Rezolvarea unei ecuații

În matematică , pentru a rezolva o ecuație înțelegem căutarea elementelor ( numere , funcții , împreună etc.) care satisfac ecuația respectivă (două expresii unite de o egalitate ). Aceste expresii conțin una sau mai multe necunoscute , care sunt variabile libere pentru care sunt căutate valorile care determină satisfacerea condiției exprimate prin ecuație. Pentru a fi precis, se înțelege de obicei că aceste valori nu sunt neapărat valori reale, dar, de fapt, sunt adesea expresii matematice. O soluție la ecuație este o atribuire de expresii către necunoscute care satisface ecuația, cu alte cuvinte, atunci când aceste rezultate sunt substituite necunoscutelor, ecuația devine o tautologie (o afirmație demonstrabil adevărată ).

De exemplu, ecuația

x+y=2x-1

{\ displaystyle x + y = 2x-1}

{\ displaystyle x + y = 2x-1}

poate fi rezolvat în necunoscut $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din

x=y+1,

{\ displaystyle x = y + 1,}

{\ displaystyle x = y + 1,}

ca înlocuitor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $y+1$ ${\ displaystyle y + 1}$ ${\ displaystyle y + 1}$ ecuația va fi $(y+1)+y=2(y+1)-1$ ${\ displaystyle (y + 1) + y = 2 (y + 1) -1}$ ${\ displaystyle (y + 1) + y = 2 (y + 1) -1}$ , o afirmatie adevarata. De asemenea, este posibil să se ia în considerare variabila $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , și astfel soluția de această dată va fi $y=x-1$ ${\ displaystyle y = x-1}$ ${\ displaystyle y = x-1}$ . Sau $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ambele pot fi tratate ca necunoscute și, în acest caz, există mai multe soluții ale ecuației, inclusiv, de exemplu, $(x;y)=(1;0)$ ${\ displaystyle (x; y) = (1; 0)}$ ${\ displaystyle (x; y) = (1; 0)}$ (acesta este $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ Și $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ ), $(x;y)=(2;1)$ ${\ displaystyle (x; y) = (2; 1)}$ ${\ displaystyle (x; y) = (2; 1)}$ și, în general $(x;y)=(a+1;a)$ ${\ displaystyle (x; y) = (a + 1; a)}$ ${\ displaystyle (x; y) = (a + 1; a)}$ pentru fiecare valoare posibilă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

În funcție de problemă, sarcina poate fi găsirea unei soluții sau a unei soluții sau a tuturor soluțiilor. Setul tuturor soluțiilor se numește setul de soluții . De asemenea, este posibil ca obiectivul să fie găsirea, printre posibili, a celei mai bune soluții în anumite privințe. Problemele de acest tip se numesc probleme de optimizare ; rezolvarea unei probleme de optimizare nu se numește de obicei „rezolvarea unei ecuații”.

O afirmație precum "o ecuație în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ " , sau " rezolvați pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ " , înseamnă că necunoscutele sunt cele indicate: în acest caz $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Principiile echivalenței ^[1]

Primul principiu al echivalenței : dată unei ecuații, adăugând sau scăzând de la ambii membri același număr sau aceeași expresie care conține necunoscutul dă o ecuație echivalentă, cu condiția ca, în cazul adăugării unei expresii dependente de o necunoscută, condițiile de existență să fie nu este restricționat.
Exemplu:

4x+13=28\;;

{\ displaystyle 4x + 13 = 28 \ ;;}

4x + 13 = 28 \ ;;

4x+13{\underline {+2}}=28{\underline {+2}}\;;

{\ displaystyle 4x + 13 {\ underline {+2}} = 28 {\ underline {+2}} \ ;;}

4x + 13 \ underline {+2} = 28 \ underline {+2} \ ;;

4x+15=30\;

{\ displaystyle 4x + 15 = 30 \;}

4x + 15 = 30 \;

