Salinon

Salinonul (în roșu) și cercul (în albastru) au aceeași zonă.

Salinonul („ pivniță de sare” în greacă ) este o figură geometrică compusă din patru semicercuri , introdusă pentru prima dată în Cartea cuvintelor de cap de către matematicianul sicilian Arhimede .

Constructie

Luați în considerare un sistem cartezian de referință cu originea în punctul O și fii A , D , E și B să fie patru puncte aliniate de-a lungul axei abscisei, astfel încât O să fie punctul de mijloc al lui AB și AD = EB . Desenați trei semicercuri deasupra axei absciselor, cu diametrele AB , AD și EB , în timp ce un al patrulea semicerc este desenat sub axa pe diametrul DE . Salinonul este figura delimitată de cele patru semicercuri: prin construcție este simetrică față de axa ordonată.

Proprietate

Zonă

Arhimede a introdus salinonul în Cartea sa a intrărilor, aplicând Propoziția 10 din Cartea II a Elementelor lui Euclid . În tratatul său, Arhimede notează că aria figurii închise de semicercuri este egală cu aria cercului cu diametrul CF. Numind cu R raza celui mai mare semicerc ( OB în figură) și cu r raza semicercului cel mai interior ( OE în figură), aria serului salin nu este dată de următoarea formulă:

A={\frac {1}{4}}\pi \left(R+r\right)^{2}.

{\ displaystyle A = {\ frac {1} {4}} \ pi \ left (R + r \ right) ^ {2}.}

A = {\ frac {1} {4}} \ pi \ left (R + r \ right) ^ {2}.

Demonstrație

Fie G și H punctele medii ale diametrelor AD și respectiv EB . Rezultă că AG = GD = EH = HB = r ₁ . Deoarece DO , OF și OE sunt raze ale aceluiași semicerc, DO = OF = OE = r ₂ . Prin adăugare, se dovedește AG + GD + DO = OE + EH + HB = 2 r ₁ + r ₂ . Deoarece AB este diametrul salinonului, CF este axa sa de simetrie; deoarece toate sunt raze ale aceluiași semicerc, AO = BO = CO = 2 r ₁ + r ₂ .

Acum ia în considerare cercul complet în albastru din figură. Deoarece CO = 2 r ₁ + r ₂ și OF = r ₂ , CF = 2 r ₁ + 2 r ₂ . Prin urmare, raza cercului este r ₁ + r ₂ și aria sa este π ( r ₁ + r ₂ ) ² .

Numind, pentru simplitatea notării, x = r ₁ și y = r ₂ , aria semicercului construită pe diametrul AB este:

AB={\frac {1}{2}}\pi \left(2x+y\right)^{2}

{\ displaystyle AB = {\ frac {1} {2}} \ pi \ left (2x + y \ right) ^ {2}}

AB = {\ frac {1} {2}} \ pi \ left (2x + y \ right) ^ {2}

.

Aria semicercului interior cu diametrul DE este:

DE={\frac {1}{2}}\pi y^{2}

{\ displaystyle DE = {\ frac {1} {2}} \ pi y ^ {2}}

DE = {\ frac {1} {2}} \ pi y ^ {2}

Aria fiecăruia dintre cele două semicercuri cu diametre AD și EB este:

AD=EB={\frac {1}{2}}\pi x^{2}

{\ displaystyle AD = EB = {\ frac {1} {2}} \ pi x ^ {2}}

AD = EB = {\ frac {1} {2}} \ pi x ^ {2}

Prin urmare, zona salinon este:

{\frac {1}{2}}\pi \left(\left(2x+y\right)^{2}-2x^{2}+y^{2}\right)={\frac {1}{2}}\pi \left(2x^{2}+4xy+2y^{2}\right)=\pi \left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)=\pi \left(x+y\right)^{2}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi \ left (\ left (2x + y \ right) ^ {2} -2x ^ {2} + y ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ pi \ left (2x ^ {2} + 4xy + 2y ^ {2} \ right) = \ pi \ left (x ^ {2} + 2xy + y ^ {2} \ right) = \ pi \ left (x + y \ right) ^ {2} = \ pi \ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) ^ {2}}

{\ frac {1} {2}} \ pi \ left (\ left (2x + y \ right) ^ {2} -2x ^ {2} + y ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ pi \ left (2x ^ {2} + 4xy + 2y ^ {2} \ right) = \ pi \ left (x ^ {2} + 2xy + y ^ {2} \ right) = \ pi \ left (x + y \ right) ^ {2} = \ pi \ left (r_ {1} + r_ {2} \ right) ^ {2}

Deoarece raza OB a semicercului exterior este 2 r ₁ + r ₂ = R , în timp ce raza OE a semicercului interior este r ₂ = r , expresia zonei saline nu poate fi exprimată după cum urmează: