Densitatea tensorului

În matematică , densitatea tensorului sau tensorul relativ este o generalizare a conceptului de câmp tensorial . O densitate tensorială se transformă ca un câmp tensorial atunci când se trece de la un sistem de coordonate la altul, cu excepția faptului că este înmulțită în continuare cu o putere W a determinantului iacobian al funcției de tranziție a coordonatelor sau a valorii sale absolute. Se face o distincție între densitățile tensorilor (autentice), densitățile pseudotensorilor, densitățile tensoriale pare și densitățile tensorilor impare. O densitate a tensorului poate fi, de asemenea, considerată ca o secțiune a produsului tensorial al unui pachet de tensori cu un pachet de densitate. Densitățile tensorilor cu greutate zero sunt tensori.

Definiție

Unii autori clasifică densitățile tensorilor în două tipuri numite densități tensoriale (autentice) și densități pseudotensoare ca în acest articol. Alți autori le clasifică în mod diferit, în tipurile denumite densitate parială a tensorilor și densitate tensorială impară. Când o greutate a densității tensorului este un număr întreg, există o echivalență între aceste abordări care depinde dacă întregul este par sau impar.

Rețineți că aceste clasificări clarifică diferitele moduri în care densitățile tensorilor se pot transforma într-un fel patologic sub transformări ale coordonatelor de inversare a orientării. Indiferent de clasificarea lor în aceste tipuri, există un singur mod prin care densitățile tensorilor se transformă în transformări de coordonate care păstrează orientarea.

În această intrare am ales convenția care atribuie o greutate de +2 determinantului tensorului metric exprimat cu indici covarianți. Cu această alegere, densitățile clasice, cum ar fi densitatea sarcinii, vor fi reprezentate de densități tensoriale de greutate +1. Unii autori folosesc o convenție de semn pentru greutăți, care este negarea celei prezentate aici.

Densități tensoriale și pseudotensorii

De exemplu, o densitate de tensor mixtă (adevărată) de rangul doi și greutatea W se transformă ca ^[1] ^[2] ^[3] :

{\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,

{\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} { \ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak { T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}

{\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} { \ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak { T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}

(densitatea tensorului (adevărat) a greutății (întreg) W )

unde este ${\bar {\mathfrak {T}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathfrak {T}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ mathfrak {T}}}}$ este densitatea tensorului de rangul doi în sistemul de coordonate ${\bar {x}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ bar {x}}$ , ${\mathfrak {T}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}$ este aceeași densitate tensorială în sistemul de coordonate ${x}$ ${\ displaystyle {x}}$ ${\ displaystyle {x}}$ ; s-a folosit determinantul iacobian. Deoarece determinantul poate fi negativ, în cazul în care transformarea coordonatelor nu respectă orientarea, această formulă este aplicabilă numai atunci când greutatea W este un număr întreg (puterea cu exponent dată de un număr real trebuie să aibă o bază pozitivă).

Dacă, în definiția anterioară, ținem evidența semnului determinantului iacobian, ajungem la definiția densității pseudotensoriale.

O densitate pseudotensorială mixtă de rangul doi și greutatea W se transformă ca:

{\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,

{\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota }} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar { x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar { \ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}

{\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota }} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar { x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar { \ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}

(densitatea pseudotensorială a greutății (întreg) W )

unde sgn () este funcția de semn , care returnează +1 când argumentul este pozitiv sau -1 când argumentul său este negativ.

Exemple de densități scalare

Simbolul Levi-Civita este un exemplu de densitate tensorială. Lagrangianul este un alt exemplu.

Notă

^ (EN) Bernard F. Schutz , Metode geometrice de fizică matematică, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, p. 128, ISBN 0-521-23271-6 .
^ (EN) MR Spiegel, S. Lipcshutz și D. Spellman, Vector Analysis, 2nd, New York, Schaum's Outline Series, 2009, p. 198, ISBN 978-0-07-161545-7 .
^ (EN) CB Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Physics , 2nd, New York, McGraw Hill, 1994, p. 1417 , ISBN 0-07-051400-3 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Bernard F. Schutz , Metode geometrice de fizică matematică, Cambridge, Cambridge University Press, 1980, p. 128, ISBN 0-521-23271-6 .

[2] (EN) MR Spiegel, S. Lipcshutz și D. Spellman, Vector Analysis, 2nd, New York, Schaum's Outline Series, 2009, p. 198, ISBN 978-0-07-161545-7 .

[3] (EN) CB Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Physics , 2nd, New York, McGraw Hill, 1994, p. 1417 , ISBN 0-07-051400-3 .

[1]

[2]

[3]