Set de soluții

În matematică , un set de soluții este setul de valori care satisfac una sau mai multe ecuații și / sau inegalități.

De exemplu, într-un set $\{f_{i}(x)=0\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i} (x) = 0 \}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {i} (x) = 0 \}}$ a ecuațiilor polinomiale cu coeficienți reali mulțimea soluțiilor reale este subsetul de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ conținând numerele care sunt zerouri ale tuturor polinoamelor, formal:

\{x\in R:\forall i\in I,f_{i}(x)=0\}.\

{\ displaystyle \ {x \ in R: \ forall i \ in I, f_ {i} (x) = 0 \}. \}

{\ displaystyle \ {x \ in R: \ forall i \ in I, f_ {i} (x) = 0 \}. \}

Simbolurile utilizate în mod obișnuit pentru a indica setul de soluții sunt $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ sau, de asemenea $\mathbb {S}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}}$ . Nu uitați că setul de soluții este un subset și ca atare depinde de setul în care este conținut (set de numere reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , etc.). De exemplu, ecuația $x^{2}=-1$ ${\ displaystyle x ^ {2} = - 1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = - 1}$ are împreună câteva soluții goale : $S=\varnothing =\{\},$ ${\ displaystyle S = \ varnothing = \ {\},}$ ${\ displaystyle S = \ varnothing = \ {\},}$ pentru $x\in \mathbb {R} ,$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R},}$ dar pentru $x\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$ există două soluții și, prin urmare, are soluții împreună: $S=\{\pm i\}$ ${\ displaystyle S = \ {\ pm i \}}$ ${\ displaystyle S = \ {\ pm i \}}$ .

Setul de soluții poate:

au o singură soluție;
au soluții diferite sau infinite;
nu au soluții.

Exemple

Ecuații și soluții pentru $x,y\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$ :

$x=1,\qquad S=\left\{1\right\};$ ${\ displaystyle x = 1, \ qquad S = \ left \ {1 \ right \};}$ ${\ displaystyle x = 1, \ qquad S = \ left \ {1 \ right \};}$

$x+2=5,\qquad S=\left\{3\right\};$ ${\ displaystyle x + 2 = 5, \ qquad S = \ left \ {3 \ right \};}$ ${\ displaystyle x + 2 = 5, \ qquad S = \ left \ {3 \ right \};}$

${\frac {1}{x^{2}}}=9,\qquad S=\{-{\tfrac {1}{3}};{\tfrac {1}{3}}\};$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {2}}} = 9, \ qquad S = \ {- {\ tfrac {1} {3}}; {\ tfrac {1} {3}} \} ;}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {2}}} = 9, \ qquad S = \ {- {\ tfrac {1} {3}}; {\ tfrac {1} {3}} \} ;}$

$x^{2}\leq 4,\qquad S=[-2;2]$ ${\ displaystyle x ^ {2} \ leq 4, \ qquad S = [- 2; 2]}$ ${\ displaystyle x ^ {2} \ leq 4, \ qquad S = [- 2; 2]}$ , setul de soluții este un interval ;

$xy=1,\qquad S=\left\{\left(x;{\frac {1}{x}}\right)|x\neq 0\right\}$ ${\ displaystyle xy = 1, \ qquad S = \ left \ {\ left (x; {\ frac {1} {x}} \ right) | x \ neq 0 \ right \}}$ ${\ displaystyle xy = 1, \ qquad S = \ left \ {\ left (x; {\ frac {1} {x}} \ right) | x \ neq 0 \ right \}}$ , setul de soluții este alcătuit din perechi ordonate .

Un sistem de ecuații liniare :

$\left\{{\begin{matrix}x&+&2y&=&8\\2x&+&y&=&7,\end{matrix}}\right.\qquad S=\{(2,3)\}.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & + & 2y & = & 8 \\ 2x & + & y & = & 7, \ end {matrix}} \ right. \ qquad S = \ {( 2,3) \}.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x & + & 2y & = & 8 \\ 2x & + & y & = & 7, \ end {matrix}} \ right. \ qquad S = \ {( 2,3) \}.}$

Curiozitate

În geometria algebrică , seturile de soluții ale ecuațiilor polinomiale sunt utilizate pentru a defini topologia Zariski (a se vedea varietatea algebrică ).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică