Seria Ramanujan

Seria Ramanujan este o tehnică inventată de matematicianul indian Srinivasa Ramanujan pentru a atribui o valoare (finită) unei serii divergente la infinit. Deși nu este o însumare în sensul tradițional al termenului, are astfel de proprietăți încât este util să-i plasăm studiul în contextul seriilor divergente la infinit, în cadrul cărora operatorul de însumare nu este definibil.

Calcul

Suma (care nu trebuie confundată cu suma lui Ramanujan , deci vorbim mai corect de serie ) este în esență o proprietate a sumelor parțiale, mai degrabă decât a unei sume întregi, care nu poate fi definită. Dacă luăm în considerare formula Euler-Maclaurin cu corecțiile introduse de numerele Bernoulli , obținem:

{\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\={}&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\={}&\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {} & {\ frac {1} {2}} f \ left (0 \ right) + f \ left (1 \ right) + \ cdots + f \ left (n-1 \ right) + {\ frac {1} {2}} f \ left (n \ right) \\ = {} & {\ frac {1} {2}} \ left [f \ left (0 \ right) + f \ left (n \ right) \ right] + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} f \ left (k \ right) \\ = {} & \ int _ {0} ^ {n} f (x) \, dx + \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {B_ {k + 1}} {(k + 1)!}} \ left [f ^ {(k)} (n) -f ^ {(k)} (0) \ right] + R_ {p} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {} & {\ frac {1} {2}} f \ left (0 \ right) + f \ left (1 \ right) + \ cdots + f \ left (n-1 \ right) + {\ frac {1} {2}} f \ left (n \ right) \\ = {} & {\ frac {1} {2}} \ left [f \ left (0 \ right) + f \ left (n \ right) \ right] + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} f \ left (k \ right) \\ = {} & \ int _ {0} ^ {n} f (x) \, dx + \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {B_ {k + 1}} {(k + 1)!}} \ left [f ^ {(k)} (n) -f ^ {(k)} (0) \ right] + R_ {p} \ end {align}}}

Ramanujan ^{[1] a} rescris această formulă în cazul p care tinde la infinit:

\sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {x} f (k) = C + \ int _ {0} ^ {x} f (t) \, dt + {\ frac {1} {2}} f (x) + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (x)}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {x} f (k) = C + \ int _ {0} ^ {x} f (t) \, dt + {\ frac {1} {2}} f (x) + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (x)}

unde C este o constantă specifică seriei și continuarea sa analitică, precum și limita integralei nu au fost specificate de Ramanujan, dar putem presupune că au fost ca cele menționate mai sus. Comparând cele două formule și presupunând că R tinde la 0 în timp ce x tinde spre infinit, observăm că, în cazul general, pentru funcțiile f ( x ) care nu diferă de $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ :

C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)

{\ displaystyle C (a) = \ int _ {0} ^ {a} f (t) \, dt - {\ frac {1} {2}} f (0) - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (0)}

{\ displaystyle C (a) = \ int _ {0} ^ {a} f (t) \, dt - {\ frac {1} {2}} f (0) - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (0)}

unde a preluat Ramanujan $\scriptstyle a=0$ ${\ displaystyle \ scriptstyle a = 0}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle a = 0}$ . Luând $\scriptstyle a=\infty$ ${\ displaystyle \ scriptstyle a = \ infty}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle a = \ infty}$ , găsim sumarea cunoscută pentru seria convergentă. Pentru funcțiile f ( x ) care nu diferă de $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ . noi obținem:

C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)

{\ displaystyle C (a) = \ int _ {1} ^ {a} f (t) \, dt + {\ frac {1} {2}} f (1) - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (1)}

{\ displaystyle C (a) = \ int _ {1} ^ {a} f (t) \, dt + {\ frac {1} {2}} f (1) - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} f ^ {(2k-1)} (1)}

În consecință, C (0) a fost propus ca suma unei secvențe divergente. Este un fel de „punte” între însumare și integrare.

Versiunea formulei pentru o însumare convergentă a funcțiilor cu proprietăți de creștere adecvate este:

f(1)+f(2)+f(3)+\cdots =-{\frac {f(0)}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt

{\ displaystyle f (1) + f (2) + f (3) + \ cdots = - {\ frac {f (0)} {2}} + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (it) -f (-it)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} \, dt}

{\ displaystyle f (1) + f (2) + f (3) + \ cdots = - {\ frac {f (0)} {2}} + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {f (it) -f (-it)} {e ^ {2 \ pi t} -1}} \, dt}

Pentru o comparație, a se vedea și formula Abel-Plana .

Suma seriilor divergente

Presupunem convenția că notația de acum înainte $\scriptstyle (\Re )$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)}$ va denota sumatia Ramanujan. Această notație a apărut prima dată în notele lui Ramanujan, lipsite de orice indicație că simplifica o nouă metodă de însumare.

De exemplu, $\scriptstyle (\Re )$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)}$ dintr-o serie de tipul 1 - 1 + 1 - ⋯ ( seria Grandi ), este:

1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\ (\Re ).

{\ displaystyle 1-1 + 1- \ cdots = {\ frac {1} {2}} \ (\ Re).}

{\ displaystyle 1-1 + 1- \ cdots = {\ frac {1} {2}} \ (\ Re).}

Ramanujan a calculat suma seriilor divergente cunoscute. Este important să subliniem că sumele Ramanujan nu sunt sume în sensul tradițional al termenului ^[2]^[3] , de exemplu sumele parțiale nu converg către această valoare, care este notată prin simbolul $\scriptstyle (\Re )$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)}$ .
În special, suma $\scriptstyle (\Re )$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Re)}$ din 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ se calculează astfel:

1+2+3+\cdots =1\ +{\frac {1}{2^{(-1)}}}+{\frac {1}{3^{(-1)}}}+...+{\frac {1}{n^{(-1)}}}=-{\frac {1}{12}}\ (\Re )

{\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots = 1 \ + {\ frac {1} {2 ^ {(- 1)}}} + {\ frac {1} {3 ^ {(- 1)}}} + ... + {\ frac {1} {n ^ {(- 1)}}} = - {\ frac {1} {12}} \ (\ Re)}

{\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots = 1 \ + {\ frac {1} {2 ^ {(- 1)}}} + {\ frac {1} {3 ^ {(- 1)}}} + ... + {\ frac {1} {n ^ {(- 1)}}} = - {\ frac {1} {12}} \ (\ Re)}

suma divergă și nu înseamnă că suma numerelor întregi care tind spre infinit este o fracție negativă. Aceasta din urmă este, de fapt, valoarea funcției zeta Riemann la introducerea numărului $x=-1$ ${\ displaystyle x = -1}$ $x = -1$ . Funcția este obținută în analize complexe , pornind de la sumă $S(s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+...$ ${\ displaystyle S (s) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ { s}}} + ...}$ ${\ displaystyle S (s) = 1 + {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} + {\ frac {1} {4 ^ { s}}} + ...}$ a reciprocelor puterilor s (numere întregi pozitive) ale numerelor întregi. Această sumă are o valoare finită pentru $s>1$ ${\ displaystyle s> 1}$ ${\ displaystyle s> 1}$ , în timp ce diverg altfel. Cu tehnica extensiei analitice , Riemann a obținut și o valoare finită pentru $s<=1$ ${\ displaystyle s <= 1}$ ${\ displaystyle s <= 1}$ , dar $\zeta (s=-1)!=S(s=-1)$ ${\ displaystyle \ zeta (s = -1)! = S (s = -1)}$ ${\ displaystyle \ zeta (s = -1)! = S (s = -1)}$ .

Generalizând la puteri egale pozitive, acesta devine:

1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )

{\ displaystyle 1 + 2 ^ {2k} + 3 ^ {2k} + \ cdots = 0 \ (\ Re)}

{\ displaystyle 1 + 2 ^ {2k} + 3 ^ {2k} + \ cdots = 0 \ (\ Re)}

în timp ce aceeași abordare, pentru puteri ciudate, sugerează o relație cu numerele Bernoulli :

1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\ (\Re )

{\ displaystyle 1 + 2 ^ {2k-1} + 3 ^ {2k-1} + \ cdots = - {\ frac {B_ {2k}} {2k}} \ (\ Re)}

{\ displaystyle 1 + 2 ^ {2k-1} + 3 ^ {2k-1} + \ cdots = - {\ frac {B_ {2k}} {2k}} \ (\ Re)}

Unii autori au propus să folosească C (1) în loc de C (0) ca rezultat al adunării Ramanujan, deoarece o serie de tipul $\scriptstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} f (k)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} f (k)}$ admite o singură sumare Ramanujan, definită ca valoarea într-o singură soluție a ecuației diferențiale $\scriptstyle R(x)\,-\,R(x\,+\,1)\,=\,f(x)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle R (x) \, - \, R (x \, + \, 1) \, = \, f (x)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle R (x) \, - \, R (x \, + \, 1) \, = \, f (x)}$ care îndeplinește condiția de graniță $\scriptstyle \int _{1}^{2}R(t)\,dt\,=\,0$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ int _ {1} ^ {2} R (t) \, dt \, = \, 0}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ int _ {1} ^ {2} R (t) \, dt \, = \, 0}$ . ^[4] .

Această definiție a însumării Ramanujan (notată ca $\scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} f (n)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} f (n)}$ ), este diferit atât de cel dat anterior pentru v, cât și de însumarea seriilor convergente și totuși are câteva proprietăți interesante, cum ar fi: dacă v tinde la o limită finită pentru x → +1, atunci seria $\scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} f (n)}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} f (n)}$ este convergent și putem scrie:

\sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]

{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} f (n) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left [\ sum _ {n = 1} ^ {N} f (n ) - \ int _ {1} ^ {N} f (t) \, dt \ right]}

{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} f (n) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left [\ sum _ {n = 1} ^ {N} f (n ) - \ int _ {1} ^ {N} f (t) \, dt \ right]}

Și, în special,

\sum _{n\geq 1}^{\Re }{\frac {1}{n}}=\gamma ,

{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} {\ frac {1} {n}} = \ gamma,}

{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} ^ {\ Re} {\ frac {1} {n}} = \ gamma,}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este constanta Euler-Mascheroni .

Resumarea lui Ramanujan poate fi extinsă la calculul integral; de exemplu, aplicând formula Euler-McLarurin, putem scrie:

{\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }x^{m-s}\,dx={\frac {m-s}{2}}\int _{a}^{\infty }x^{m-1-s}\,dx+\zeta (s-m)-\sum _{i=1}^{a}i^{m-s}+a^{m-s}\\{}-\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\Gamma (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}\,dx\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {ms} \, dx = {\ frac {ms} {2}} \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {m-1-s} \, dx + \ zeta (sm) - \ sum _ {i = 1} ^ {a} i ^ {ms} + a ^ {ms} \\ {} - \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2r} \ Gamma (m-s + 1)} {(2r)! \ Gamma (m-2r + 2-s)}} (m-2r + 1 -s) \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {m-2r-s} \, dx \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {ms} \, dx = {\ frac {ms} {2}} \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {m-1-s} \, dx + \ zeta (sm) - \ sum _ {i = 1} ^ {a} i ^ {ms} + a ^ {ms} \\ {} - \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2r} \ Gamma (m-s + 1)} {(2r)! \ Gamma (m-2r + 2-s)}} (m-2r + 1 -s) \ int _ {a} ^ {\ infty} x ^ {m-2r-s} \, dx \ end {align}}}

care este extensia naturală la integralele algoritmului de regularizare a funcției Zeta. Prin rezumare se înțelege o procedură pentru obținerea unei valori finite pornind de la o serie divergentă de funcții, prin integrarea unei noi funcții convergente în care termenii care definesc funcția de pornire apar rescalizați.

Această ecuație recursivă (corespunzătoare în matematică a discrete cu cea a unei ecuații diferențiale), este finită, deoarece pentru $m-2r<-1$ ${\ displaystyle m-2r <-1}$ ${\ displaystyle m-2r <-1}$ :

\qquad \int _{a}^{\infty }dx\,x^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}},

{\ displaystyle \ qquad \ int _ {a} ^ {\ infty} dx \, x ^ {m-2r} = - {\ frac {a ^ {m-2r + 1}} {m-2r + 1}} ,}

{\ displaystyle \ qquad \ int _ {a} ^ {\ infty} dx \, x ^ {m-2r} = - {\ frac {a ^ {m-2r + 1}} {m-2r + 1}} ,}

,

unde este

I(n,\,\Lambda )\,=\,\int _{0}^{\Lambda }dx\,x^{n}

{\ displaystyle I (n, \, \ Lambda) \, = \, \ int _ {0} ^ {\ Lambda} dx \, x ^ {n}}

{\ displaystyle I (n, \, \ Lambda) \, = \, \ int _ {0} ^ {\ Lambda} dx \, x ^ {n}}

Pentru $\Lambda \rightarrow \infty$ ${\ displaystyle \ Lambda \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle \ Lambda \ rightarrow \ infty}$ , reluarea cu formula lui Ramanujan duce la rezultate finite în renormalizarea teoriei câmpului cuantic .

Notă

^ Bruce C. Berndt, Notebooks of Ramanujan , The Ramanujan's Theory of Divergent Series , Capitolul 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.
^ Formula Euler - Maclaurin, numerele Bernoulli, funcția zeta și continuarea analitică variabilă reală , la terrytao.wordpress.com . Adus la 20 ianuarie 2014 .
^ Seriile Infinite sunt ciudate , la skullsinthestars.com . Adus la 20 ianuarie 2014 .
^ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001–2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83-88.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Bruce C. Berndt, Notebooks of Ramanujan , The Ramanujan's Theory of Divergent Series , Capitolul 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.

[Terry_Tao_on_Ramanujan_sums-2] Formula Euler - Maclaurin, numerele Bernoulli, funcția zeta și continuarea analitică variabilă reală , la terrytao.wordpress.com . Adus la 20 ianuarie 2014 .

[Dirichlet_vs_Zeta-3] Seriile Infinite sunt ciudate , la skullsinthestars.com . Adus la 20 ianuarie 2014 .

[4] Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001–2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83-88.

[1] a

[2]

[3]

[4]