Funcția Carmichael

În matematică și în special în teoria numerelor , funcția Carmichael $\lambda (n)$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ este o funcție aritmetică numită după matematicianul american Robert Daniel Carmichael ( 1879 - 1967 ).

Definiție

Funcția lui Carmichael se asociază cu orice număr întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ un întreg pozitiv $\lambda (n)$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ , definit ca cel mai mic întreg pozitiv $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ astfel încât

a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}.

{\ displaystyle a ^ {m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}.}

{\ displaystyle a ^ {m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}.}

A calcula $\lambda (n)$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ cu teorema lui Carmichael

Este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ număr întreg pozitiv și ambele $n=p_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot p_{r}^{a_{r}}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdot \ ldots \ cdot p_ {r} ^ {a_ {r}}}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdot \ ldots \ cdot p_ {r} ^ {a_ {r}}}$ factorizarea în primul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Avem:

\lambda (n)=\operatorname {mcm} {\big (}\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\,\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\,\ldots ,\,\lambda (p_{k}^{a_{k}}){\big )}.

{\ displaystyle \ lambda (n) = \ operatorname {mcm} {\ big (} \ lambda (p_ {1} ^ {a_ {1}}), \, \ lambda (p_ {2} ^ {a_ {2} }), \, \ ldots, \, \ lambda (p_ {k} ^ {a_ {k}}) {\ big)}.}

{\ displaystyle \ lambda (n) = \ operatorname {mcm} {\ big (} \ lambda (p_ {1} ^ {a_ {1}}), \, \ lambda (p_ {2} ^ {a_ {2} }), \, \ ldots, \, \ lambda (p_ {k} ^ {a_ {k}}) {\ big)}.}

unde este $\operatorname {mcm}$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {mcm}}$ indică cel mai mic multiplu comun din $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ .

Teorema lui Carmicheal indică modul de calcul $\lambda (n)$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ de sine $n=p^{k},$ ${\ displaystyle n = p ^ {k},}$ ${\ displaystyle n = p ^ {k},}$ cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ primul și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ număr întreg pozitiv:

\lambda (p^{k})={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\varphi (p^{k})&{\text{ se }}p=2{\text{ e }}k\geq 3\\\varphi (p^{k})&{\text{ altrimenti, }}\end{cases}}

{\ displaystyle \ lambda (p ^ {k}) = {\ begin {cases} {\ tfrac {1} {2}} \ varphi (p ^ {k}) și {\ text {se}} p = 2 { \ text {e}} k \ geq 3 \\\ varphi (p ^ {k}) și {\ text {în caz contrar,}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ lambda (p ^ {k}) = {\ begin {cases} {\ tfrac {1} {2}} \ varphi (p ^ {k}) și {\ text {se}} p = 2 { \ text {e}} k \ geq 3 \\\ varphi (p ^ {k}) și {\ text {în caz contrar,}} \ end {cases}}}

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este funcția lui Euler φ care pentru o putere de prim este dată de:

\varphi (p^{k})=p^{k-1}(p-1).

{\ displaystyle \ varphi (p ^ {k}) = p ^ {k-1} (p-1).}

{\ displaystyle \ varphi (p ^ {k}) = p ^ {k-1} (p-1).}

Proprietate

Este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ funcția Euler φ , avem asta $\lambda (n)$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ este divizorul lui $\varphi (n)$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ .

Are asta $\lambda (n)$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ ${\ displaystyle \ lambda (n)}$ este exponentul (cel mai mic multiplu comun de ordine sau perioade de elemente ) al grupului de unități ( grup multiplicativ de elemente inversabile ) al $\mathbb {Z} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {n}$ .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre caracteristica lui Carmichael