Șir vibrant

În fizică și matematică , coarda vibratoare este un model pentru studiul corpurilor materiale care vibrează cu oscilații proprii fără a forța elemente externe. Studiul poate fi aplicat atât la frânghii tensionate infinit de flexibile, cât și la rigiditatea finită la îndoire, precum și la plăcile vibrante constrânse la o extremă sau la ambele și la alte cazuri intermediare în care rigiditatea joacă un rol deloc neglijabil.

Dacă un șir constrâns la o extremă este agitat cu o mișcare armonică, perturbarea rezultată (numită „undă armonică”) se mișcă luând forma unei funcții sinusoidale. Când un astfel de tren de propagare a undelor ajunge la capătul la care este legat șirul, propagarea se reflectă și revine cu aceeași frecvență și amplitudine. Unda care ricoșează se suprapune peste unda de sosire, iar interferența a două unde unidimensionale sinusoidale cu aceeași amplitudine și frecvență care se propagă în direcția opusă conduce la formarea unei unde staționale pe șir.

Aceste fenomene fac obiectul studiului dinamicii structurale și pot fi aplicate în domeniul muzical.

Descriere generala

Pentru un tratament general, se presupune un corp care poate fi reprezentat cu modelul fasciculului , pentru a putea specializa tratamentul atât în cazul șirului încordat ( rigiditate zero și libertate de rotație la extreme), cât și la sunet placă (rigiditate finită și posibilă constrângere la extreme).

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ rigiditatea flexurală a corpului considerat, de densitate liniară $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . Considerat un element $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ și zicători $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ modulele, respectiv, ale tensiunii normale, longitudinale și ale momentului de încovoiere, echilibrul poate fi aplicat elementului menționat anterior:

\left\{{\begin{matrix}\left(N+dN\right)\sin \left(\theta +d\theta \right)&-&N\sin \left(\theta \right)&+&\left(T+dT\right)\cos \left(\theta +d\theta \right)&-&T\cos \left(\theta \right)&=&\mu {\frac {\partial ^{2}u\left(t,x\right)}{\partial t^{2}}}ds\\\left(N+dN\right)\cos \left(\theta +d\theta \right)&-&N\cos \left(\theta \right)&-&\left(T+dT\right)\sin \left(\theta +d\theta \right)&+&T\sin \left(\theta \right)&=&0\\&&&&\left[N\cos \left(\theta \right)-T\sin \left(\theta \right)\right]du&-&\left[N\sin \left(\theta \right)+T\cos \left(\theta \right)\right]dx&=&dM\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ left (N + dN \ right) \ sin \ left (\ theta + d \ theta \ right) & - & N \ sin \ left (\ theta \ right) & + & \ left (T + dT \ right) \ cos \ left (\ theta + d \ theta \ right) & - & T \ cos \ left (\ theta \ right) & = & \ mu {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (t, x \ right)} {\ partial t ^ {2}}} ds \\\ left (N + dN \ right) \ cos \ left (\ theta + d \ theta \ dreapta) & - & N \ cos \ left (\ theta \ right) & - & \ left (T + dT \ right) \ sin \ left (\ theta + d \ theta \ right) & + & T \ sin \ left (\ theta \ right) & = & 0 \\ &&&& \ left [N \ cos \ left (\ theta \ right) -T \ sin \ left (\ theta \ right) \ right] du & - & \ left [N \ sin \ left (\ theta \ right) + T \ cos \ left (\ theta \ right) \ right] dx & = & dM \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ left (N + dN \ right) \ sin \ left (\ theta + d \ theta \ right) & - & N \ sin \ left (\ theta \ right) & + & \ left (T + dT \ right) \ cos \ left (\ theta + d \ theta \ right) & - & T \ cos \ left (\ theta \ right) & = & \ mu {\ frac {\ partial ^ {2} u \ left (t, x \ right)} {\ partial t ^ {2}}} ds \\\ left (N + dN \ right) \ cos \ left (\ theta + d \ theta \ dreapta) & - & N \ cos \ left (\ theta \ right) & - & \ left (T + dT \ right) \ sin \ left (\ theta + d \ theta \ right) & + & T \ sin \ left (\ theta \ right) & = & 0 \\ &&&& \ left [N \ cos \ left (\ theta \ right) -T \ sin \ left (\ theta \ right) \ right] du & - & \ left [N \ sin \ left (\ theta \ right) + T \ cos \ left (\ theta \ right) \ right] dx & = & dM \ end {matrix}} \ right.}

Presupunând micile deformări și scriind totul în termeni de deplasare $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ avem singura ecuație diferențială parțială:

{\ddot {u}}={\frac {1}{\mu }}\left(Tu^{''}-Gu^{''''}\right)

{\ displaystyle {\ ddot {u}} = {\ frac {1} {\ mu}} \ left (Tu ^ {''} - Gu ^ {'' ''} \ right)}

\ ddot {u} = \ frac {1} {\ mu} \ left (Tu ^ {''} - Gu ^ {'' ''} \ right)

Construirea soluției cu produsul a două funcții, una dependentă doar de timp și cealaltă doar de spațiu:

u\left(t,x\right)=f\left(t\right)g\left(x\right)

{\ displaystyle u \ left (t, x \ right) = f \ left (t \ right) g \ left (x \ right)}

u \ left (t, x \ right) = f \ left (t \ right) g \ left (x \ right)

ecuația se decuplează în:

{\frac {\ddot {f}}{f}}={\frac {1}{\mu }}{\frac {\left(Tg^{''}-Gg^{''''}\right)}{g}}={\text{cost}}

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {f}} {f}} = {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ left (Tg ^ {''} - Gg ^ {'' '' } \ right)} {g}} = {\ text {cost}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {f}} {f}} = {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ left (Tg ^ {''} - Gg ^ {'' '' } \ right)} {g}} = {\ text {cost}}}

De aici soluția generală:

f_{n}=A_{n}\cos \left({\frac {2\pi t}{T_{n}}}+\varphi \right)\cos \left({\frac {2n\pi x}{L}}+\psi \right)

{\ displaystyle f_ {n} = A_ {n} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi t} {T_ {n}}} + \ varphi \ right) \ cos \ left ({\ frac {2n \ pi x} {L}} + \ psi \ right)}

f_ {n} = A_ {n} \ cos \ left (\ frac {2 \ pi t} {T_ {n}} + \ varphi \ right) \ cos \ left (\ frac {2n \ pi x} {L} + \ psi \ dreapta)

cu:

{\left(F_{n}\right)}^{2}=\left({\frac {1}{T_{n}}}\right)^{2}=n^{2}{\frac {T}{\mu }}\left[1+\left(2\pi n\right)^{2}{\frac {G}{\mu }}\right]

{\ displaystyle {\ left (F_ {n} \ right)} ^ {2} = \ left ({\ frac {1} {T_ {n}}} \ right) ^ {2} = n ^ {2} { \ frac {T} {\ mu}} \ left [1+ \ left (2 \ pi n \ right) ^ {2} {\ frac {G} {\ mu}} \ right]}

{\ left (F_ {n} \ right)} ^ 2 = \ left (\ frac {1} {T_ {n}} \ right) ^ 2 = n ^ 2 \ frac {T} {\ mu} \ left [ 1+ \ left (2 \ pi n \ right) ^ 2 \ frac {G} {\ mu} \ right]

Se poate observa cum, neglijând rigiditatea $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , numai parametrul apare în ecuație $T/\mu$ ${\ displaystyle T / \ mu}$ $T / \ mu$ , iar relația dintre lungimile de undă și perioade este constantă. Deoarece condițiile limită nu au fost implicate, aceste rezultate se aplică atât cordonului flexibil, cât și lamelei.

Ecuația șirului vibrant

Același subiect în detaliu: Ecuația șirului vibrant .

