Subgrup derivat

În algebră , în special în teoria grupurilor, subgrupul derivat al unui grup este subgrupul generat de comutatoarele sale.

Derivatul unui grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ se notează de obicei prin $\mathrm {D} G$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} G}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} G}$ sau $[G,G]$ ${\ displaystyle [G, G]}$ $[G, G]$ , în timp ce iterați $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea din derivarea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ denotă cu $\mathrm {D} ^{n}G$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {n} G}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {n} G}$ .

Definiție

Este $(G,\cdot )$ ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ un grup, $g,h\in G$ ${\ displaystyle g, h \ în G}$ ${\ displaystyle g, h \ în G}$ . Comutatorul de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ (în această ordine!) este definit ca $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ ${\ displaystyle [g, h] = ghg ^ {- 1} h ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle [g, h] = ghg ^ {- 1} h ^ {- 1}}$ . Este $S=\lbrace [g,h]|g,h\in G\rbrace$ ${\ displaystyle S = \ lbrace [g, h] | g, h \ în G \ rbrace}$ ${\ displaystyle S = \ lbrace [g, h] | g, h \ în G \ rbrace}$ setul de comutatoare ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Derivatul $\mathrm {D} G$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} G}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} G}$ este definit ca subgrupul generat de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , care este cel mai mic subgrup al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ care contine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Proprietate

Subgrupul derivat $\mathrm {D} G$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} G}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} G}$ este un subgrup caracteristic al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . De fapt, dacă $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este un automorfism al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , asa de

\varphi ([g,h])=\varphi (ghg^{-1}h^{-1})=\varphi (g)\varphi (h)\varphi (g)^{-1}\varphi (h)^{-1}=[\varphi (g),\varphi (h)]\in \mathrm {D} G

{\ displaystyle \ varphi ([g, h]) = \ varphi (ghg ^ {- 1} h ^ {- 1}) = \ varphi (g) \ varphi (h) \ varphi (g) ^ {- 1} \ varphi (h) ^ {- 1} = [\ varphi (g), \ varphi (h)] \ in \ mathrm {D} G}

{\ displaystyle \ varphi ([g, h]) = \ varphi (ghg ^ {- 1} h ^ {- 1}) = \ varphi (g) \ varphi (h) \ varphi (g) ^ {- 1} \ varphi (h) ^ {- 1} = [\ varphi (g), \ varphi (h)] \ in \ mathrm {D} G}

,

adică setul de comutatoare (și, prin urmare, subgrupul pe care îl generează sau subgrupul derivat) este fixat de fiecare automorfism.

Ca o caracteristică, derivatul este, prin urmare, normal în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , iar grupul coeficientului este bine definit $G/\mathrm {D} G$ ${\ displaystyle G / \ mathrm {D} G}$ ${\ displaystyle G / \ mathrm {D} G}$ . Din definiții reiese clar că $G/\mathrm {D} G$ ${\ displaystyle G / \ mathrm {D} G}$ ${\ displaystyle G / \ mathrm {D} G}$ este întotdeauna abelian .

Un grup este abelian dacă și numai dacă derivatul său este grupul trivial . Un subgrup normal $N\vartriangleleft G$ ${\ displaystyle N \ vartriangleleft G}$ ${\ displaystyle N \ vartriangleleft G}$ oferă un coeficient $G/N$ ${\ displaystyle G / N}$ ${\ displaystyle G / N}$ abelian dacă și numai dacă $\mathrm {D} G\subseteq N$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} G \ subseteq N}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} G \ subseteq N}$ .

Aplicații

O aplicație importantă a conceptului de derivată a unui grup este următorul criteriu pentru solvabilitatea unui grup finit: dacă $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ atunci este un grup finit $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este rezolvabil dacă și numai dacă seria derivatelor

G\supseteq \mathrm {D} G\supseteq \mathrm {D} ^{2}G\supseteq \dots \supseteq \mathrm {D} ^{n}G\supseteq \dots

{\ displaystyle G \ supseteq \ mathrm {D} G \ supseteq \ mathrm {D} ^ {2} G \ supseteq \ dots \ supseteq \ mathrm {D} ^ {n} G \ supseteq \ dots}

{\ displaystyle G \ supseteq \ mathrm {D} G \ supseteq \ mathrm {D} ^ {2} G \ supseteq \ dots \ supseteq \ mathrm {D} ^ {n} G \ supseteq \ dots}

se termină în grupul banal, adică dacă și numai dacă există $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ pentru care $\mathrm {D} ^{n}G=\lbrace 1_{G}\rbrace$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {n} G = \ lbrace 1_ {G} \ rbrace}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {n} G = \ lbrace 1_ {G} \ rbrace}$ .

Rezolvabilitatea unui grup are consecințe importante nu numai în teoria grupurilor, ci și în aplicațiile sale, de exemplu în teoria lui Galois . În acest sens, a se vedea conceptul de solvabilitate de către radicali .

Bibliografie

S. Bosch, Algebra , Springer-Verlag, 2003.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică