Funcția algebrică

În matematică , funcțiile algebrice pot fi considerate intuitiv ca funcții construite printr-un număr finit de aplicații ale celor patru operații de aritmetică , exponențiere și extracție a rădăcinii a n-a . Aceasta este o primă aproximare, deoarece funcțiile algebrice, în cazurile ireductibile și pentru teorema fundamentală a teoriei lui Galois , nu sunt neapărat exprimate cu radicali.

Mai precis, o funcție f ( x ) se spune că este algebrică dacă satisface relația în mod identic

p(x,f(x))=0

{\ displaystyle p (x, f (x)) = 0}

{\ displaystyle p (x, f (x)) = 0}

unde p ( x , y ) este un polinom în x și y cu coeficienți întregi .

Rețineți că orice polinom este o funcție algebrică, deoarece polinoamele sunt pur și simplu soluțiile pentru y ale ecuației

y-p(x)=0.

{\ displaystyle yp (x) = 0.}

{\ displaystyle y-p (x) = 0.}

Mai general, fiecare funcție rațională este algebrică, fiind o soluție a

q(x)y-p(x)=0\Rightarrow y={\frac {p(x)}{q(x)}}.

{\ displaystyle q (x) yp (x) = 0 \ Rightarrow y = {\ frac {p (x)} {q (x)}}.}

{\ displaystyle q (x) y-p (x) = 0 \ Rightarrow y = {\ frac {p (x)} {q (x)}}.}

Rădăcina a n-a a oricărui polinom este o funcție algebrică, deoarece rezolvă ecuația

y^{n}-p(x)=0\Rightarrow y={\sqrt[{n}]{p(x)}}.

{\ displaystyle y ^ {n} -p (x) = 0 \ Rightarrow y = {\ sqrt [{n}] {p (x)}}.}

{\ displaystyle y ^ {n} -p (x) = 0 \ Rightarrow y = {\ sqrt [{n}] {p (x)}}.}

Funcția inversă a unei funcții algebrice este o funcție algebrică. Să presupunem că y este o soluție a

a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x),

{\ displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + \ cdots + a_ {0} (x),}

{\ displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + \ cdots + a_ {0} (x),}

pentru orice valoare a lui x , atunci x este, de asemenea, o soluție a acestei ecuații pentru orice valoare a lui y . De fapt, schimbând rolurile lui x și y și colectând termenii,

b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.

{\ displaystyle b_ {m} (y) x ^ {m} + b_ {m-1} (y) x ^ {m-1} + \ cdots + b_ {0} (y) = 0.}

{\ displaystyle b_ {m} (y) x ^ {m} + b_ {m-1} (y) x ^ {m-1} + \ cdots + b_ {0} (y) = 0.}

obținem funcția inversă, de asemenea algebrică, scriind x ca funcție a lui y .

Cu toate acestea, nu toate funcțiile au invers. De exemplu, y = x ² nu are invers deoarece nu este injectiv . Inversul este funcția algebrică $x=\pm {\sqrt {y}}$ ${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {y}}}$ ${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {y}}}$ . Acesta este un exemplu pentru a înțelege cum funcțiile algebrice sunt adesea funcții cu mai multe valori .

Un alt mod de a înțelege acest punct, care va deveni mai târziu de important, este faptul că o funcție algebrică grafice o curbă algebrică .

Rolul numerelor complexe

Dintr-o perspectivă algebrică, numerele complexe sunt un instrument natural pentru studiul funcțiilor algebrice. În primul rând pentru teorema fundamentală a algebrei , numerele complexe formează un câmp închis algebric . De aici orice relație polinomială

p ( y , x ) = 0

are cu siguranță cel puțin o soluție (și, în general, un număr de soluții care nu depășește gradul de p în x ) pentru y în orice punct x , presupunând că y poate lua atât valori reale cât și complexe. În acest fel se rezolvă problemele legate de alegerea domeniului funcțiilor algebrice.

Mai mult, chiar dacă lucrăm cu funcții algebrice reale, un mod simplu de a le exprima este tocmai utilizarea numerelor complexe. De exemplu, dacă luăm în considerare funcția algebrică determinată de ecuație

y^{3}-xy+1=0.

{\ displaystyle y ^ {3} -xy + 1 = 0.}

{\ displaystyle y ^ {3} -xy + 1 = 0.}

folosind formula pentru un cub , o soluție este

y=-{\frac {(1+i{\sqrt {3}})x}{2^{2/3}{\sqrt[{3}]{729-108x^{3}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-27+{\sqrt {729-108x^{3}}}}}}{6{\sqrt[{3}]{2}}}}.

{\ displaystyle y = - {\ frac {(1 + i {\ sqrt {3}}) x} {2 ^ {2/3} {\ sqrt [{3}] {729-108x ^ {3}}} }} - {\ frac {(1-i {\ sqrt {3}}) {\ sqrt [{3}] {- 27 + {\ sqrt {729-108x ^ {3}}}}}} {6 { \ sqrt [{3}] {2}}}}.}

{\ displaystyle y = - {\ frac {(1 + i {\ sqrt {3}}) x} {2 ^ {2/3} {\ sqrt [{3}] {729-108x ^ {3}}} }} - {\ frac {(1-i {\ sqrt {3}}) {\ sqrt [{3}] {- 27 + {\ sqrt {729-108x ^ {3}}}}}} {6 { \ sqrt [{3}] {2}}}}.}

Nu există nicio modalitate de a exprima această funcție folosind doar numere reale, chiar dacă funcția rezultată este reală.

În plus, utilizarea numerelor complexe permite să aveți la dispoziție tehnicile de analiză complexă pentru a discuta despre funcțiile algebrice. În special, se poate folosi formula lui Cauchy pentru a arăta că fiecare funcție agebraică este de fapt o funcție analitică .

În mod formal, să fie p ( x , y ) un polinom complex în variabilele complexe x și y . Să presupunem că x ₀ ∈ C este astfel încât polinomul p ( x ₀ , y ) al lui y are n zerouri distincte. Se poate arăta că funcția algebrică este analitică într-un vecinătate de x ₀ . Alegeți un sistem de n discuri care nu se suprapun Δ _i , fiecare conținând unul dintre aceste zerouri. Apoi după formula Cauchy

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ partial \ Delta _ {i}} {\ frac {p_ {y} (x_ {0}, y)} {p (x_ {0}, y)}} \, dy = 1.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ partial \ Delta _ {i}} {\ frac {p_ {y} (x_ {0}, y)} {p (x_ {0}, y)}} \, dy = 1.}

Prin continuitate, acest lucru este valabil pentru fiecare x într-un vecinătate de x ₀ . În special, p ( x , y ) are o singură rădăcină în Δ _i , dată de teorema reziduală :

f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy

{\ displaystyle f_ {i} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ partial \ Delta _ {i}} y {\ frac {p_ {y} (x, y )} {p (x, y)}} \, dy}

{\ displaystyle f_ {i} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {\ partial \ Delta _ {i}} y {\ frac {p_ {y} (x, y )} {p (x, y)}} \, dy}

care este o funcție analitică.

Bibliografie

Lars Ahlfors , Analiza complexă . McGraw Hill, 1979.
Bartel Leendert van der Waerden , Algebra modernă, volumul II . Springer, 1931.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu funcții algebrice

linkuri externe

( EN ) Funcția algebrică , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 33481 · LCCN (EN) sh85052330 · BNF (FR) cb12287605h (data) · NDL (EN, JA) 00.561.223

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică