matematice.

Derivat de minciună

Scopul liniarizării feedback-ului este de a produce un sistem transformat a cărui stare este compusă din ieșire $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și de la primul său $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ derivat. Pentru a construi structura acestui nou sistem, vor fi utilizate derivate Lie . Luați în considerare derivata în ceea ce privește timpul de (2), care poate fi calculat grație regulii lanțului ,

{\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} t}}&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x)+{\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x)u\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {y}} = {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} t}} & = {\ frac {\ operatorname {d } h (x)} {\ operatorname {d} x}} {\ dot {x}} \\ & = {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} x}} f (x) + {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} x}} g (x) u \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {y}} = {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} t}} & = {\ frac {\ operatorname {d } h (x)} {\ operatorname {d} x}} {\ dot {x}} \\ & = {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} x}} f (x) + {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} x}} g (x) u \ end {align}}}

Putem defini acum derivata Lie a lui $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ lung $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ca,

L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x),

{\ displaystyle L_ {f} h (x) = {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} x}} f (x),}

{\ displaystyle L_ {f} h (x) = {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} x}} f (x),}

și în mod similar, derivatul Lie al lui $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ lung $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ ca,

L_{g}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x).

{\ displaystyle L_ {g} h (x) = {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} x}} g (x).}

{\ displaystyle L_ {g} h (x) = {\ frac {\ operatorname {d} h (x)} {\ operatorname {d} x}} g (x).}

Cu această nouă notație, ea poate fi exprimată ${\dot {y}}$ ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$ ca,

{\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u

{\ displaystyle {\ dot {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}

{\ displaystyle {\ dot {y}} = L_ {f} h (x) + L_ {g} h (x) u}

Rețineți că notația Lie este convenabilă atunci când se iau în considerare derivatele succesive cu privire la același vector sau la altul. De exemplu,

L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}f(x),

{\ displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ operatorname {d} (L_ {f} h (x))} { \ operatorname {d} x}} f (x),}

{\ displaystyle L_ {f} ^ {2} h (x) = L_ {f} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ operatorname {d} (L_ {f} h (x))} { \ operatorname {d} x}} f (x),}

Și

L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}g(x).

{\ displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ operatorname {d} (L_ {f} h (x))} {\ operatorname {d} x}} g (x). }

{\ displaystyle L_ {g} L_ {f} h (x) = {\ frac {\ operatorname {d} (L_ {f} h (x))} {\ operatorname {d} x}} g (x). }

Gradul relativ

În sistemul liniarizat al cărui vector de stare este ieșirea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și de la primul său $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ derivate, trebuie înțeleasă ca intrare $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ intră în sistem. Pentru a face acest lucru, trebuie introdusă noțiunea de grad relativ. Se spune că sistemul nostru dat de (1) și (2) are un grad relativ $r\in \mathbb {W}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {W}}$ ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {W}}$ până la punctul $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de sine,

L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x

{\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} h (x) = 0 \ qquad \ forall x}

{\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {k} h (x) = 0 \ qquad \ forall x}

într-un cartier al

x_{0}

{\ displaystyle x_ {0}}

x_0

Și

k\leq r-2

{\ displaystyle k \ leq r-2}

{\ displaystyle k \ leq r-2}

L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0

{\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) \ neq 0}

{\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {r-1} h (x_ {0}) \ neq 0}

Având în vedere această definiție a gradului relativ și semnificația derivatei Lie a lui $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , gradul relativ al sistemelor (1) și (2) poate fi considerat a fi numărul de ori și vectorul de ieșire $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ trebuie diferențiat înainte de intrare $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ apar în mod explicit. Într-un sistem liniar invariant în timp , gradul relativ este definit în mod echivalent ca diferența dintre gradul numitorului polinomial al funcției de transfer (adică numărul de poli ) și gradul numărătorului său polinomial (adică numărul de zerouri ).

Linealizare prin feedback

Să presupunem că gradul relativ al sistemului este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . În acest caz, după diferențierea ieșirii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ uneori ai,

{\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y & = h (x) \\ {\ dot {y}} & = L_ {f} h (x) \\ {\ ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) \\ & \ vdots \\ y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) \\ y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} y & = h (x) \\ {\ dot {y}} & = L_ {f} h (x) \\ {\ ddot {y}} & = L_ {f} ^ {2} h (x) \\ & \ vdots \\ y ^ {(n-1)} & = L_ {f} ^ {n-1} h (x) \\ y ^ {(n)} & = L_ {f} ^ {n} h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {align}}}

unde notația $y^{(n)}$ ${\ displaystyle y ^ {(n)}}$ ${\ displaystyle y ^ {(n)}}$ indică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -al derivat al $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Deoarece se presupune că gradul relativ al sistemului este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , derivatele Lie ale formei $L_{g}L_{f}^{i}h(x)$ ${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$ ${\ displaystyle L_ {g} L_ {f} ^ {i} h (x)}$ pentru $i=1,\dots ,n-2$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, n-2}$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, n-2}$ vor fi identice nule. Cu alte cuvinte, intrarea $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ nu aduce o contribuție directă la niciuna dintre primele $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ derivat.

Transformarea coordonatelor $T(x)$ ${\ displaystyle T (x)}$ $T (x)$ care aduce sistemul în formă normală provine din prima $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ derivat. În special,

z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}

{\ displaystyle z = T (x) = {\ begin {bmatrix} z_ {1} (x) \\ z_ {2} (x) \\\ vdots \\ z_ {n} (x) \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} y \\ {\ dot {y}} \\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} h (x) \\ L_ {f} h (x) \\\ vdots \\ L_ {f} ^ {n-1} h (x) \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle z = T (x) = {\ begin {bmatrix} z_ {1} (x) \\ z_ {2} (x) \\\ vdots \\ z_ {n} (x) \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} y \\ {\ dot {y}} \\\ vdots \\ y ^ {(n-1)} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} h (x) \\ L_ {f} h (x) \\\ vdots \\ L_ {f} ^ {n-1} h (x) \ end {bmatrix}}}

transforma traiectorii din sistemul de coordonate original $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în noul sistem de coordonate $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Deoarece această transformare este un difeomorfism , traiectorii netede în sistemul de coordonate original vor avea un singur omolog în sistemul de coordonate $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , de asemenea netedă. Aceste traiectorii $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ va fi descris de noul sistem,

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) \\ {\ dot {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {cases}}.}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = L_ {f} h (x) = z_ {2} (x) \\ {\ dot {z}} _ {2 } & = L_ {f} ^ {2} h (x) = z_ {3} (x) \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = L_ {f} ^ {n } h (x) + L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x) u \ end {cases}}.}

Prin urmare, legea controlului în feedback

u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)

{\ displaystyle u = {\ frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}

{\ displaystyle u = {\ frac {1} {L_ {g} L_ {f} ^ {n-1} h (x)}} (- L_ {f} ^ {n} h (x) + v)}

face liniar raportul de intrare-ieșire din $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ la $z_{1}=y$ ${\ displaystyle z_ {1} = y}$ ${\ displaystyle z_ {1} = y}$ . Sistemul liniarizat rezultat

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = v \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {n} & = v \ end {cases}}}

este o serie de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ suplimente în cascadă. O lege de control $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ poate fi astfel ales folosind metodologii clasice pentru sisteme liniare. De exemplu, o lege de control al tipului

v=-Kz\qquad ,

{\ displaystyle v = -Kz \ qquad,}

{\ displaystyle v = -Kz \ qquad,}

unde vectorul de stat $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este ieșirea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ și primele sale $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ derivate, duce la sistemul liniar invariant în timp

{\dot {z}}=Az

{\ displaystyle {\ dot {z}} = Az}

{\ displaystyle {\ dot {z}} = Az}

cu,

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & \ ldots & -k_ {n} \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ 0 & 0 & 0 & \ ldots & 1 \\ - k_ {1} & -k_ {2} & - k_ {3} & \ ldots & -k_ {n} \ end {bmatrix}}.}

Deci, cu o alegere adecvată a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , polii sistemului liniarizat cu buclă închisă pot fi poziționați în mod arbitrar.

Dinamică zero instabilă

Liniarizarea feedback-ului poate fi utilizată pentru sisteme al căror grad relativ este mai mic de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Cu toate acestea, forma normală a sistemului va include zero dinamică (adică stări care nu sunt observabile din ieșirea sistemului) care poate fi instabilă. În cazul unei dinamici zero instabile, ar putea exista efecte dăunătoare în sistem, cum ar fi stările interne care cresc pe termen nelimitat. Pe de altă parte, dinamica zero ar putea fi, de asemenea, stabilă sau cel puțin controlabilă, astfel încât să ne putem asigura că stările interne nu cauzează probleme. În cazul gradului relativ $r<n$ ${\ displaystyle r <n}$ ${\ displaystyle r <n}$ , sistemul devine:

${\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{r}&=v\\{\dot {\eta }}&=q(z,\eta )\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {r} & = v \\ {\ dot {\ eta}} & = q (z, \ eta) \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {z}} _ {1} & = z_ {2} \\ {\ dot {z}} _ {2} & = z_ {3} \\ & \ vdots \\ {\ dot {z}} _ {r} & = v \\ {\ dot {\ eta}} & = q (z, \ eta) \ end {cases}}}$

unde s-a asumat o formă normală îngustă. Dinamica zero este reprezentată de următoarea ecuație:

${\dot {\eta }}=q(0,\eta )$ ${\ displaystyle {\ dot {\ eta}} = q (0, \ eta)}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ eta}} = q (0, \ eta)}$

cu o intrare astfel încât să resetați ieșirea pentru fiecare t.

Bibliografie

A. Isidori, Sisteme de control neliniar, ediția a treia, Springer Verlag, Londra, 1995.
HK Khalil, Sisteme neliniare, ediția a treia, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
M. Vidyasagar, Analiza sistemelor neliniare ediția a doua, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
B. Friedland, Advanced Control System Design Facsimile Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996.

Elemente conexe

Control neliniar

linkuri externe

ECE 758: Modelare și control neliniar al unui manipulator de articulație flexibil cu o singură legătură Arhivat 23 iulie 2008 la Arhiva Internet . - Explicația și aplicarea liniarizării feedback-ului.
ECE 758: Exemplu de liniarizare Ball-In-Tube - (EN) Aplicație simplă de liniarizare pentru un sistem care este deja în formă normală (adică nu este necesară schimbarea coordonatelor).

Portal de verificări automate

Portal de inginerie