Regula de transport : dată o ecuație, prin transportarea unui termen de la un membru la altul și schimbarea semnului său, se obține o ecuație echivalentă.
Exemplu:

9x^{2}=12x-4\;;

{\ displaystyle 9x ^ {2} = 12x-4 \ ;;}

9x ^ {{2}} = 12x-4 \ ;;

9x^{2}-12x+4=0\;

{\ displaystyle 9x ^ {2} -12x + 4 = 0 \;}

9x ^ {{2}} - 12x + 4 = 0 \;

Regula de anulare : având în vedere o ecuație, dacă există termeni egali prezenți la ambii membri, aceștia pot fi anulați obținând o ecuație echivalentă
Exemplu:

5x^{2}+7x{\underline {-3}}=3y^{2}{\underline {-3}}\;;

{\ displaystyle 5x ^ {2} + 7x {\ underline {-3}} = 3y ^ {2} {\ underline {-3}} \ ;;}

5x ^ {{2}} + 7x \ underline {-3} = 3y ^ {{2}} \ underline {-3} \ ;;

5x^{2}+7x=3y^{2}\;

{\ displaystyle 5x ^ {2} + 7x = 3y ^ {2} \;}

5x ^ {{2}} + 7x = 3y ^ {{2}} \;

Al doilea principiu al echivalenței : dat o ecuație, înmulțind sau împărțind ambele părți cu un număr diferit de zero sau printr-o expresie care conține necunoscutul care nu anulează indiferent de valoarea necunoscutului în sine și care nu restricționează condițiile de existență, se obține o ecuație echivalentă.
Exemplu:

25x^{2}-10x+1=5x-1\;;

{\ displaystyle 25x ^ {2} -10x + 1 = 5x-1 \ ;;}

25x ^ {{2}} - 10x + 1 = 5x-1 \ ;;

(5x-1)^{2}=5x-1\;;

{\ displaystyle (5x-1) ^ {2} = 5x-1 \ ;;}

(5x-1) ^ {{2}} = 5x-1 \ ;;

{\frac {(5x-1)^{2}}{5x-1}}={\frac {5x-1}{5x-1}}\;;

{\ displaystyle {\ frac {(5x-1) ^ {2}} {5x-1}} = {\ frac {5x-1} {5x-1}} \ ;;}

{\ frac {(5x-1) ^ {{2}}} {5x-1}} = {\ frac {5x-1} {5x-1}} \ ;;

5x-1=1\;

{\ displaystyle 5x-1 = 1 \;}

5x-1 = 1 \;

Regula schimbării semnului : dată o ecuație, schimbarea semnului tuturor termenilor ambelor părți oferă o ecuație echivalentă.
Exemplu:

4x-2x^{2}=1\;;

{\ displaystyle 4x-2x ^ {2} = 1 \ ;;}

4x-2x ^ {{2}} = 1 \ ;;

-(4x-2x^{2})=-(1)\;;

{\ displaystyle - (4x-2x ^ {2}) = - (1) \ ;;}

- (4x-2x ^ {{2}}) = - (1) \ ;;

2x^{2}-4x=-1\;

{\ displaystyle 2x ^ {2} -4x = -1 \;}

2x ^ {{2}} - 4x = -1 \;

Prezentare generală

Într-un caz general, avem o situație precum:

f(x_{1};...;x_{n})=c

{\ displaystyle f (x_ {1}; ...; x_ {n}) = c}

{\ displaystyle f (x_ {1}; ...; x_ {n}) = c}

unde este $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este o constantă, care are un set de soluții $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a formei:

\{(a_{1};...;a_{n})\in D^{n}|f(a_{1};...;a_{n})=c\}

{\ displaystyle \ {(a_ {1}; ...; a_ {n}) \ în D ^ {n} | f (a_ {1}; ...; a_ {n}) = c \}}

{\ displaystyle \ {(a_ {1}; ...; a_ {n}) \ în D ^ {n} | f (a_ {1}; ...; a_ {n}) = c \}}

unde este $D^{n}$ ${\ displaystyle D ^ {n}}$ ${\ displaystyle D ^ {n}}$ este domeniul funcției. Rețineți că setul de soluții poate avea cardinalitate arbitrară. De exemplu:

poate fi gol (adică nu există soluții). Setul gol este indicat cu simbolul $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ sau $\{\}$ ${\ displaystyle \ {\}}$ ${\ displaystyle \ {\}}$ ,
poate fi un singlet (adică există exact o soluție),
poate fi un set cu un număr finit de elemente (de exemplu, există 2, 7 sau 101 soluții),
poate fi un set cu un număr infinit de elemente (există soluții infinite). Infinitul este indicat cu simbolul „ $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ".

De exemplu, o expresie precum:

3x+2y=21z

{\ displaystyle 3x + 2y = 21z}

{\ displaystyle 3x + 2y = 21z}

poate fi rezolvat, în primul rând încercăm să îl rescriem într-un mod matematic mai lizibil fără a schimba egalitatea, de exemplu putem aduce totul primului membru prin scăderea $21z$ ${\ displaystyle 21z}$ ${\ displaystyle 21z}$ din ambele părți ale ecuației obținând:

3x+2y-21z=0

{\ displaystyle 3x + 2y-21z = 0}

{\ displaystyle 3x + 2y-21z = 0}

În acest caz particular, există nu numai o soluție a ecuației, ci un set infinit de soluții, care poate fi scris:

\{(x;y;z)|3x+2y-21z=0\}

{\ displaystyle \ {(x; y; z) | 3x + 2y-21z = 0 \}}

{\ displaystyle \ {(x; y; z) | 3x + 2y-21z = 0 \}}

O soluție specială este $x=20/3$ ${\ displaystyle x = 20/3}$ ${\ displaystyle x = 20/3}$ , $y=11$ ${\ displaystyle y = 11}$ ${\ displaystyle y = 11}$ , $z=2$ ${\ displaystyle z = 2}$ ${\ displaystyle z = 2}$ . De fapt, acest set special de soluții descrie un plan tridimensional, care trece prin punct $(20/3;11;2)$ ${\ displaystyle (20/3; 11; 2)}$ ${\ displaystyle (20/3; 11; 2)}$

Set de soluții

dacă setul de soluții este gol, atunci nu sunt acolo $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ astfel încât:

f(x_{0};...;x_{n})=c

{\ displaystyle f (x_ {0}; ...; x_ {n}) = c}

{\ displaystyle f (x_ {0}; ...; x_ {n}) = c}

devine adevărat pentru o dată $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

De exemplu, să analizăm cazul clasic al unei variabile, având o funcție:

f:\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ;x\longmapsto x^{2}

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R}; x \ longmapsto x ^ {2}}

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R}; x \ longmapsto x ^ {2}}

Să luăm în considerare ecuația:

f(x)=-1

{\ displaystyle f (x) = - 1}

{\ displaystyle f (x) = - 1}

Setul de soluții este $\{\}$ ${\ displaystyle \ {\}}$ ${\ displaystyle \ {\}}$ , deoarece niciun număr real pozitiv nu rezolvă ecuația. Cu toate acestea, încercând să găsim soluțiile la ecuație, dacă schimbăm definiția funcției, mai precis, a funcției domeniului , suntem capabili să găsim soluțiile la această ecuație. Deci, dacă definim:

g:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ;x\longmapsto x^{2}

{\ displaystyle g: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}; x \ longmapsto x ^ {2}}

{\ displaystyle g: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}; x \ longmapsto x ^ {2}}

g(x)=-1

{\ displaystyle g (x) = - 1}

{\ displaystyle g (x) = - 1}

are o serie de soluții $\{i,-i\}$ ${\ displaystyle \ {i, -i \}}$ ${\ displaystyle \ {i, -i \}}$ , unde este $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este unitatea imaginară . Această ecuație are exact două soluții.

Am văzut deja că unele seturi de soluții sunt capabile să descrie suprafețe. De exemplu, în studiul matematicii elementare, știm că setul de soluții ale unei ecuații se potrivește $ax+by=c$ ${\ displaystyle ax + by = c}$ $ax + by = c$ cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ numere reale cu valori constante, reprezintă o linie într-un spațiu vectorial $R^{2}$ ${\ displaystyle R ^ {2}}$ ${\ displaystyle R ^ {2}}$ (adică bidimensional). Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor să se reprezinte grafic seturile de soluții. De exemplu, soluția unei ecuații a formei $ax+by+cz+dw=k$ ${\ displaystyle ax + by + cz + dw = k}$ ${\ displaystyle ax + by + cz + dw = k}$ (cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ , $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ valori reale constante) este un hiperplan $R^{4}$ ${\ displaystyle R ^ {4}}$ ${\ displaystyle R ^ {4}}$ .

Metode de rezoluție

Metodele de rezolvare a ecuațiilor, în general, depind de tipul de ecuație, atât de tipul expresiilor din ecuație, cât și de tipul de valori pe care le pot lua necunoscutele. Varietatea tipurilor de ecuații este vastă, precum și metodele de soluție corespunzătoare. Numai câteva tipuri specifice vor fi acoperite mai jos, nu este posibilă o examinare completă.

În general, având în vedere o clasă de ecuații, se poate întâmpla să nu existe o metodă sistematică ( algoritm ) care să garanteze soluția. Acest lucru se poate datora lipsei de cunoștințe matematice, de fapt unele probleme au fost rezolvate numai după secole de efort. Dar acest lucru ne face, de asemenea, să credem că, în general, o astfel de metodă nu poate exista: unele probleme sunt cunoscute ca fiind nerezolvabile de un algoritm, cum ar fi a zecea problemă a lui Hilbert , care s-a dovedit a fi nerezolvată în 1970.

Pentru diferitele clase de ecuații, s-au găsit algoritmi care să le rezolve, dintre care unele au fost implementate și inserate în sistemele de algebră de calcul , dar deseori necesită doar stilou și hârtie . În alte cazuri, metodele euristice cunoscute au adesea succes, dar nu sunt garantate că vor duce la succes.

Forța brută, încercarea și eroarea, intuiția inspirată

Dacă soluția unei ecuații este mărginită, adică este un set finit (ca în cazul ecuațiilor în aritmetică modulară , de exemplu), sau poate fi limitată la un număr finit de posibilități (ca în cazul unor ecuații diofantine ), Setul de soluții poate fi găsit cu forță brută , adică prin verificarea tuturor valorilor posibile și verificarea dacă acestea rezolvă ecuația. Cu toate acestea, se poate întâmpla ca numărul posibilităților de luat în considerare, chiar dacă este finit, să fie atât de mare încât o căutare cu această metodă este practic imposibilă; unele metode de criptare se bazează pe această dificultate.

Ca și în cazul tuturor tipurilor de probleme , încercarea și eroarea pot produce uneori o soluție, mai ales atunci când forma unei ecuații sau asemănarea ei cu o altă ecuație cunoscută (deja rezolvată) poate duce la o perspectivă inspirată de soluție. Dacă o intuiție, atunci când este testată, nu aduce o soluție, studierea modului în care nu funcționează poate duce la o modificare și, prin urmare, la soluție.

Algebra elementară

Ecuații care implică funcții raționale sau liniare simple, cu o singură necunoscută aparținând setului de reali, să zicem $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , ca:

3x+4=5x+2\,,\quad {\frac {4x+9}{3x+4}}=2\,,

{\ displaystyle 3x + 4 = 5x + 2 \ ,, \ quad {\ frac {4x + 9} {3x + 4}} = 2 \ ,,}

{\ displaystyle 3x + 4 = 5x + 2 \ ,, \ quad {\ frac {4x + 9} {3x + 4}} = 2 \ ,,}

poate fi rezolvat cu metode de algebră elementară și prin aplicarea principiilor echivalenței.

Sistem de ecuații liniare

Sistemele mici de ecuații liniare pot fi rezolvate cu metodele algebrei elementare. Pentru rezoluția sistemelor numerice mari, algoritmii utilizați se bazează pe algebră liniară .

Ecuații polinomiale

Același subiect în detaliu: Polinomii și teorema lui Abel-Ruffini .

Polinoamele cu grad mai mic de al cincilea pot fi rezolvate prin metode algebrice, printre care, de exemplu, formula pătratică este cea mai simplă. Ecuațiile polinomiale cu un grad mai mare de al cincilea necesită metode numerice (vezi mai jos) sau funcții speciale, cum ar fi transportul radical.

Ecuații diofantine

În ecuațiile diofantine soluțiile trebuie să aparțină numerelor întregi. În unele cazuri, o abordare cu forță brută poate fi utilizată pentru a le rezolva, așa cum s-a indicat mai sus. În alte cazuri, în special dacă ecuația este una necunoscută, este posibil să se rezolve ecuația pentru valorile raționale ale necunoscutului (vezi teorema rădăcinilor raționale ) și, prin urmare, pentru a găsi soluțiile ecuației diofantine, limităm soluția doar la valorile întregi ale setului de soluții. De exemplu, ecuația polinomială

2x^{5}-5x^{4}-x^{3}-7x^{2}+2x+3=0

{\ displaystyle 2x ^ {5} -5x ^ {4} -x ^ {3} -7x ^ {2} + 2x + 3 = 0}

{\ displaystyle 2x ^ {5} -5x ^ {4} -x ^ {3} -7x ^ {2} + 2x + 3 = 0}

are soluții raționale $x=-1/2$ ${\ displaystyle x = -1 / 2}$ ${\ displaystyle x = -1 / 2}$ Și $x=3$ ${\ displaystyle x = 3}$ $x = 3$ , dar fiind o ecuație diofantină singura soluție este $x=3$ ${\ displaystyle x = 3}$ $x = 3$ .

Funcția inversă

Același subiect în detaliu: Problemă inversă .

În cazul simplu al unei funcții cu o singură variabilă, de exemplu, $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ , putem rezolva o ecuație cu forma:

f(x)=c

{\ displaystyle f (x) = c}

{\ displaystyle f (x) = c}

, cu

c

{\ displaystyle c}

c

constant

întrucât funcția inversă a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Într-adevăr, având o funcție $f:A\rightarrow B$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$ , funcția inversă (notată cu $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ ) și determinat de $f^{-1}:B\rightarrow A$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}: B \ rightarrow A}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}: B \ rightarrow A}$ este o funcție astfel încât:

f^{-1}(f(x))=f^{-1}(c)=x

{\ displaystyle f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (c) = x}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (c) = x}

Acum, dacă aplicăm funcția inversă ambilor membri ai funcției:

f(x)=c

{\ displaystyle f (x) = c}

{\ displaystyle f (x) = c}

, cu

c

{\ displaystyle c}

c

constant

noi obținem

f^{-1}(f(x))=f^{-1}(c)

{\ displaystyle f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (c)}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (f (x)) = f ^ {- 1} (c)}

x=f^{-1}(c)

{\ displaystyle x = f ^ {- 1} (c)}

{\ displaystyle x = f ^ {- 1} (c)}

și am găsit soluția ecuației. Cu toate acestea, în funcție de funcție, funcția inversă poate fi dificil de definit sau poate să nu fie o funcție inversă dacă toate valorile din setul de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (sau un subset) nu au o singură valoare în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Exemple de funcții inverse includ a n-a rădăcină (inversul $x^{n}$ ${\ displaystyle x ^ {n}}$ ${\ displaystyle x ^ {n}}$ ), logaritmul (inversul lui $a^{x}$ ${\ displaystyle a ^ {x}}$ ${\ displaystyle a ^ {x}}$ ), funcțiile trigonometrice inverse și funcția Lambert W (inversul lui $xe^{x}$ ${\ displaystyle xe ^ {x}}$ ${\ displaystyle xe ^ {x}}$ ).

Factorizarea

Dacă membrul stâng, adică expresia $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , a unei ecuații $P=0$ ${\ displaystyle P = 0}$ ${\ displaystyle P = 0}$ poate fi luat în considerare $P=QR$ ${\ displaystyle P = QR}$ ${\ displaystyle P = QR}$ , setul original de soluții constă în unirea soluției celor două seturi de ecuații $Q=0$ ${\ displaystyle Q = 0}$ $Q = 0$ Și $R=0$ ${\ displaystyle R = 0}$ ${\ displaystyle R = 0}$ .
De exemplu, ecuația goniometrică :

\tan x+\cot x=2

{\ displaystyle \ tan x + \ cot x = 2}

{\ displaystyle \ tan x + \ cot x = 2}

poate fi rescris în:

\tan x+\cot x-2=0\,,

{\ displaystyle \ tan x + \ cot x-2 = 0 \ ,,}

{\ displaystyle \ tan x + \ cot x-2 = 0 \ ,,}

care pot fi luate în considerare folosind identitatea $\tan x\cot x=1$ ${\ displaystyle \ tan x \ cot x = 1}$ ${\ displaystyle \ tan x \ cot x = 1}$ (cu condiția ca componentele să fie definite), devenind:

(\tan x-1)(\cot x-1)=0\,.

{\ displaystyle (\ tan x-1) (\ cot x-1) = 0 \,.}

{\ displaystyle (\ tan x-1) (\ cot x-1) = 0 \,.}

Cele două ecuații $\tan x=1$ ${\ displaystyle \ tan x = 1}$ ${\ displaystyle \ tan x = 1}$ Și $\cot x=1$ ${\ displaystyle \ cot x = 1}$ ${\ displaystyle \ cot x = 1}$ au același set de soluții

x={\tfrac {\pi }{4}}+k\pi ,k=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\ldots

{\ displaystyle x = {\ tfrac {\ pi} {4}} + k \ pi, k = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \ ldots}

{\ displaystyle x = {\ tfrac {\ pi} {4}} + k \ pi, k = \ cdots, -2, -1,0,1,2, \ ldots}

care este, prin urmare, soluția ecuației originale.

Metode numerice

Cu ecuații mai complexe în reali sau numere complexe , metodele simple de rezolvare a ecuațiilor pot eșua. Adesea, un zero al funcției poate fi calculat cu metode numerice, cum ar fi metoda Newton-Raphson, care, pentru unele aplicații, poate fi complet suficientă pentru a rezolva anumite probleme.

Seria Taylor

Un studiu important al matematicii vizează examinarea dacă este posibil să se genereze o funcție simplă pentru a aproxima o ecuație foarte complexă la un moment dat. De fapt, polinoamele dintr-una sau mai multe variabile pot fi utilizate pentru aproximarea funcțiilor în acest fel: acestea sunt cunoscute sub numele de serie Taylor .

Ecuații matriciale

Ecuațiile care implică matrici și vectori de numere reale pot fi adesea rezolvate folosind metode de algebră liniară .

Ecuatii diferentiale

Există o listă extinsă de metode pentru rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații diferențiale , atât numeric , cât și analitic . O metodă de găsire a soluțiilor analitice pe termen nelimitat este algoritmul Risch - care, din păcate, este prea complicat pentru a fi utilizat cu pix și hârtie.

Notă

^ bazat pe articolul site-ului: Matematic Archived 12 martie 2011 la Internet Archive .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] zat pe articolul site-ului: Matematic Archived 12 martie 2011 la Internet Archive .

[1]