Numărul prim al lui Sophie Germain

Un număr prim al lui Sophie Germain este un număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ astfel încât $2p+1$ ${\ displaystyle 2p + 1}$ $2p + 1$ este, de asemenea, un număr prim. Numarul $2p+1$ ${\ displaystyle 2p + 1}$ $2p + 1$ în schimb este numit primul sigur . Ele sunt numite după matematicianul francez Sophie Germain , care la începutul secolului al XIX-lea le-a folosit pentru a dovedi un caz particular al ultimei teoreme a lui Fermat .

Primele proprietăți

Numerele prime ale lui Sophie Germain mai mici de 10 ⁴ sunt:

2 , 3 , 5 , 11 , 23 , 29 , 41 , 53 , 83 , 89 , 113 , 131 , 173 , 179 , 191 , 233 , 239 , 251 , 281 , 293 , 359 , 419 , 431 , 443 , 491 , 509 , 593 , 641 , 653 , 659 , 683 , 719 , 743 , 761 , 809 , 911 , 953 , 1013 , 1019 , 1031 , 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 80 93, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791.

Din martie 2016 , cel mai mare cunoscut al lui Sophie Germain este $2618163402417\cdot 2^{1290000}-1$ ${\ displaystyle 2618163402417 \ cdot 2 ^ {1290000} -1}$ ${\ displaystyle 2618163402417 \ cdot 2 ^ {1290000} -1}$ , un număr de 388342 zecimale, descoperit în februarie 2016 de James Scott Brown prin proiectul de calcul distribuit PrimeGrid . ^[1]

Primii lui Sophie Germain trebuie să îndeplinească mai multe restricții modulare : de exemplu, dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este congruent cu 1 modul 3, apoi $2p+1\equiv 0{\bmod {3}}$ ${\ displaystyle 2p + 1 \ equiv 0 {\ bmod {3}}}$ $2p + 1 \ echiv 0 {\ bmod 3}$ , adică 3 divize $2p+1$ ${\ displaystyle 2p + 1}$ $2p + 1$ . În consecință, fiecare număr prim al lui Sophie Germain (cu excepția 3) este congruent cu 2 modulo 3. Pornind de la orice prim $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ în loc de 3, este posibil cu același raționament să eliminați o clasă de resturi modulo $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ : de exemplu, dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este congruent cu 2 modulo 5 (și diferit de 2) atunci nu este un prim al lui Sophie Germain.

Primii lui Sophie Germain sunt conectați cu primii lui Mersenne . Euler a demonstrat că dacă un prim Sophie Germain este de formă $p=4k-1$ ${\ displaystyle p = 4k-1}$ $p = 4k-1$ , asa de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ împarte $2^{p}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {p} -1}$ $2 ^ {p} -1$ , care nu este deci un număr prim.

Distribuție

Nu se știe dacă există numere prime infinite ale lui Sophie Germain. Folosind tehnici de sită , se poate presupune că numărul prim al lui Sophie Germain este mai mic decât $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este asimptotic a

2C_{2}{\frac {n}{(\ln n)^{2}}}

{\ displaystyle 2C_ {2} {\ frac {n} {(\ ln n) ^ {2}}}}

2C_ {2} {\ frac {n} {(\ ln n) ^ {2}}}

unde este ( $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ variază între numere prime)

C_{2}=\prod _{p>2}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0,660161

{\ displaystyle C_ {2} = \ prod _ {p> 2} {\ frac {p (p-2)} {(p-1) ^ {2}}} \ approx 0,660161}

C_ {2} = \ prod _ {{p> 2}} {\ frac {p (p-2)} {(p-1) ^ {2}}} \ approx 0,660161

este constanta primelor gemene .

Relația cu ultima teoremă a lui Fermat

În jurul anului 1825, Sophie Germain a dovedit că dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ sunt două numere prime astfel încât

$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ nu este una $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -alea putere a modulului $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , Și
de sine $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ sunt numere întregi, $x^{p}+y^{p}+z^{p}\equiv 0{\bmod {q}}$ ${\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} \ equiv 0 {\ bmod {q}}}$ $x ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} \ equiv 0 {\ bmod q}$ presupune că $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ împarte $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sau $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ,

apoi „primul caz” al ultimei teoreme a lui Fermat este valabil pentru $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , adică dacă $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$ ${\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} = 0}$ $x ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} = 0$ , asa de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ împarte cel puțin unul între $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ .

În special, dacă $q=2p+1$ ${\ displaystyle q = 2p + 1}$ $q = 2p + 1$ , atunci prima condiție este întotdeauna îndeplinită (cu condiția ca $p>3$ ${\ displaystyle p> 3}$ $p> 3$ ) datorită teoremei lui Fermat (ca $a^{p}$ ${\ displaystyle a ^ {p}}$ $a ^ {p}$ nu poate fi decât congruent cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ oa $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ modul $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . De asemenea, $x^{p}$ ${\ displaystyle x ^ {p}}$ $x ^ {p}$ , $y^{p}$ ${\ displaystyle y ^ {p}}$ $y ^ {p}$ Și $z^{p}$ ${\ displaystyle z ^ {p}}$ $z ^ {p}$ sunt egale cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ oa $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ modul $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ; în consecință,

x^{p}+y^{p}+z^{p}\equiv (-1)^{a}+(-1)^{b}+(-1)^{c}{\bmod {q}}

{\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} \ equiv (-1) ^ {a} + (- 1) ^ {b} + (- 1) ^ {c} {\ bmod {q}}}

x ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} \ equiv (-1) ^ {a} + (- 1) ^ {b} + (- 1) ^ {c} {\ bmod q}

(pentru numere întregi $la, b, c$ ${\ displaystyle a, b, c}$ $a, b, c$ ) și acest lucru se poate întâmpla numai dacă $q=3$ ${\ displaystyle q = 3}$ $q = 3$ . Mai mult, acest argument poate fi utilizat independent de teorema generală pentru a demonstra direct primul caz când $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este o premieră a lui Sophie Germain.

Variante ale acestui raționament l-au determinat apoi pe Legendre să demonstreze acest lucru $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ verifică primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat în cazul unuia dintre $4p+1$ ${\ displaystyle 4p + 1}$ $4p + 1$ , $8p+1$ ${\ displaystyle 8p + 1}$ $8p + 1$ , $10p+1$ ${\ displaystyle 10p + 1}$ $10p + 1$ , $14p+1$ ${\ displaystyle 14p + 1}$ $14p + 1$ Și $16p+1$ ${\ displaystyle 16p + 1}$ $16p + 1$ este un număr prim.

Notă

^ (EN) Chris Caldwell, Sophie Germain (p) , din Prime Pages. Adus pe 19 ianuarie 2015 .

Bibliografie

Paulo Ribenboim , Lecture IV - The Naïve Approach , in 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem , New York, Springer-Verlag, 1979, ISBN 978-0-387-90432-0 .
Victor Shoup, 5.5.5 - Sophie Germain primes , în A Computational Introduction to Number Theory and Algebra , Cambridge University Press, 2009, pp. 123–124, ISBN 978-0-521-51644-0 .

linkuri externe

(EN) Chris Caldwell, Sophie Germain prim , de la Prime Pages. Adus pe 19 ianuarie 2015 .
(EN) Chris Caldwell, Sophie Germain (p) , de la Prime Pages. Adus pe 19 ianuarie 2015 .
( EN ) Sequence A005384 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[primepages-1] (EN) Chris Caldwell, Sophie Germain (p) , din Prime Pages. Adus pe 19 ianuarie 2015 .

[1]