Sistem de ecuații de gradul II

În timp ce ecuațiile de gradul întâi reprezintă o linie dreaptă în plan, ecuațiile de gradul al doilea reprezintă o conică generică nedegenerată (adică parabole , hiperbolă , elipse ) sau o conică degenerată (adică un punct dublu, 2 linii coincidente sau două linii incidente) .

Un sistem de ecuații de gradul întâi este reprezentat de două linii care se intersectează (cu excepția cazului în care sunt paralele, caz în care sistemul nu ar avea nicio soluție) și coordonatele punctului în care se intersectează sunt rădăcinile (sau soluțiile) sistemului ^[1] . Strict vorbind, este de asemenea necesar să se ia în considerare cazul în care sistemul este alcătuit din linii liniar dependente, adică toți coeficienții unuia sunt multipli, conform unui singur scalar, ai coeficienților omologi ai celuilalt; în acest caz, sistemul este nedeterminat (soluții infinite), deoarece cele două expresii liniare reprezintă aceeași linie.

Deoarece gradul unui sistem este dat de produsul gradelor ecuațiilor care îl compun, rezultă în mod necesar că un sistem de acest tip trebuie să conțină o ecuație de primul grad (linie dreaptă) și o ecuație de gradul doi (reprezentând conica) ^[2] ; linia dreaptă și conica , care pot fi:

extern , când linia dreaptă nu îndeplinește conica (în acest caz nu există soluții);
tangente , atunci când linia dreaptă atinge conica într-un singur punct, numit punctul de tangență (o singură soluție sau mai degrabă două coincidente);
secante , când linia intersectează conica în două puncte distincte (soluțiile sunt coordonatele acestor două puncte);

Două cazuri limită care nu au fost acoperite anterior:

Primul caz) linie dreaptă și conică degenerată reprezentând aceeași linie dreaptă;

Al doilea caz) linie dreaptă și conică degenerată reprezentând două linii incidente dintre care una coincide cu linia cu care este un sistem);

coincident , când linia coincide cu conica (primul caz) (soluțiile sunt infinite, toate sunt punctele liniei);
linie strict conținută în conică, când linia coincide cu una dintre cele două linii reprezentate de conica degenerată (al doilea caz) (soluțiile sunt infinite, toate sunt puncte ale liniei);

[...]

În cazurile clasice (conice drepte și nedegenerate) numărul de soluții este determinat de $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ( delta sau discriminant ) al ecuației de gradul al doilea rezultat din sistemul celor două ecuații anterioare (după înlocuirea corespunzătoare).

Depinde de $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ , de fapt, avem trei situații posibile: ^[3]

$\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ ( delta pozitivă ): se obțin două soluții reale distincte: valorile obținute sunt cele două abscise sau două ordonate ale punctelor de intersecție.
$\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ ( delta egal cu zero ): va exista o singură soluție (mai exact două soluții coincidente), adică linia este tangentă la conică.

valoarea obținută este abscisa sau ordonata punctului de tangență al dreptei și al conicii.

$\Delta <0$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ${\ displaystyle \ Delta <0}$ ( delta negativă ): în acest caz nu există soluții în mulțimea numerelor reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb R$ (deoarece soluțiile ar conține rădăcina pătrată a unui număr negativ), deci linia nu intersectează conica și nici nu o atinge.

Exemplu

{\begin{cases}y=x^{2}+3x+1\\y=2x+2\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = x ^ {2} + 3x + 1 \\ y = 2x + 2 \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} y = x ^ {2} + 3x + 1 \\ y = 2x + 2 \ end {cases}}}

Folosind metoda de substituție obținem:

x^{2}+3x+1=2x+2

{\ displaystyle x ^ {2} + 3x + 1 = 2x + 2}

{\ displaystyle x ^ {2} + 3x + 1 = 2x + 2}

Rezolvarea cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ avem:

x^{2}+3x-2x+1-2=0

{\ displaystyle x ^ {2} + 3x-2x + 1-2 = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} + 3x-2x + 1-2 = 0}

x^{2}+x-1=0

{\ displaystyle x ^ {2} + x-1 = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} + x-1 = 0}

Acum calculați $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ :

\Delta =b^{2}-4ac=1-4\cdot 1\cdot (-1)=1+4=5

{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac = 1-4 \ cdot 1 \ cdot (-1) = 1 + 4 = 5}

{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac = 1-4 \ cdot 1 \ cdot (-1) = 1 + 4 = 5}

asa de $\Delta >0$ ${\ displaystyle \ Delta> 0}$ $\ Delta> 0$ și, prin urmare, vor exista două soluții reale distincte (coordonatele absciselor $x_{1}\,,x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ ,, x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ ,, x_ {2}}$ unde linia intersectează parabola). Acum calculăm rădăcinile ecuației de gradul doi:

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} = {\ frac {-1 \ pm {\ sqrt {5}}} {2 }}}

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} = {\ frac {-1 \ pm {\ sqrt {5}}} {2 }}}

x_{1}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}

x_{2}={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}

{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {-1 - {\ sqrt {5}}} {2}}}

{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {-1 - {\ sqrt {5}}} {2}}}

.

Prin înlocuire $x_{1}\,,x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ ,, x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} \ ,, x_ {2}}$ în ecuația liniei $y=2x+2$ ${\ displaystyle y = 2x + 2}$ ${\ displaystyle y = 2x + 2}$ se obțin coordonatele $y_{1}\,,y_{2}$ ${\ displaystyle y_ {1} \ ,, y_ {2}}$ ${\ displaystyle y_ {1} \ ,, y_ {2}}$ :

y_{1}=2\cdot \left({\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+2={\sqrt {5}}+1

{\ displaystyle y_ {1} = 2 \ cdot \ left ({\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) +2 = {\ sqrt {5}} + 1}

{\ displaystyle y_ {1} = 2 \ cdot \ left ({\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) +2 = {\ sqrt {5}} + 1}

y_{2}=2\cdot \left({\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)+2=-{\sqrt {5}}+1

{\ displaystyle y_ {2} = 2 \ cdot \ left ({\ frac {-1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) +2 = - {\ sqrt {5}} + 1}

{\ displaystyle y_ {2} = 2 \ cdot \ left ({\ frac {-1 - {\ sqrt {5}}} {2}} \ right) +2 = - {\ sqrt {5}} + 1}

Soluțiile sistemului sunt perechile de coordonate:

\left({\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}},{\sqrt {5}}+1\right)

{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {2}}, {\ sqrt {5}} + 1 \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1 + {\ sqrt {5}}} {2}}, {\ sqrt {5}} + 1 \ right)}

\left({\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}},-{\sqrt {5}}+1\right)

{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1 - {\ sqrt {5}}} {2}}, - {\ sqrt {5}} + 1 \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1 - {\ sqrt {5}}} {2}}, - {\ sqrt {5}} + 1 \ right)}

Notă

^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 3 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0431-0 . p.347
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.969
^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol . 3 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-53781-2 . p. 274/349/421/476

Bibliografie

Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol . 3 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-53781-2 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 3 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0431-0 . p.347

[2] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.969

[3] Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu 2.0 (ediția a doua) Vol . 3 , Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-53781-2 . p. 274/349/421/476

[1]

[2]

[3]