Ecuația undei în cazul unidimensional poate fi derivată după cum urmează. Își imaginează un rând de corpusculi de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care sunt interconectate prin intermediul unor bare flexibile mici, limitate, fiecare în lungime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ . Barele sunt caracterizate de o masă neglijabilă printr-o rigiditate (îndoire), adică o rezistență la forțele care tind să o îndoaie, care este măsurată prin $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ :

Spus $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ distanța poziției de echilibru a corpusculului plasat în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la momentul $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , ecuația mișcării corpusculului în poziție $x+h$ ${\ displaystyle x + h}$ $x + h$ Și:

m{\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]

{\ displaystyle m {\ partial ^ {2} u (x + h, t) \ over \ partial t ^ {2}} = k [u (x + 2h, t) -u (x + h, t) - u (x + h, t) + u (x, t)]}

m {\ partial ^ 2u (x + h, t) \ over \ partial t ^ 2} = k [u (x + 2h, t) -u (x + h, t) -u (x + h, t) + u (x, t)]

Succesiunea corpusculilor conține $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ dintre aceste obiecte, distribuite uniform pe lungime $L=Nh$ ${\ displaystyle L = Nh}$ $L = Nh$ ; au masa în general $M=Nm$ ${\ displaystyle M = Nm}$ $M = Nm$ , în timp ce rigiditatea totală a secvenței este $K=k/N$ ${\ displaystyle K = k / N}$ $K = k / N$ . Apoi putem scrie ecuația anterioară sub forma:

{\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x + h, t) \ over \ partial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) \ peste h ^ {2}}}

{\ partial ^ 2u (x + h, t) \ over \ partial t ^ 2} = {KL ^ 2 \ over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u ( x, t) \ peste h ^ 2}

Trecând la limita pentru $N\to \infty$ ${\ displaystyle N \ to \ infty}$ $N \ to \ infty$ Și $h\to 0$ ${\ displaystyle h \ to 0}$ $h \ la 0$ și veți obține:

{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}}}

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}}}

unde este $KL^{2}/M$ ${\ displaystyle KL ^ {2} / M}$ $KL ^ 2 / M$ este pătratul vitezei de propagare în acest caz particular.

Ecuația de undă de bază este o ecuație diferențială liniară , iar linearitatea implică faptul că amplitudinea a două unde interacționante este pur și simplu suma celor două. Acest lucru implică, de asemenea, că comportamentul unei unde poate fi analizat prin separarea undei în componente. Transformata Fourier separă o undă în componente sinusoidale și este extrem de utilă pentru analiza ecuației undei.

Versiunea unidimensională a ecuației poate fi derivată luând în considerare o coardă flexibilă întinsă între două puncte pe axa lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Este:

{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=v^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over \ partial t ^ {2}} = v ^ {2} {\ partial ^ {2} u \ over \ partial x ^ {2}}}

{\ partial ^ 2 u \ over \ partial t ^ 2} = v ^ 2 {\ partial ^ 2 u \ over \ partial x ^ 2}

Soluția sa generală poate fi exprimată cu o serie Fourier , adică ca o sumă infinită de sinusuri și cosinus . Dacă domeniul ecuației este infinit și nu există condiții limită, acesta poate fi rezolvat folosind metoda lui D'Alembert.

În două dimensiuni, dezvoltând laplacianul avem:

{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=v^{2}\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u \ over \ partial t ^ {2}} = v ^ {2} \ left ({\ partial ^ {2} u \ over \ partial x ^ {2}} + { \ partial ^ {2} u \ over \ partial y ^ {2}} \ right)}

{\ partial ^ 2 u \ over \ partial t ^ 2} = v ^ 2 \ left ({\ partial ^ 2 u \ over \ partial x ^ 2} + {\ partial ^ 2 u \ over \ partial y ^ 2} \ dreapta)

Un exemplu de soluție la ecuația bidimensională apare cu mișcarea pielii unui tambur circular întins rigid. În acest caz, soluțiile sunt combinații, nu de sinusoide, ci de funcții Bessel .

Bibliografie

( EN ) Molteno, TCA; NB Tufillaro (septembrie 2004). „O investigație experimentală asupra dinamicii unui șir”. American Journal of Physics 72 (9): 1157–1169.
( EN ) Tufillaro, NB (1989). „Vibrații neliniare și haotice ale șirurilor”. American Journal of Physics 57 (5): 408.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Simulare Java a undelor pe un șir , pe falstad.com .
(EN) Fizica unui șir de clavecin , pe johnsankey.ca.
(EN) O explicație prietenoasă a undelor staționare și a frecvenței fundamentale , a acusticii.salford.ac.uk.
( RO ) „ The Vibrating String ” de Alain Goriely și Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 56314

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică