Coordonatele Eddington-Finkelstein

În relativitate generală , coordonatele Eddington-Finkelstein sunt o pereche de sisteme de coordonate utilizate pentru a descrie geodezica radială nulă într-un spațiu-timp Schwarzschild , adică în jurul unei găuri negre perfect sferice. Geodeziile nule nu sunt altele decât liniile universului , adică traiectoriile în spațiu-timp, traversate de lumină; cele radiale sunt cele care sunt acoperite prin deplasarea directă dinspre sau către masa centrală. Acestea sunt numite după Arthur Stanley Eddington, care menționează acest sistem într-un articol din 1924 ^[1] și de la David Finkelstein, care îl dezvoltă într-un articol din 1958. ^[2]

Trăsătura remarcabilă a acestor coordonate derivă din faptul că cele introduse de Schwarzschild în 1916 ^[3] prezintă două singularități matematice : prima în centrul sistemului în sine, care reprezintă gaura neagră, și a doua pe o sferă care înconjoară gaura. și asta coincide cu orizontul evenimentelor . În schimb, cu coordonatele Eddington - Finkelstein, a doua singularitate este eliminată, demonstrând că nu este o adevărată singularitate fizică, ci doar un artefact datorat sistemului ales ^[4] , pentru care un observator care traversează orizontul evenimentelor în linie de principiu nu ar trebui să observe nimic.

Cu toate acestea, în scurtul articol din 1924 Eddington nu pare să observe această proprietate. ^[1]

Derivare

Soluția Schwarzschild în coordonate Schwarzschild, cu două dimensiuni spațiale suprimate, lăsând doar timpul t și distanța de centrul r .
În roșu , intrările geodezice nule:

-t=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|+costante

{\ displaystyle -t = r + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | + constant}

{\ displaystyle -t = r + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | + constant}

În albastru , geodezica nulă de ieșire:

t=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|+costante

{\ displaystyle t = r + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | + constant}

{\ displaystyle t = r + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | + constant}

În verde conurile de lumină pe marginile cărora se mișcă lumina, în timp ce în interior se deplasează obiectele materiale

Pornim de la metrica Schwarzschild , bazată pe un sistem de coordonate sferice :

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}\qquad (1)

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) \, dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) ^ {- 1} \, dr ^ {2} -r ^ {2} d \ Omega ^ {2} \ qquad (1)}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) \, dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) ^ {- 1} \, dr ^ {2} -r ^ {2} d \ Omega ^ {2} \ qquad (1)}

unde este

d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},

{\ displaystyle d \ Omega ^ {2} \ equiv d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2},}

{\ displaystyle d \ Omega ^ {2} \ equiv d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2},}

G este constanta gravitațională , M este masa găurii negre, semnătura este (+ - - -) și au fost utilizate unitățile naturale pentru care c = 1.

Dacă acum calculăm evoluția unei geodezice radiale ( $d\Omega ^{2}=0$ ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = 0}$ ) nimic ( $ds^{2}=0$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ ) (1) devine:

0=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}

{\ displaystyle 0 = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) \, dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) ^ {-1} \, dr ^ {2}}

{\ displaystyle 0 = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) \, dt ^ {2} - \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) ^ {-1} \, dr ^ {2}}

de la care

dt^{2}={\frac {dr^{2}}{\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{2}}}

{\ displaystyle dt ^ {2} = {\ frac {dr ^ {2}} {\ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) ^ {2}}}}

{\ displaystyle dt ^ {2} = {\ frac {dr ^ {2}} {\ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) ^ {2}}}}

prin urmare

\pm \,dt={\frac {dr}{\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)}}=dr+{\frac {2GM}{\left(r-2GM\right)}}dr

{\ displaystyle \ pm \, dt = {\ frac {dr} {\ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right)}} = dr + {\ frac {2GM} {\ left (r - 2GM \ dreapta)}} dr}

{\ displaystyle \ pm \, dt = {\ frac {dr} {\ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right)}} = dr + {\ frac {2GM} {\ left (r - 2GM \ dreapta)}} dr}

care prin integrare dă

\pm \,t=\int {\biggl (}1+{\frac {2GM}{\left(r-2GM\right)}}{\biggr )}dr=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|+costante\qquad (2)

{\ displaystyle \ pm \, t = \ int {\ biggl (} 1 + {\ frac {2GM} {\ left (r-2GM \ right)}} {\ biggr)} dr = r + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | + constant \ qquad (2)}

{\ displaystyle \ pm \, t = \ int {\ biggl (} 1 + {\ frac {2GM} {\ left (r-2GM \ right)}} {\ biggr)} dr = r + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | + constant \ qquad (2)}

^[5]

Adică o rază de lumină ajunge la distanță $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ din gaura neagră egală cu $2GM$ ${\ displaystyle 2GM}$ ${\ displaystyle 2GM}$ , care este raza Schwarzschild , într-un timp infinit, ^[6] prin urmare, nu o atinge niciodată.

Prin urmare, pentru un observator care se apropie de orizontul evenimentelor, coordonatele sale de timp conform lui Schwarzschild devin infinite (singularitate) și de aceea nici o informație nu poate fi transmisă în exterior de către un observator care traversează orizontul sau poate observa un obiect care traversează acel orizont, deși observatorul poate călători în continuare prin el.

Pe baza acestui rezultat, Tulllio Regge și John Wheeler , într-un articol din 1957, ^{[7] au} definit o nouă coordonată:

r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|

{\ displaystyle r ^ {*} = r + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right |}

{\ displaystyle r ^ {*} = r + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right |}

care a fost apoi redenumită de Wheeler coordonata broaștei țestoase , cu referire la faimosul paradox Zenon , în care Ahile nu ajunge niciodată la broasca țestoasă.

Coordonatele primite Eddington-Finkelstein

Soluția Schwarzschild în coordonatele Eddington-Finkelstein, cu două dimensiuni spațiale suprimate, lăsând doar timp

{\bar {t}}

{\ displaystyle {\ bar {t}}}

{\ bar {t}}

„avansat” (timpul rulează doar înainte) și distanța față de centrul r . În roșu , intrările geodezice nule

v

{\ displaystyle v}

v

. În albastru , geodezica nulă de ieșire. În verde conurile de lumină pe marginile cărora se mișcă lumina, în timp ce în interior se deplasează obiectele materiale. A subliniat un obiect care se încadrează în singularitate.

Acum, pentru a elimina singularitatea, ideea este de a transforma liniile de intrare în linii drepte care traversează orizontul, înlocuind timpul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ o nouă coordonată bazată pe cea a broaștei țestoase:

{\bar {t}}=t+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|

{\ displaystyle {\ bar {t}} = t + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right |}

{\ displaystyle {\ bar {t}} = t + 2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right |}

.

De fapt în acest fel (2), în cazul $-t$ ${\ displaystyle -t}$ ${\ displaystyle -t}$ , devine:

{\bar {t}}=-r+costante\qquad (3)

{\ displaystyle {\ bar {t}} = - r + constant \ qquad (3)}

{\ displaystyle {\ bar {t}} = - r + constant \ qquad (3)}

iar distanța scade odată cu creșterea timpului ${\bar {t}}$ ${\ displaystyle {\ bar {t}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {t}}}$ (geodezice primite) într-un mod liniar.

Prin înlocuire ${\bar {t}}$ ${\ displaystyle {\ bar {t}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {t}}}$ în (1) obținem coordonatele Eddington - Finkelstein introducând ^[8] ^[9] :

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)d{\bar {t}}^{2}-{\frac {4GM}{r}}\,d{\bar {t}}\,dr-\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) d {\ bar {t}} ^ {2} - {\ frac {4GM} {r}} \, d {\ bar {t}} \, dr- \ left (1 + {\ frac {2GM} {r}} \ right) \, dr ^ {2} -r ^ {2} d \ Omega ^ { 2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) d {\ bar {t}} ^ {2} - {\ frac {4GM} {r}} \, d {\ bar {t}} \, dr- \ left (1 + {\ frac {2GM} {r}} \ right) \, dr ^ {2} -r ^ {2} d \ Omega ^ { 2}}

,

așa cum a fost inițial derivat de Eddington și Finkelstein.

Prin definirea de noi coordonate $v={\bar {t}}+r$ ${\ displaystyle v = {\ bar {t}} + r}$ ${\ displaystyle v = {\ bar {t}} + r}$ , cunoscut sub numele de tempo avansat , puteți simplifica și mai mult metrica: ^[10] ^[9]

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}-2\,dv\,dr-r^{2}d\Omega ^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) dv ^ {2} -2 \, dv \, dr-r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) dv ^ {2} -2 \, dv \, dr-r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}

,

obținerea ca soluție $v=2r^{*}+costante$ ${\ displaystyle v = 2r ^ {*} + constantă}$ ${\ displaystyle v = 2r ^ {*} + constantă}$ , ^[11] din care

{\bar {t}}=r-4\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|+costante

{\ displaystyle {\ bar {t}} = r-4 \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | + constant}

{\ displaystyle {\ bar {t}} = r-4 \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | + constant}

care împreună cu (3) ne permite să construim graficul prezentat aici, în care în mod substanțial pe măsură ce crește timpul, distanța de la centru scade , descriind astfel evoluția temporală a unui obiect în prezența unei găuri negre.

Coordonatele de ieșire Eddington-Finkelstein

Soluția Schwarzschild în coordonatele Eddington-Finkelstein, cu două dimensiuni spațiale suprimate, lăsând doar timp

t^{*}

{\ displaystyle t ^ {*}}

{\ displaystyle t ^ {*}}

„întârziat” (timpul rulează numai înapoi) și distanța de la centrul r . În roșu , intrările geodezice nule

tu

{\ displaystyle u}

tu

. În albastru , geodezica nulă de ieșire. În verde conurile de lumină pe marginile cărora se mișcă lumina, în timp ce în interior se deplasează obiectele materiale.

Într-un mod complet analog, ne gândim la liniile de ieșire, definind:

t^{*}=t-2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|

{\ displaystyle t ^ {*} = t-2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right |}

{\ displaystyle t ^ {*} = t-2GM \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right |}

.

Astfel (2), în cazul $+t$ ${\ displaystyle + t}$ ${\ displaystyle + t}$ , devine:

t^{*}=r+costante

{\ displaystyle t ^ {*} = r + constantă}

{\ displaystyle t ^ {*} = r + constantă}

,

care sunt geodetria de ieșire, cu care apoi să se definească $u=t^{*}-r$ ${\ displaystyle u = t ^ {*} - r}$ ${\ displaystyle u = t ^ {*} - r}$ , cunoscut sub numele de timp întârziat , din care se obțin coordonatele de ieșire Eddington-Finkelstein : ^[12]

ds^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}+2\,du\,dr-r^{2}d\Omega ^{2}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) du ^ {2} +2 \, du \, dr-r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) du ^ {2} +2 \, du \, dr-r ^ {2} d \ Omega ^ {2}}

,

cu soluție $u=-2r^{*}+costante$ ${\ displaystyle u = -2r ^ {*} + constantă}$ ${\ displaystyle u = -2r ^ {*} + constantă}$ .

Alături de graficul corespunzător pentru $t^{*}$ ${\ displaystyle t ^ {*}}$ ${\ displaystyle t ^ {*}}$ , în care în mod substanțial pe măsură ce timpul crește , distanța față de centru crește, într-un mod opus și simetric în comparație cu cazul anterior, dând teoretic viață unei găuri albe , adică un obiect din care materia și lumina sunt expulzate. ^[13]

Relații cu alte sisteme de coordonate

În acest fel, în ambele sisteme, singularitatea la distanță $2GM$ ${\ displaystyle 2GM}$ ${\ displaystyle 2GM}$ din singularitatea centrală este eliminată și coordonatele Schwarzschild sunt extinse dincolo de orizontul evenimentelor, cu ceea ce se numește o extensie analitică, dar în două moduri diferite, adică cu două sisteme de coordonate distincte: unul pentru gaura neagră și unul pentru gaura albă .

Este posibil să extindeți în continuare coordonatele astfel încât să aveți ambele sisteme într-un singur grație coordonatelor Kruskal - Szekeres , în care, pe lângă cele două singularități (gaura neagră și gaura albă) și spațiul din afara lor, o a patra regiune simetrică apare spațiului din afara celor două singularități.

Mai mult, coordonatele Eddington - Finkelstein au o asemănare cu coordonatele Gullstrand-Painlevé, deoarece ambele sunt independente de timp și traversează orizontul evenimentelor atât în interior, cât și în exterior, ambele nu sunt diagonale ( hipersuprafețele "de timp" constante nu sunt ortogonale față de suprafețele cu constantă r ) și a doua au o metrică spațială plană, în timp ce hipersuprafețele spațiale (la „timp” constant) ale primelor sunt zero și au aceeași metrică ca un con nul în spațiul Minkowski ( $t=\pm r$ ${\ displaystyle t = \ pm r}$ ${\ displaystyle t = \ pm r}$ în spațiu-timp plat).

Notă

^ ^a ^b AS Eddington, O comparație a formulelor lui Whitehead și Einstein ( PDF ), în Nature , vol. 113, nr. 2832, februarie 1924, p. 192, Bibcode : 1924 Nat . 113..192E , DOI : 10.1038 / 113192a0 .
^ David Finkelstein, Asimetria trecut-viitor a câmpului gravitațional al unei particule punctiforme , în Phys. Rev. , vol. 110, 1958, pp. 965-967, bibcode : 1958PhRv..110..965F , DOI : 10.1103 / PhysRev.110.965 .
^ Karl Schwarzschild, Despre câmpul gravitațional al unei sfere de fluid incompresibil conform teoriei lui Einstein , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1916 (1916), pp. 424-434.
^ Robert M. Wald, 6.4 , în Relativitatea generală , 1984, p. 149.
„Două exemple simple care aruncă o oarecare lumină asupra naturii problemei” .
^ Ray d'Inverno, 16.4 Diagrama spațiu-timp în coordonatele Schwarzschild , în Introducing Einstein's Relativity , Oxford University Press, 1995, pp. 216-217, ISBN 0-19-859686-3 .
^ $r\rightarrow 2GM\Longrightarrow \ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\rightarrow \ln \left|1-1\right|=-\infty \,$ ${\ displaystyle r \ rightarrow 2GM \ Longrightarrow \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | \ rightarrow \ ln \ left | 1-1 \ right | = - \ infty \,}$ ${\ displaystyle r \ rightarrow 2GM \ Longrightarrow \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | \ rightarrow \ ln \ left | 1-1 \ right | = - \ infty \,}$
^ T.Regge, JA Wheeler, "Stabilitatea unei singularități Schwarzschild", Phys. Rev. 108 , 1063 (1957)
^ $d{\bar {t}}=dt+{\frac {2GM}{r-2GM}}dr$ ${\ displaystyle d {\ bar {t}} = dt + {\ frac {2GM} {r-2GM}} dr}$ ${\ displaystyle d {\ bar {t}} = dt + {\ frac {2GM} {r-2GM}} dr}$
^ ^a ^b Ray d'Inverno, 16.6 Eddington - Finkelstein coordonează , în Introducing Einstein's Relativity , Oxford University Press, 1995, pp. 219-221, ISBN 0-19-859686-3 .
^ Din definiția lui $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ da ai $d{\bar {t}}=dv-dr$ ${\ displaystyle d {\ bar {t}} = dv-dr}$ ${\ displaystyle d {\ bar {t}} = dv-dr}$ , care trebuie înlocuit în formula anterioară
^ În ceea ce privește derivarea formulei (2), având $d\Omega ^{2}=0$ ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = 0}$ Și $ds^{2}=0$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ , se calculează $dv/dr$ ${\ displaystyle dv / dr}$ ${\ displaystyle dv / dr}$ și apoi se integrează
^ Ray d'Inverno, 16.7 Orizonturi de evenimente , în Introducing Einstein's Relativity , Oxford University Press, 1995, p. 222, ISBN 0-19-859686-3 .
^ Ray d'Inverno, 16.8 găuri negre , în Introducing Einstein's Relativity , Oxford University Press, 1995, pp. 223-224, ISBN 0-19-859686-3 .

Bibliografie

Ray d'Inverno, Introducing Einstein's Relativity , Oxford University Press, 1995, ISBN 0-19-859686-3 .

Elemente conexe

Portalul relativității : accesați intrările Wikipedia referitoare la relativitate

[:2-1] AS Eddington, O comparație a formulelor lui Whitehead și Einstein ( PDF ), în Nature , vol. 113, nr. 2832, februarie 1924, p. 192, Bibcode : 1924 Nat . 113..192E , DOI : 10.1038 / 113192a0 .

[2] David Finkelstein, Asimetria trecut-viitor a câmpului gravitațional al unei particule punctiforme , în Phys. Rev. , vol. 110, 1958, pp. 965-967, bibcode : 1958PhRv..110..965F , DOI : 10.1103 / PhysRev.110.965 .

[3] Karl Schwarzschild, Despre câmpul gravitațional al unei sfere de fluid incompresibil conform teoriei lui Einstein , Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1916 (1916), pp. 424-434.

[4] Robert M. Wald, 6.4 , în Relativitatea generală , 1984, p. 149.
„Două exemple simple care aruncă o oarecare lumină asupra naturii problemei” .

[:0-5] Ray d'Inverno, 16.4 Diagrama spațiu-timp în coordonatele Schwarzschild , în Introducing Einstein's Relativity , Oxford University Press, 1995, pp. 216-217, ISBN 0-19-859686-3 .

[6] $r\rightarrow 2GM\Longrightarrow \ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|\rightarrow \ln \left|1-1\right|=-\infty \,$ ${\ displaystyle r \ rightarrow 2GM \ Longrightarrow \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | \ rightarrow \ ln \ left | 1-1 \ right | = - \ infty \,}$ ${\ displaystyle r \ rightarrow 2GM \ Longrightarrow \ ln \ left | {\ frac {r} {2GM}} - 1 \ right | \ rightarrow \ ln \ left | 1-1 \ right | = - \ infty \,}$

[7] T.Regge, JA Wheeler, "Stabilitatea unei singularități Schwarzschild", Phys. Rev. 108 , 1063 (1957)

[8] $d{\bar {t}}=dt+{\frac {2GM}{r-2GM}}dr$ ${\ displaystyle d {\ bar {t}} = dt + {\ frac {2GM} {r-2GM}} dr}$ ${\ displaystyle d {\ bar {t}} = dt + {\ frac {2GM} {r-2GM}} dr}$

[:1-9] Ray d'Inverno, 16.6 Eddington - Finkelstein coordonează , în Introducing Einstein's Relativity , Oxford University Press, 1995, pp. 219-221, ISBN 0-19-859686-3 .

[10] Din definiția lui $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ da ai $d{\bar {t}}=dv-dr$ ${\ displaystyle d {\ bar {t}} = dv-dr}$ ${\ displaystyle d {\ bar {t}} = dv-dr}$ , care trebuie înlocuit în formula anterioară

[11] În ceea ce privește derivarea formulei (2), având $d\Omega ^{2}=0$ ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle d \ Omega ^ {2} = 0}$ Și $ds^{2}=0$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle ds ^ {2} = 0}$ , se calculează $dv/dr$ ${\ displaystyle dv / dr}$ ${\ displaystyle dv / dr}$ și apoi se integrează

[12] Ray d'Inverno, 16.7 Orizonturi de evenimente , în Introducing Einstein's Relativity , Oxford University Press, 1995, p. 222, ISBN 0-19-859686-3 .

[13] Ray d'Inverno, 16.8 găuri negre , în Introducing Einstein's Relativity , Oxford University Press, 1995, pp. 223-224, ISBN 0-19-859686-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7] au

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]