Lema Artin-Rees

În matematică , lema Artin-Rees (sau teorema Artin-Rees ) este o teoremă a teoriei modulelor pe inelele noetheriene . Este numit după Emil Artin și David Rees , care au dovedit-o în mod independent în anii 1950 .

Afirmație

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un inel noetherian comutativ unitar , $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ un ideal de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ A $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ - finit generat module , $(E_{n})$ ${\ displaystyle (E_ {n})}$ ${\ displaystyle (E_ {n})}$ A $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ - filtrare stabilă a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ (adică o succesiune de submoduli ai $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ astfel încât $IE_{n}=E_{n+1}$ ${\ displaystyle IE_ {n} = E_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle IE_ {n} = E_ {n + 1}}$ ), $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ un submodul al $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Atunci:

$(E_{n}\cap F)$ ${\ displaystyle (E_ {n} \ cap F)}$ ${\ displaystyle (E_ {n} \ cap F)}$ e o $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ -Filtrare stabilă a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .
Este un $k\geq 0$ ${\ displaystyle k \ geq 0}$ ${\ displaystyle k \ geq 0}$ astfel încât $I^{n}E\cap F=I^{n-k}(I^{k}E\cap F)$ ${\ displaystyle I ^ {n} E \ cap F = I ^ {nk} (I ^ {k} E \ cap F)}$ ${\ displaystyle I ^ {n} E \ cap F = I ^ {n-k} (I ^ {k} E \ cap F)}$ pentru fiecare $n\geq k$ ${\ displaystyle n \ geq k}$ ${\ displaystyle n \ geq k}$

În special, succesiunile $(I^{n}F)$ ${\ displaystyle (I ^ {n} F)}$ ${\ displaystyle (I ^ {n} F)}$ Și $(I^{n}E\cap F)$ ${\ displaystyle (I ^ {n} E \ cap F)}$ ${\ displaystyle (I ^ {n} E \ cap F)}$ au o diferență limitată, adică există un $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât $I^{n+k}F\subseteq I^{n}E\cap F$ ${\ displaystyle I ^ {n + k} F \ subseteq I ^ {n} E \ cap F}$ ${\ displaystyle I ^ {n + k} F \ subseteq I ^ {n} E \ cap F}$ Și $I^{n+k}E\cap F\subseteq I^{n}\cap F$ ${\ displaystyle I ^ {n + k} E \ cap F \ subseteq I ^ {n} \ cap F}$ ${\ displaystyle I ^ {n + k} E \ cap F \ subseteq I ^ {n} \ cap F}$ .

Urmări

Prima consecință a lemei Artin-Rees este că, dacă $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un modul generat finit e $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ unul dintre submodulele sale, apoi topologia $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ -adica pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ coincide cu topologia subspatiu indusa de topologie $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ -adica pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ . Din aceasta rezultă că finalizarea păstrează secvențe exacte ale modulelor generate finit, adică finalizarea este un functor exact în categoria modulelor generate finit.

Mai mult, lema Artin-Rees poate fi utilizată pentru a demonstra teorema intersecției lui Krull .

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică