Moment unghiular axial de lumină

Momentul unghiular axial al luminii ( MAA ) este componenta momentului unghiular al luminii asociat cu rotirea cuantică și polarizarea circulară sau eliptică a undei .

Introducere

Polarizarea circulară stângă și dreaptă și momentele lor unghiulare asociate

Expresiile matematice prezentate în dreapta figurilor dau cele trei componente ale câmpului electric, în notație complexă , a unei unde plane polarizate circular care se propagă în direcția $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ( $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt ortogonali față de direcția de propagare). Adoptarea convenției din punctul de vedere al receptorului, pentru a semna $\pm$ ${\ displaystyle \ pm}$ $\ pm$ semnul pozitiv (+) este atribuit pentru polarizările circulare stângi și negativ (-) pentru polarizările circulare dreapta (-). MAA este direcționat de-a lungul axei fasciculului (paralel dacă este pozitiv, antiparalel dacă este negativ).

O undă electromagnetică poate fi considerată polarizată circular atunci când câmpurile sale electrice și magnetice se rotesc continuu în jurul axei fasciculului în timpul propagării. Polarizarea circulară este lăsată ( $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ) sau dreapta ( $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ ) în funcție de direcția de rotație a câmpului și, de asemenea, în funcție de convenția utilizată: din punctul de vedere al sursei sau al receptorului. Ambele convenții sunt utilizate în știință în funcție de context, iar în optică convenția este mai frecvent utilizată din punctul de vedere al receptorului.

Când un fascicul de lumină este polarizat circular, fiecare dintre fotonii săi poartă un moment unghiular axial (MAA) de $\pm \hbar$ ${\ displaystyle \ pm \ hbar}$ ${\ displaystyle \ pm \ hbar}$ , unde este $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ este constanta Planck redusă . Figura de mai sus arată structura instantanee a câmpului electric stâng ( $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ) și dreapta ( $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ ) lumină polarizată circular în spațiu. Săgețile verzi indică direcția de propagare .

Expresia matematică

Expresia generală a momentului unghiular axial (MAA) în limita paraxială este ^[1]

\mathbf {S} =\epsilon _{0}\int \left(\mathbf {E} \times \mathbf {A} \right)\,d^{3}\mathbf {r} ,

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ epsilon _ {0} \ int \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {A} \ right) \, d ^ {3} \ mathbf {r},}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ epsilon _ {0} \ int \ left (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {A} \ right) \, d ^ {3} \ mathbf {r},}

indicând cu $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf {E}$ Și $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ câmpul electric și respectiv potențialul magnetic magnetic , $\epsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$ $\ epsilon _ {0}$ este permitivitatea vidului folosind unitățile de măsură SI.

În cazul undelor monocromatice: ^[2]

\mathbf {S} ={\frac {\epsilon _{0}}{2i\omega }}\int \left(\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {E} \right)\,d^{3}\mathbf {r} .

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {\ epsilon _ {0}} {2i \ omega}} \ int \ left (\ mathbf {E} ^ {*} \ times \ mathbf {E} \ right) \, d ^ {3} \ mathbf {r}.}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {\ epsilon _ {0}} {2i \ omega}} \ int \ left (\ mathbf {E} ^ {*} \ times \ mathbf {E} \ right) \, d ^ {3} \ mathbf {r}.}

În această expresie se poate observa, în special, că MAA este diferit de zero atunci când polarizarea luminii este eliptică sau circulară, în timp ce dispare dacă polarizarea luminii este liniară.

În teoria cuantică a câmpului electromagnetic, MAA este o cantitate cuantică observabilă, descrisă de un operator corespunzător:

\mathbf {S} =\sum _{\mathbf {k} }\hbar \mathbf {u} _{\mathbf {k} }\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}\right),

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ sum _ {\ mathbf {k}} \ hbar \ mathbf {u} _ {\ mathbf {k}} \ left ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {k }, L} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, L} - {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, R} ^ {\ dagger} { \ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, R} \ right),}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ sum _ {\ mathbf {k}} \ hbar \ mathbf {u} _ {\ mathbf {k}} \ left ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {k }, L} ^ {\ dagger} {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, L} - {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, R} ^ {\ dagger} { \ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, R} \ right),}

unde este $\mathbf {u} _{\mathbf {k} }$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ mathbf {k}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ mathbf {k}}}$ este vectorul unitar în direcția de propagare, ${\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\pi }^{\dagger }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, \ pi} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, \ pi} ^ {\ dagger}}$ Și ${\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\pi }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, \ pi}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {k}, \ pi}}$ sunt operatorii de creație și anihilare pentru fotoni în modul k și, respectiv, în starea de polarizare $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

În acest caz, pentru un singur foton MAA poate avea doar două valori (valori proprii ale operatorului MAA):

\mathbf {S} _{z}=\pm \hbar .

{\ displaystyle \ mathbf {S} _ {z} = \ pm \ hbar.}

{\ displaystyle \ mathbf {S} _ {z} = \ pm \ hbar.}

Funcțiile proprii corespunzătoare care descriu fotonii cu valori MAA cuantificate sunt descrise ca unde polarizate circular:

|\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\\pm i\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle | \ pm \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\\ pm i \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle | \ pm \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\\ pm i \ end {pmatrix}}.}

Notă

^ FJ Belintante, Despre curentul și densitatea sarcinii electrice, energia, impulsul liniar și impulsul unghiular al câmpurilor arbitrare , în Physica , vol. 7, nr. 5, 1940, pp. 449–474, Bibcode : 1940Phy ..... 7..449B , DOI : 10.1016 / S0031-8914 (40) 90091-X .
^ J. Humblet, Sur le moment of impulsion of a electromagnetic wave , in Physica , vol. 10, nr. 7, 1943, pp. 585–603, Bibcode : 1943Phy .... 10..585H , DOI : 10.1016 / S0031-8914 (43) 90626-3 .

Elemente conexe

Lecturi suplimentare

M. Born și E. Wolf, Principiile opticii: teoria electromagnetică a propagării, interferenței și difracției luminii , ediția a VII-a, Cambridge, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-64222-4 .
L. Allen, Stephen M. Barnnet și Miles J. Padgett, Optical Angular Momentum , Bristol, Institutul de Fizică, 2003, ISBN 978-0-7503-0901-1 .
Juan P. Torres și Lluis Torner, Twisted Photons: Applications of Light with Orbital Angular Momentum , Bristol, Wiley-VCH, 2011, ISBN 978-3-527-40907-5 .

[1] FJ Belintante, Despre curentul și densitatea sarcinii electrice, energia, impulsul liniar și impulsul unghiular al câmpurilor arbitrare , în Physica , vol. 7, nr. 5, 1940, pp. 449–474, Bibcode : 1940Phy ..... 7..449B , DOI : 10.1016 / S0031-8914 (40) 90091-X .

[2] J. Humblet, Sur le moment of impulsion of a electromagnetic wave , in Physica , vol. 10, nr. 7, 1943, pp. 585–603, Bibcode : 1943Phy .... 10..585H , DOI : 10.1016 / S0031-8914 (43) 90626-3 .

[1]

[2]