Paradoxul lui Cantor
În matematică paradoxul Cantor , cunoscut și sub numele de paradox cardinal maxim , este o teoremă a teoriei mulțimilor care afirmă că nu există un număr cardinal mai mare decât toate celelalte și, prin urmare, colecția de „mărimi” a mulțimilor nelimitate este o cotitură infinită. Mai mult, rezultă din această observație că colectarea tuturor numerelor cardinale nu este un set, ci o clasă proprie ; în teoria mulțimilor Von Neumann-Bernays-Gödel rezultă, de asemenea (folosind axioma de limitare a dimensiunii) că această clasă corectă trebuie să fie în corespondență unu-la-unu cu mulțimea tuturor mulțimilor. Deci, nu numai că există un număr infinit de mare de infinități, dar această infinitate este, de asemenea, mai mare decât toate infinitele pe care le enumeră.
Acest paradox este numit după Georg Cantor , care a fost adesea creditat ca descoperitor al său în 1899 (sau în orice caz între 1895 și 1897 ). Ca multe alte paradoxuri matematice, nu este contradictoriu, ci este pur și simplu indicativ al unei intuiții incorecte, care în acest caz privește natura infinitului și noțiunea întregului. Cu alte cuvinte, este contradictorie în teoria intuitivă a mulțimilor și, prin urmare, demonstrează că această teorie este insuficientă pentru nevoile matematicii. Faptul că NBG rezolvă paradoxul este un motiv pentru a-l utiliza ca înlocuitor pentru teoria intuitivă a mulțimilor.
Declarație și dovadă
Pentru a enunța paradoxul, este necesar să rețineți că numerele cardinale admit un ordin , astfel încât să se poată face comparații între ele. Cu această premisă, paradoxul lui Cantor spune că:
- Teorema: Nu există un cardinal mai mare decât toți ceilalți.
Acest fapt este o consecință directă a teoremei lui Cantor asupra cardinalității puterii de set a unui set.
- Dovadă: Să presupunem, în mod absurd, că C este cel mai mare număr cardinal. Atunci (în formularea cardinalității lui von Neumann) C este o mulțime și, prin urmare, posedă o putere setată 2 C care, prin teorema lui Cantor, are o cardinalitate strict mai mare decât cea a lui C. Cardinalitatea lui C este însăși C , prin definiție și, prin urmare, există un cardinal mai mare decât C , și anume 2 C. Acest lucru contrazice presupunerea că C este cel mai mare număr cardinal și, prin urmare, nu există un cardinal mai mare decât toți ceilalți.
Discuție și consecințe
Deoarece numerele cardinale sunt un set bine ordonat datorită corespondenței cu numerele ordinale (a se vedea definiția formală a numărului cardinal ), acest fapt stabilește, de asemenea, că nu există cel mai mare număr ordinal; dimpotrivă, această ultimă afirmație implică paradoxul lui Cantor. Aplicând corespondența dintre cardinali și ordinali la paradoxul Burali-Forti se poate concluziona, de asemenea, că numerele cardinale constituie o clasă adecvată și nu un set și (cel puțin în teoria mulțimilor von Neumann-Bernays-Gödel) rezultă că există una -corespondență individuală între clasa cardinalilor și cea a tuturor grupurilor. Deoarece fiecare set este un subset al clasei din urmă și că fiecare cardinalitate este cardinalitatea unei mulțimi (prin definiție!) Acest lucru înseamnă intuitiv că colecția tuturor cardinalilor este mai mare decât cardinalitatea oricărei mulțimi: este „mai infinită” decât orice infinit. Natura paradoxală a acestei clase este prezentă numai în conformitate cu sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel.
Notă istorică
Deși Cantor este de obicei atribuit ca fiind primul care a recunoscut această proprietate a seturilor de numere cardinale, unii matematicieni atribuie această primărie lui Bertrand Russell , care a dovedit o teoremă similară în 1899 sau 1901 .
Bibliografie
- Anellis, IH, „Primul paradox Russell”, perspective asupra istoriei logicii matematice , Drucker, Thomas; Birkäuser Boston, Cambridge, Mass. 1991, paginile 33-46.
- Moore, GH și Garciadiego, A., Paradoxul lui Burali -Forti: o reevaluare a originilor sale , Historia Math, volumul 8, pagina 319-350.
Elemente conexe
linkuri externe
- (EN) Un istoric al setului de antinomii teoretice cauzate de Axioma abstractiei T Justin Miller , din u.arizona.edu. Adus la 22 aprilie 2006 (arhivat din original la 11 septembrie 2006) .
- (EN) Paradoxul lui Cantor de PlanetMath
